Conjuntos Numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ): ℚ, ℝ, ℂ — Racionales, Reales y Complejos

Los Conjuntos Numéricos:
• Números Naturales $\mathbb{N}$: Números para contar $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
• Números Enteros $\mathbb{Z}$: Números enteros positivos, negativos y el cero $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• Números Racionales $\mathbb{Q}$: Números que pueden escribirse como una fracción $\frac{a}{b}$ donde $a, b \in \mathbb{Z}$ y $b \neq 0$. Ejemplos: $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $0,5$, $0,333\dots$
• Números Reales $\mathbb{R}$: Todos los números racionales e irracionales (números con decimales infinitos no periódicos). Ejemplos: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$.
• Números Complejos $\mathbb{C}$: Números que contienen la unidad imaginaria $i$ (donde $i^2 = -1$). Ejemplos: $i$, $2 + 3i$.

Potencias (Exponentes) y Orden de Operaciones:
Una potencia (exponente) indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Veamos diferentes potencias y cómo se comportan los signos negativos:
• Números al Cuadrado ($x^2$): Un número multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
• Números al Cubo ($x^3$): Un número multiplicado por sí mismo tres veces. Por ejemplo, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
• ¡Cuidado con los signos negativos y los paréntesis!
Si el signo negativo está dentro de los paréntesis, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar:
- Exponentes pares dan un resultado positivo: $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$, y $(-2)^4 = 16$.
- Exponentes impares dan un resultado negativo: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$, y $(-2)^5 = -32$.
Si no hay paréntesis, el signo negativo se aplica después de calcular la potencia: $-2^3 = -(2^3) = -8$, y $-2^4 = -(2^4) = -16$.
• Fracciones:
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, y $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, ya que aplicamos la potencia tanto al numerador como al denominador: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$ y $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Raíces Cuadradas:
La raíz cuadrada $\sqrt{x}$ es el número que, al elevarse al cuadrado, da $x$. Ejemplos: $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
• Números Irracionales:
$\sqrt{2}$ no se puede escribir como una fracción. Es un número irracional. Esto significa que $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ pero $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
• Una derivación interesante:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
Como $\sqrt{2}$ es irracional, $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ también es irracional, por lo que pertenece a $\mathbb{R}$.
• Raíces no reales (Números complejos):
La raíz cuadrada de un número negativo, como $\sqrt{-1}$, no está definida en los números reales. Definimos $\sqrt{-1} = i$, donde $i$ es la unidad imaginaria. Como no es un número real, $i \notin \mathbb{R}$, pero pertenece a los números complejos: $i \in \mathbb{C}$.

Opcional: Demostración de que $\sqrt{2}$ es Irracional (No es necesario memorizar ni comprender del todo):
Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional. Entonces podemos escribirlo en su forma más simple como $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (donde $a$ and $b$ no tienen factores comunes).
Elevar al cuadrado ambos lados nos da $2 = \frac{a^2}{b^2}$, por lo que $a^2 = 2b^2$. Esto significa que $a^2$ es par, por lo que $a$ debe ser par (digamos $a = 2k$).
Sustituimos $a = 2k$ en la ecuación: $(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$. Esto significa que $b^2$ es par, por lo que $b$ debe ser par.
Dado que tanto $a$ como $b$ son pares, comparten un factor común de $2$, lo que contradice nuestra suposición de que $\frac{a}{b}$ estaba en su forma más simple. Por lo tanto, $\sqrt{2}$ debe ser irracional.