Funciones: Introducción a las funciones

Comprende qué es una función, explora analogías de la vida real, domina la notación de funciones f(x) y aprende a identificar puntos e intersecciones con el eje Y.

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Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Guía de aprendizaje: introducción a las funciones

Una función es una regla o relación matemática que conecta valores de entrada con valores de salida. Para cada entrada, una función asigna exactamente una salida.

Analogías de la vida real

  • Máquina expendedora: Introduces un código (entrada, como A1A1) y la máquina entrega exactamente un producto (salida, como papas fritas). Si un solo código pudiera dar productos diferentes al azar, ¡no funcionaría como una función!
  • Temperatura a lo largo del día: Para cada hora específica del día (entrada), hay exactamente una temperatura específica (salida).
  • Precio de las manzanas: Si las manzanas cuestan 33 dólares por kilogramo, el precio total (salida) depende del peso (entrada). Podemos escribir esta regla como: Precio=3⋅PesoPrecio = 3 \cdot Peso.

Notación de función f(x)f(x)

Escribimos las funciones usando una notación especial:
f(x)=expresioˊnf(x) = \text{expresión}
  • ff es el nombre de la función.
  • xx es la variable de entrada.
  • f(x)f(x) representa el valor de salida (el resultado de aplicar la regla a xx).

    Por ejemplo, si f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1:
  • Si la entrada es 33, sustituimos xx por 33: f(3)=2(3)+1=7f(3) = 2(3) + 1 = 7. La entrada 33 da la salida 77.
  • Si la entrada es 00, sustituimos xx por 00: f(0)=2(0)+1=1f(0) = 2(0) + 1 = 1.

Ecuaciones que no son funciones

Es importante entender que existen ecuaciones matemáticas válidas que no son funciones. Uno de los ejemplos más sencillos es x=1x = 1 (o x=cx = c para cualquier constante cc). Aunque x=1x = 1 es una ecuación matemática perfectamente válida (que describe una línea vertical), no es una función porque una sola entrada x=1x = 1 tiene infinitos valores de salida posibles yy. La validez de una ecuación matemática no debe confundirse con si define una función.
−4−4−2−222440xyx = 1(1, 2)(1, −2)
Figura 1b: La línea vertical x=1x = 1 es una ecuación matemática válida pero no una función, porque una sola entrada x=1x = 1 tiene múltiples valores de salida posibles (como y=2y = 2 y y=−2y = -2).

Funciones y gráficas

Cuando dibujamos una función en un plano cartesiano, la entrada (xx) corresponde a la posición horizontal, y la salida (f(x)f(x) o yy) corresponde a la posición vertical. Cada par de entrada y salida nos da un punto en la gráfica:
  • Si f(3)=5f(3) = 5, corresponde al punto (3,5)(3, 5) en la gráfica.
  • Si f(0)=2f(0) = 2, corresponde al punto (0,2)(0, 2) en la gráfica.
-4-4-2-222440xyf(x) = x + 2(3, 5) : f(3) = 5(0, 2) : f(0) = 2

Distinguir funciones y la intersección con el eje Y

A menudo podemos distinguir las funciones observando dónde cortan el eje vertical Y. El punto donde la gráfica corta el eje Y se llama intersección con el eje Y. Siempre se encuentra estableciendo la entrada a 00, lo que da el punto (0,f(0))(0, f(0)).

Por ejemplo, mira las dos rectas en la gráfica de abajo:
  • La recta azul que representa f(x)=x+1f(x) = x + 1 corta el eje Y en (0,1)(0, 1), porque f(0)=1f(0) = 1.
  • La recta roja que representa g(x)=−x+3g(x) = -x + 3 corta el eje Y en (0,3)(0, 3), porque g(0)=3g(0) = 3.
    Dado que f(0)≠g(0)f(0) \neq g(0), cortan el eje vertical a diferentes alturas, ¡lo que nos ayuda a diferenciarlas!
-4-4-2-222440xyf(x) = x + 1g(x) = -x + 3f(0) = 1g(0) = 3
Figura 1: Dos funciones f(x) = x + 1 (azul) y g(x) = -x + 3 (rojo), que cortan el eje Y en f(0) = 1 y g(0) = 3 respectivamente.
Temas de Aprendizaje

Preguntas Frecuentes

¿Por qué la coordenada x siempre va primero en un par ordenado?
Por convención matemática, las coordenadas se escriben siempre en orden alfabético como (x,y)(x, y). Este orden estandarizado garantiza que cualquier persona en el mundo pueda comunicar y localizar puntos en el plano cartesiano de forma consistente y sin ambigüedades.
¿Qué hace que una relación sea una función?
Una relación es una función si y solo si a cada valor de entrada le corresponde exactamente un valor de salida. Si una sola entrada tiene varios resultados diferentes, no es una función.
¿Cómo encuentras dónde corta una función el eje Y?
Para encontrar dónde corta una función el eje Y, calcula f(0)f(0) reemplazando xx por 00 en la fórmula de la función. El punto resultante en la gráfica será (0,f(0))(0, f(0)).
¿Qué sucede si introducimos un valor fuera del dominio?
Si introduces un valor fuera del dominio, la función no está definida para ese valor. Por ejemplo, en f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, ingresar x=0x = 0 resulta en una división por cero, la cual no tiene un valor matemático definido.
¿Cómo se puede identificar el dominio de una función a partir de su gráfica?
Para encontrar el dominio a partir de una gráfica, observa su extensión horizontal a lo largo del eje X. Encuentra los puntos situados más a la izquierda y más a la derecha, prestando atención a si los extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).
¿Cuál es la diferencia entre dominio y rango?
El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (generalmente xx) que se pueden introducir en una función, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores de salida (generalmente yy) que la función produce como resultado.
¿Cómo se identifica el rango de una función a partir de su gráfica?
Para encontrar el rango a partir de una gráfica, observa la extensión vertical a lo largo del eje yy. Busca los puntos más bajo y más alto de la gráfica, prestando atención a si estos extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).
¿Qué significa que una función sea continua?
Intuitivamente, significa que puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz. De manera más formal, una función debe estar definida en el punto, y su gráfica debe conectarse suavemente sin espacios, saltos ni huecos.
¿Cómo se encuentran los puntos donde una función no es continua?
Busca los valores de entrada que hacen que la función no esté definida (como la división por cero). Por ejemplo, f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} es discontinua en x=4x = 4 porque no se puede dividir por cero, creando un hueco en la gráfica.
¿Cómo puedo saber si una función es creciente o decreciente a partir de su fórmula?
Para funciones lineales f(x)=mx+bf(x) = mx + b, la función es creciente si la pendiente m>0m > 0 y decreciente si m<0m < 0. Para funciones cuadráticas f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x-h)^2 + k, verifica el signo de aa: si a>0a > 0, la parábola se abre hacia arriba, por lo que decrece para x<hx < h y crece para x>hx > h.
¿Por qué no puedo usar valores de y para definir intervalos de crecimiento o decrecimiento?
Aunque observamos la subida o bajada vertical (valores de y) para determinar *qué* hace la gráfica, los intervalos deben especificar *dónde* ocurre esto horizontalmente. Por convención, los intervalos de crecimiento/decrecimiento dividen el dominio de la función, que está representado por el eje xx.