Ecuaciones lineales: Área del Triángulo Formado por Tres Rectas

Calcula el área del triángulo formado por la intersección de tres rectas utilizando descomposición geométrica.

Resueltos: 0

Forma pendiente-ordenada al origen y notación de función

Cuando tres rectas se cortan dos a dos en tres puntos distintos, forman un triángulo. Para determinar su área, hallamos los tres vértices de intersección y aplicamos descomposición geométrica mediante un triángulo rectángulo de referencia.

Visualizador de Descomposición de Área de Triángulo

Las tres rectas:

L_1: y = 0, \quad L_2: y = -2x + 8, \quad L_3: y = 2x

Vértices:

A(0,0), B(4,0), C(2,4)

Cálculo de Área Aditiva:

S_{\Delta ABC} = S_{ADC} + S_{BDC} = \frac{2 \cdot 4}{2} + \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 + 4 = 8

1. Calcular los Tres Vértices

Resuelve los sistemas lineales por pares para obtener las coordenadas de intersección:

A(x_A, y_A)

B(x_B, y_B)

C(x_C, y_C)

2. Construir un triángulo rectángulo de referencia

Traza una línea de referencia horizontal o vertical por un vértice para formar un triángulo rectángulo de referencia junto con dos subtriángulos.

Método Aditivo

Dados los vértices $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $C(2,4)$ :

Línea Auxiliar: Una línea vertical auxiliar por $C(2,4)$ corta la base $AB$ en $D(2,0)$ .
Subregiones: Esto divide el triángulo en dos subtriángulos rectángulos adyacentes:
- $S_1 = \triangle ADC$ : base $AD = 2$ , altura $CD = 4 \implies S_1 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$
- $S_2 = \triangle BDC$ : base $BD = 2$ , altura $CD = 4 \implies S_2 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$
Cálculo: $S_{\Delta ABC} = S_1 + S_2 = S_{ADC} + S_{BDC} = 4 + 4 = 8$

Método Sustractivo 1: Resta de Triángulo Rectángulo de Referencia

Dados los vértices $A(0,0)$ , $B(4,4)$ , $C(3,1)$ :

Triángulo Rectángulo de Referencia: Construimos el punto auxiliar $D(4,0)$ sobre el eje x para formar el triángulo rectángulo de referencia $\triangle ABD$ con base $AD = 4$ , altura $BD = 4$ y área $S_{\text{ref}} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ .
Subtriángulos a Restar:
- $S_1 = \triangle BCD$ : base $BD = 4$ , altura $= 1 \implies S_1 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
- $S_2 = \triangle ACD$ : base $AD = 4$ , altura $= 1 \implies S_2 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
Cálculo: $S_{\Delta ABC} = S_{\text{ref}} - S_1 - S_2 = S_{\Delta ABD} - S_{\Delta BCD} - S_{\Delta ACD} = 8 - 2 - 2 = 4$

Método Sustractivo 2: Resta de Rectángulo Envolvente

Dados los vértices $A(1,1)$ , $B(5,2)$ , $C(2,5)$ :

Rectángulo Envolvente: Envolvemos el triángulo en un rectángulo desde $(1,1)$ hasta $(5,5)$ con ancho $4$ , alto $4$ y área $S_{\text{rect}} = 4 \cdot 4 = 16$ .
Triángulos Exteriores a Restar:
- $S_1$ : base $= 4$ , altura $= 1 \implies S_1 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
- $S_2$ : base $= 3$ , altura $= 3 \implies S_2 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5$
- $S_3$ : base $= 1$ , altura $= 4 \implies S_3 = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2$
Cálculo: $S_{\Delta ABC} = S_{\text{rect}} - S_1 - S_2 - S_3 = 16 - 2 - 4.5 - 2 = 7.5$

Temas de Aprendizaje

Preguntas Frecuentes

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal?

La forma pendiente-ordenada al origen es $y = ax + b$, donde $a$ representa la pendiente (inclinación y dirección) y $b$ representa la ordenada al origen (el valor de $y$ del punto de corte con el eje $y$, en $(0, b)$).

¿Cómo expresamos $y$ como una función de $x$?

Cuando despejamos la variable $y$ en una ecuación lineal para obtener la forma $y = ax + b$, el valor de $y$ queda determinado completamente por $x$. Esto nos permite usar la notación de función y escribir $y = f(x)$.