📊 Desigualdades Lineales: Desigualdades compuestas e intervalos

Domina las desigualdades compuestas: expresa intervalos acotados (a < x ≤ b), aplica operaciones simultáneas en las 3 partes, invierte signos con coeficientes negativos y grafica segmentos en la recta numérica.

Desigualdades compuestas e intervalos

Temas de aprendizaje

Desigualdades compuestas e intervalos acotados: resolución y recta numérica

1. Intervalos acotados y desigualdades compuestas con "y"

Una desigualdad compuesta (intervalo acotado) describe los valores que se encuentran, de forma estricta o inclusiva, entre dos extremos finitos:
  • Forma: a<x≤ba < x \le b significa que xx es simultáneamente mayor que aa y menor o igual que bb (x>a y x≤bx > a \text{ y } x \le b).
  • Pistas verbales: entre aa y bb, de aa a bb, limitado por aa y bb.
  • Conjunto solución: Todos los números reales que cumplen ambas condiciones de los extremos.

2. Gráfica en la recta numérica: Segmentos acotados y círculos en los extremos

Graficar un intervalo acotado en la recta numérica forma un segmento de recta que une dos círculos en los extremos:
  • Extremo izquierdo (aa): Coloca un círculo abierto (∘\circ) si a<xa < x o un círculo cerrado (∙\bullet) si a≤xa \le x.
  • Extremo derecho (bb): Coloca un círculo abierto (∘\circ) si x<bx < b o un círculo cerrado (∙\bullet) si x≤bx \le b.
  • Sombreado: Sombrea el segmento continuo entre aa y bb.
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3. Resolución de desigualdades dobles: operaciones simultáneas en 3 partes

Para resolver una desigualdad doble de la forma a≤mx+c<ba \le mx + c < b, aísla la variable en el centro aplicando cada operación algebraicamente de forma simultánea en las tres partes (izquierda, centro y derecha):
  • Paso 1 — Aislar el término con la variable: Suma o resta la constante cc a las 3 partes:
    a−c≤mx<b−ca - c \le mx < b - c
  • Paso 2 — Aislar la variable: Divide o multiplica las 3 partes por mm.
    🚨 Inversión de signo: Si m<0m < 0, ¡invierte ambos signos de desigualdad e intercambia los límites!
Ejemplo resuelto: Resolver −2≤2x+4<10-2 \le 2x + 4 < 10
1. Paso 1 — Restar 44 a las tres partes:
−2−4≤2x+4−4<10−4  ⟹  −6≤2x<6-2 - 4 \le 2x + 4 - 4 < 10 - 4 \implies -6 \le 2x < 6

2. Paso 2 — Dividir las tres partes entre 22 (2>02 > 0):
−62≤2x2<62  ⟹  −3≤x<3\frac{-6}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2} \implies -3 \le x < 3

3. Gráfica en la recta numérica: Círculo cerrado en −3-3, círculo abierto en 33 y un segmento sombreado que une −3-3 con 33.
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💡
💡 Regla de oro para desigualdades dobles
¡Toda operación que apliques para aislar la variable en el centro debe aplicarse idénticamente tanto al lado izquierdo como al derecho al mismo tiempo!
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❓ Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre un círculo abierto y un círculo lleno en la recta numérica?
Un círculo abierto (○) indica una desigualdad estricta (<< o >>) donde el punto frontera no está incluido. Un círculo lleno (●) indica una desigualdad inclusiva (≤\le o ≥\ge) donde el punto frontera sí forma parte de la solución.
¿Cómo sé en qué dirección sombrear la recta numérica?
Cuando la variable está aislada a la izquierda (como x>ax > a o x≥ax \ge a), sombrea hacia la derecha hacia +∞+\infty. Para x<ax < a o x≤ax \le a, sombrea hacia la izquierda hacia −∞-\infty. Siempre puedes verificarlo probando un valor de prueba en la región sombreada.
¿Cómo se traducen expresiones como "al menos" y "a lo sumo" a símbolos matemáticos?
"Al menos" representa un requisito mínimo y se traduce como mayor o igual que (≥\ge). "A lo sumo" representa un tope máximo y se traduce como menor o igual que (≤\le).
¿Cuándo se invierte el signo de desigualdad al resolver?
Se invierte el signo de desigualdad (por ejemplo, de << a >>, o de ≤\le a ≥\ge) únicamente cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo. Sumar, restar o multiplicar/dividir por un número positivo nunca cambia el signo.
¿Cómo se resuelve y grafica una desigualdad compuesta como a<x≤ba < x \le b?
Una desigualdad compuesta a<x≤ba < x \le b representa el intervalo donde xx es mayor que aa y menor o igual que bb. En la recta numérica, se coloca un círculo abierto en aa, un círculo lleno en bb, y se sombrea el segmento entre ellos.
¿Cómo puedo verificar si mi solución es correcta?
Elige un punto de prueba dentro de la región sombreada (como x=0x = 0 o x=10x = 10) y sustitúyelo en la desigualdad original. Si produce una afirmación verdadera (como 5≤125 \le 12), la solución y el sombreado probablemente sean correctos (aunque probar un punto no es una certeza definitiva).