Funciones: Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (generalmente valores de $x$) para los cuales la función está definida y produce un número real válido.

Las restricciones de dominio pueden surgir de la realidad física, de reglas definidas o de operaciones matemáticas que no están definidas para los números reales:

• Área del círculo (Restricciones físicas): El área de un círculo en función de su radio es $A(r) = \pi r^2$. Dado que un radio físico no puede ser negativo, el dominio se restringe a $r \ge 0$.
• Tramos impositivos (Definición por tramos): En los sistemas tributarios, las tasas de impuestos se definen mediante tramos (intervalos). Por ejemplo: 10% de impuesto para ingresos de hasta $5,000$ ($0 \le x \le 5000$), y 15% de impuesto para ingresos superiores a $5,000$ ($x > 5000$). Cada tramo representa una partición del dominio.
• Funciones racionales (División por cero): Para la función $f(x) = \frac{1}{x - 3}$, la división por cero no está definida. Dado que el denominador no puede ser $0$, establecemos $x - 3 \neq 0$, lo que significa que el dominio son todos los números reales excepto $x = 3$.
• Funciones radicales (Raíces cuadradas): Para la función $g(x) = \sqrt{x - 2}$, no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales. La expresión dentro del radical debe ser no negativa, por lo que $x - 2 \ge 0$, lo que significa que el dominio es $x \ge 2$ .

El dominio de una función se puede identificar observando la extensión horizontal de la gráfica. Si el dominio comienza o termina en un límite específico, la forma en que dibujamos el punto extremo depende de si el límite está incluido:

• Círculo abierto (pequeño círculo vacío): Se usa para desigualdades estrictas ($>$ o $<$) donde el punto límite en sí no está incluido. Por ejemplo, si el dominio es $x > 5$, el punto en $x = 5$ se dibuja como un círculo abierto.
• Punto sólido (punto relleno normal): Se usa cuando el punto límite está incluido ($\ge$ o $\le$).