📊 Desigualdades Lineales: Desigualdades lineales en dos pasos

Domina las desigualdades lineales en dos pasos: aísla el término con la variable, aplica operaciones inversas, usa la propiedad distributiva, combina términos semejantes e invierte el signo cuando corresponda.

Desigualdades lineales en dos pasos

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Desigualdades lineales en dos pasos: resolución, propiedad distributiva y recta numérica

1. La estrategia de dos pasos

Para resolver una desigualdad de dos pasos de la forma ax+b<cax + b < c (o con >>, ≤\le, ≥\ge), deshaz las operaciones aplicando operaciones inversas en el orden inverso:
  • Paso 1 — Aislar el término con la variable: Suma o resta los términos constantes en ambos lados para reunir todos los términos constantes en el lado opuesto.
    ax+b<c  ⟹  ax<c−bax + b < c \implies ax < c - b
  • Paso 2 — Aislar la variable: Multiplica o divide ambos lados por el coeficiente de la variable. 🚨 Regla de oro: ¡Si multiplicas o divides por un número negativo, recuerda invertir el signo de la desigualdad!

2. Propiedad distributiva y combinación de términos semejantes

Antes de realizar los dos pasos de aislamiento, simplifica las expresiones en cada lado si es necesario:
  • Propiedad distributiva: Multiplica el término exterior por cada término dentro del paréntesis:
    a(x+b)≤c  ⟹  ax+ab≤ca(x + b) \le c \implies ax + ab \le c

    Ejemplo: 3(x−2)≤15  ⟹  3x−6≤15  ⟹  3x≤21  ⟹  x≤73(x - 2) \le 15 \implies 3x - 6 \le 15 \implies 3x \le 21 \implies x \le 7
  • Combinar términos semejantes en un lado: Suma o resta los coeficientes de los términos semejantes antes de aislar la variable:
    Ejemplo: $5x - 2x + 4 > 19 \implies 3x + 4 > 19 \implies 3x > 15 \implies x > 5$

3. Método de resolución paso a paso

Sigue este método sistemático de 4 pasos para cualquier desigualdad lineal en dos pasos:
  • Paso 1 — Simplificar expresiones: Desarrolla los paréntesis o combina términos semejantes si es necesario.
  • Paso 2 — Aislar el término con la variable: Suma o resta constantes en ambos lados.
  • Paso 3 — Aislar la variable: Divide o multiplica por el coeficiente (¡invierte el signo si es negativo!).
  • Paso 4 — Graficar y verificar: Coloca un círculo abierto o cerrado en el valor límite, sombrea la semirrecta de solución y prueba un punto.
Ejemplo resuelto: Resolver −3x+7<22-3x + 7 < 22
1. Paso 1 — Aislar el término con la variable: Resta 77 a ambos lados:
−3x+7−7<22−7  ⟹  −3x<15-3x + 7 - 7 < 22 - 7 \implies -3x < 15

2. Paso 2 — Aislar la variable: Divide ambos lados entre −3-3.
🚨 Inversión de signo: Al dividir entre un número negativo (−3<0-3 < 0), el signo << se invierte a >>:
−3x−3>15−3  ⟹  x>−5\frac{-3x}{-3} > \frac{15}{-3} \implies x > -5

3. Gráfica y solución: Todos los números reales estrictamente mayores que −5-5 (círculo abierto en −5-5, sombreado hacia la derecha, hacia +∞+\infty).
-8-7-6-5-4-3-2-1012Test: -2
💡
💡 Estrategia clave: operaciones inversas y cambio de signo
Deshaz siempre primero las sumas y restas antes de multiplicar o dividir para aislar la variable. ¡Y nunca olvides que multiplicar o dividir por un coeficiente negativo invierte el signo de la desigualdad!
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❓ Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre un círculo abierto y un círculo lleno en la recta numérica?
Un círculo abierto (○) indica una desigualdad estricta (<< o >>) donde el punto frontera no está incluido. Un círculo lleno (●) indica una desigualdad inclusiva (≤\le o ≥\ge) donde el punto frontera sí forma parte de la solución.
¿Cómo sé en qué dirección sombrear la recta numérica?
Cuando la variable está aislada a la izquierda (como x>ax > a o x≥ax \ge a), sombrea hacia la derecha hacia +∞+\infty. Para x<ax < a o x≤ax \le a, sombrea hacia la izquierda hacia −∞-\infty. Siempre puedes verificarlo probando un valor de prueba en la región sombreada.
¿Cómo se traducen expresiones como "al menos" y "a lo sumo" a símbolos matemáticos?
"Al menos" representa un requisito mínimo y se traduce como mayor o igual que (≥\ge). "A lo sumo" representa un tope máximo y se traduce como menor o igual que (≤\le).
¿Cuándo se invierte el signo de desigualdad al resolver?
Se invierte el signo de desigualdad (por ejemplo, de << a >>, o de ≤\le a ≥\ge) únicamente cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo. Sumar, restar o multiplicar/dividir por un número positivo nunca cambia el signo.
¿Cómo se resuelve y grafica una desigualdad compuesta como a<x≤ba < x \le b?
Una desigualdad compuesta a<x≤ba < x \le b representa el intervalo donde xx es mayor que aa y menor o igual que bb. En la recta numérica, se coloca un círculo abierto en aa, un círculo lleno en bb, y se sombrea el segmento entre ellos.
¿Cómo puedo verificar si mi solución es correcta?
Elige un punto de prueba dentro de la región sombreada (como x=0x = 0 o x=10x = 10) y sustitúyelo en la desigualdad original. Si produce una afirmación verdadera (como 5≤125 \le 12), la solución y el sombreado probablemente sean correctos (aunque probar un punto no es una certeza definitiva).