Examen Final de Funciones

Por convención matemática, las coordenadas se escriben siempre en orden alfabético como $(x, y)$. Este orden estandarizado garantiza que cualquier persona en el mundo pueda comunicar y localizar puntos en el plano cartesiano de forma consistente y sin ambigüedades.

Una relación es una función si y solo si a cada valor de entrada le corresponde exactamente un valor de salida. Si una sola entrada tiene varios resultados diferentes, no es una función.

Para encontrar dónde corta una función el eje Y, calcula $f(0)$ reemplazando $x$ por $0$ en la fórmula de la función. El punto resultante en la gráfica será $(0, f(0))$.

Si introduces un valor fuera del dominio, la función no está definida para ese valor. Por ejemplo, en $f(x) = \frac{1}{x}$, ingresar $x = 0$ resulta en una división por cero, la cual no tiene un valor matemático definido.

Para encontrar el dominio a partir de una gráfica, observa su extensión horizontal a lo largo del eje X. Encuentra los puntos situados más a la izquierda y más a la derecha, prestando atención a si los extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).

El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (generalmente $x$) que se pueden introducir en una función, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores de salida (generalmente $y$) que la función produce como resultado.

Para encontrar el rango a partir de una gráfica, observa la extensión vertical a lo largo del eje $y$. Busca los puntos más bajo y más alto de la gráfica, prestando atención a si estos extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).

Intuitivamente, significa que puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz. De manera más formal, una función debe estar definida en el punto, y su gráfica debe conectarse suavemente sin espacios, saltos ni huecos.

Busca los valores de entrada que hacen que la función no esté definida (como la división por cero). Por ejemplo, $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ es discontinua en $x = 4$ porque no se puede dividir por cero, creando un hueco en la gráfica.

Para funciones lineales $f(x) = mx + b$, la función es creciente si la pendiente $m > 0$ y decreciente si $m < 0$. Para funciones cuadráticas $f(x) = a(x-h)^2 + k$, verifica el signo de $a$: si $a > 0$, la parábola se abre hacia arriba, por lo que decrece para $x < h$ y crece para $x > h$.

Aunque observamos la subida o bajada vertical (valores de y) para determinar *qué* hace la gráfica, los intervalos deben especificar *dónde* ocurre esto horizontalmente. Por convención, los intervalos de crecimiento/decrecimiento dividen el dominio de la función, que está representado por el eje $x$.