Área: Teorema de Pitágoras

Aprende y practica el teorema de Pitágoras: encuentra hipotenusas, catetos faltantes y diagonales de cuadrados y rectángulos con ejercicios paso a paso.

Teorema de Pitágoras

Usa el espacio de trabajo. Escribe ecuaciones como A = 30 para resolver el área.

Temas de Aprendizaje

📖 Guía de Aprendizaje del Área

1. El Teorema de Pitágoras y las Áreas de Cuadrados

Considera un triángulo rectángulo con catetos

a

(base) y

b

(altura) e hipotenusa

c

.

Construye un cuadrado sobre cada lado: el cuadrado sobre el cateto

a

tiene área

a^2

, sobre el cateto

b

tiene área

b^2

, y sobre la hipotenusa tiene área

c^2

.

El teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado de la hipotenusa es exactamente igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos catetos. Dado que el área está relacionada con el lado², podemos encontrar la longitud de cualquier lado si se conocen los otros dos.

El área de cada cuadrado es igual al cuadrado del lado correspondiente:

a^2

(azul),

b^2

(rojo),

c^2

(morado).

2. La Fórmula

El teorema de Pitágoras establece:

a^2 + b^2 = c^2

donde

a

b

son los dos catetos y

c

es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto — siempre el lado más largo).

Se puede reorganizar para resolver cualquier lado:
• Encontrar la hipotenusa:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

• Encontrar un cateto faltante:

a = \sqrt{c^2 - b^2}

b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. Demostración del Teorema

Comienza con un triángulo rectángulo con catetos

a

b

e hipotenusa

c

. Organiza 4 copias congruentes de este triángulo alrededor de un cuadrado interno inclinado. El resultado es un cuadrado externo grande con lado

(a+b)

.

Podemos calcular el área total de dos maneras:

• Directamente:

A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• Por partes:

A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2

El cuadrado grande tiene lado

(a+b)

. Los 4 triángulos verdes son congruentes al triángulo original. El cuadrado interior morado tiene lado

c

Igualando ambas expresiones:

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

Restando

2ab

de ambos lados:

a^2 + b^2 = c^2

¡Esto demuestra el teorema de Pitágoras! ✓

4. Caso Especial: Triángulo Rectángulo Isósceles ( $a = b$ )

Ambos catetos iguales: a = b

Cuando los dos catetos son iguales (

a = b

), sustituimos en el teorema:

c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}

• Si

a = b = 3

c = 3\sqrt{2} \approx 4.24

• Si

a = b = 5

c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

La diagonal de un cuadrado con lado

s

d = s\sqrt{2}

Domina SealMath: Introducir Raíces Cuadradas

Muchas respuestas incluyen raíces cuadradas como

\sqrt{50}

5\sqrt{2}

.
• Atajo de teclado: Escribe sqrt — MathLive creará instantáneamente

\sqrt{\square}

.
• Teclado virtual: Haz clic en ⌨️, pestaña 123, botón √□.

Preguntas Frecuentes

¿Cómo se define el área de una figura?

El área de una figura se define por la cantidad de cuadrados unitarios de 1 por 1 que caben dentro de ella. Por ejemplo, si un rectángulo puede dividirse exactamente en 30 cuadrados de 1 por 1, su área es 30.

¿Cómo se calcula el área de un rectángulo y de un cuadrado?

El área de un rectángulo se calcula como ancho × alto (A = w × h). Un cuadrado es un tipo especial de rectángulo donde todos los lados son iguales (w = h = s). Por lo tanto, el área de un cuadrado es lado × lado, o lado al cuadrado (A = s²).

¿Cómo se calcula el área de un triángulo rectángulo?

El área de un triángulo rectángulo se calcula multiplicando sus dos catetos y dividiendo el resultado entre 2 (A = ab / 2). Esto se debe a que un triángulo rectángulo ocupa exactamente la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura.

¿Puede el área de una figura ser un número irracional?

Sí, si las longitudes de los lados son números irracionales (como √2), el área resultante puede ser racional o irracional. Puedes aprender más sobre estas clasificaciones en nuestro tema de Conjuntos Numéricos - Reales y Complejos.