📊 Desigualdades lineales

1. Relaciones de comparación y expresiones verbales

• Estrictamente menor que ($<$): El valor es estrictamente más pequeño que la frontera. Frases: menor que, bajo, inferior a.
• Estrictamente mayor que ($>$): El valor es estrictamente más grande que la frontera. Frases: mayor que, más de, sobre, supera a.
• Menor o igual que ($\le$): El valor es menor o igual que el valor frontera. Frases: menor o igual, a lo sumo, como máximo, no más de.
• Mayor o igual que ($\ge$): El valor es mayor o igual que el valor frontera. Frases: mayor o igual, al menos, como mínimo, no menos de.
• Distinto de ($\neq$): Cualquier número real excepto el propio punto frontera.

2. Reglas de graficación en la recta numérica

• Tipo de círculo en el punto frontera:
  - Círculo abierto ($\circ$, hueco): Se utiliza para desigualdades estrictas ($<$ y $>$). El punto frontera no forma parte del conjunto solución.
  - Círculo lleno ($\bullet$, relleno): Se utiliza para desigualdades inclusivas ($\le$ y $\ge$). El punto frontera sí forma parte del conjunto solución.
  
• Dirección del rayo:
  - Hacia la derecha ($>$ o $\ge$): El rayo se extiende hacia la derecha hacia el infinito positivo ($+\infty$).
  - Hacia la izquierda ($<$ o $\le$): El rayo se extiende hacia la izquierda hacia el infinito negativo ($-\infty$).
  - Distinto de ($\neq$): Se coloca un círculo abierto ($\circ$) en el punto frontera y se sombrea la recta en ambas direcciones ($x < a$ y $x > a$), incluyendo todos los números reales excepto el propio punto frontera.

• Paso 1 — Identificar el punto frontera: Localiza el número en la recta donde cambia la condición.
• Paso 2 — Determinar el tipo de círculo: Observa el símbolo. Elige un círculo abierto ($\circ$) para estrictos ($<$, $>$) o lleno ($\bullet$) para inclusivos ($\le$, $\ge$).
• Paso 3 — Determinar la dirección: Traza la flecha hacia la derecha para valores mayores ($>$ o $\ge$) o hacia la izquierda para menores ($<$ o $\le$).
• Paso 4 — Verificar con un punto de prueba: Selecciona un valor sencillo (como $x = 0$) en la región sombreada y comprueba que la desigualdad se cumpla.

1. Propiedades de la suma y la resta de las desigualdades

• Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$ y $a - c < b - c$
• Si $a \le b$, entonces $a + c \le b + c$ y $a - c \le b - c$
• Si $a > b$, entonces $a + c > b + c$ y $a - c > b - c$
• Si $a \ge b$, entonces $a + c \ge b + c$ y $a - c \ge b - c$
  
• Por qué funciona: Nos permite deshacer una suma mediante una resta y deshacer una resta mediante una suma, dejando la variable despejada y conservando la desigualdad.

2. Guía de resolución paso a paso

• Paso 1 — Identificar la operación: Determina qué operación y qué número afectan a la variable ($x$).
• Paso 2 — Aplicar la operación inversa: Realiza la operación opuesta en ambos lados de la desigualdad para despejar $x$.
• Paso 3 — Simplificar: Calcula el resultado simplificado. Recuerda: ¡el sentido del signo de desigualdad no cambia!
• Paso 4 — Representar la solución: Marca el punto frontera con un círculo abierto (para $<$ o $>$) o lleno (para $\le$ o $\ge$) y sombrea el rayo correspondiente.

1. Propiedades de la multiplicación y la división en las desigualdades

• Multiplicar/Dividir por un número positivo ($c > 0$): La dirección del signo de desigualdad se mantiene sin cambios:
  
  $$\text{Si } a < b \text{ y } c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{y} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
  
  Ejemplo: $2x < 10 \implies x < 5$
  
• ⚠️ La Regla de Oro — Multiplicar/Dividir por un número negativo ($c < 0$): Al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, el signo de desigualdad DEBE INVERTIRSE:
  
  $$\text{Si } a < b \text{ y } c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{y} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
• ¿Por qué se invierte el signo? (Dos explicaciones intuitivas):
  1. Razón geométrica en la recta numérica: Considera $2 < 5$. Si multiplicamos ambos lados por $-1$, obtenemos $-2$ y $-5$. En la recta numérica, $-2$ está a la derecha de $-5$, por lo que $-2 > -5$. Multiplicar por un número negativo refleja las posiciones a través del cero, invirtiendo su orden relativo.
  2. Explicación algebraica trasladando ambos lados: Considera $-x > -3$. Si sumamos $+x$ a ambos lados, obtenemos $0 > -3 + x$. Luego, sumando $+3$ a ambos lados obtenemos $3 > x$, lo que equivale a $x < 3$. Así, $-x > -3 \iff x < 3$. Este es exactamente el mismo resultado que obtenemos al multiplicar ambos lados por $-1$, lo que invierte el signo de la desigualdad. En este sentido, trasladar ambos lados al lado opuesto es algebraicamente equivalente a multiplicar toda la desigualdad por $-1$.

• $3x \le -12 \implies x \le -4$ (Al dividir entre $+3 > 0$, el signo se mantiene $\le$)
• $-3x \le 12 \implies x \ge -4$ (Al dividir entre $-3 < 0$, el signo se invierte a $\ge$)

3. Método de resolución paso a paso

• Paso 1 — Identificar el coeficiente: Determina el coeficiente y la operación que afectan a la variable.
• Paso 2 — Aplicar la operación inversa: Divide si la variable está multiplicada, o multiplica si está dividida.
• Paso 3 — 🚨 Verificación de inversión de signo: Si el número por el cual multiplicas o divides es negativo, invierte inmediatamente el signo de la desigualdad ($< \longleftrightarrow >$ y $\le \longleftrightarrow \ge$). Si es positivo, consérvalo.
• Paso 4 — Simplificar y graficar: Calcula el punto límite, elige círculo abierto o sólido y sombrea el rayo.

1. La estrategia de dos pasos

• Paso 1 — Aislar el término con la variable: Suma o resta los términos constantes en ambos lados para reunir todos los términos constantes en el lado opuesto.
  
  $$ax + b < c \implies ax < c - b$$
• Paso 2 — Aislar la variable: Multiplica o divide ambos lados por el coeficiente de la variable. 🚨 Regla de oro: ¡Si multiplicas o divides por un número negativo, recuerda invertir el signo de la desigualdad!

• Propiedad distributiva: Multiplica el término exterior por cada término dentro del paréntesis:
  
  $$a(x + b) \le c \implies ax + ab \le c$$
  
  Ejemplo: $3(x - 2) \le 15 \implies 3x - 6 \le 15 \implies 3x \le 21 \implies x \le 7$
  
• Combinar términos semejantes en un lado: Suma o resta los coeficientes de los términos semejantes antes de aislar la variable:
  Ejemplo: $5x - 2x + 4 > 19 \implies 3x + 4 > 19 \implies 3x > 15 \implies x > 5$

3. Método de resolución paso a paso

• Paso 1 — Simplificar expresiones: Desarrolla los paréntesis o combina términos semejantes si es necesario.
• Paso 2 — Aislar el término con la variable: Suma o resta constantes en ambos lados.
• Paso 3 — Aislar la variable: Divide o multiplica por el coeficiente (¡invierte el signo si es negativo!).
• Paso 4 — Graficar y verificar: Coloca un círculo abierto o cerrado en el valor límite, sombrea la semirrecta de solución y prueba un punto.

1. Intervalos acotados y desigualdades compuestas con "y"

• Forma: $a < x \le b$ significa que $x$ es simultáneamente mayor que $a$ y menor o igual que $b$ ($x > a \text{ y } x \le b$).
• Pistas verbales: entre $a$ y $b$, de $a$ a $b$, limitado por $a$ y $b$.
• Conjunto solución: Todos los números reales que cumplen ambas condiciones de los extremos.

• Extremo izquierdo ($a$): Coloca un círculo abierto ($\circ$) si $a < x$ o un círculo cerrado ($\bullet$) si $a \le x$.
• Extremo derecho ($b$): Coloca un círculo abierto ($\circ$) si $x < b$ o un círculo cerrado ($\bullet$) si $x \le b$.
• Sombreado: Sombrea el segmento continuo entre $a$ y $b$.

3. Resolución de desigualdades dobles: operaciones simultáneas en 3 partes

• Paso 1 — Aislar el término con la variable: Suma o resta la constante $c$ a las 3 partes:
  
  $$a - c \le mx < b - c$$
• Paso 2 — Aislar la variable: Divide o multiplica las 3 partes por $m$.
  🚨 Inversión de signo: Si $m < 0$, ¡invierte ambos signos de desigualdad e intercambia los límites!

1. Modelado de situaciones reales con desigualdades

• Tope / Límite máximo ($\le$): Gastos dentro de un presupuesto, capacidad de peso de un elevador, duración de batería.
• Meta / Mínimo requerido ($\ge$): Metas de ahorro, puntaje mínimo para aprobar, recaudación de fondos.
• Límites estrictos ($<$ o $>$): Límites de velocidad o peso que no se pueden alcanzar ni superar.

• A lo sumo, como máximo, no más de, no excede: $\le$
• Al menos, como mínimo, no menos de: $\ge$
• Menos de, por debajo de, estrictamente menor: $<$
• Más de, por encima de, excede: $>$

3. El método de 4 pasos para problemas verbales

• Paso 1 — Definir la variable: Identifica la cantidad desconocida y asígnale una letra (ej. Sea $b$ = número de libros).
• Paso 2 — Plantear la desigualdad: Combina la tarifa unitaria y los valores fijos con el símbolo de desigualdad adecuado.
• Paso 3 — Resolver algebraicamente: Aplica operaciones inversas para aislar la variable.
• Paso 4 — Interpretar en el contexto (números enteros): Como los objetos físicos son indivisibles (libros, personas, cajas, semanas), redondea hacia abajo para cantidades máximas y hacia arriba para cantidades mínimas.