📌 מספרים שלמים: כפל וחילוק

Q: איך יודעים אם מספר רציונלי הופך למספר עשרוני סופי או מחזורי?

מבצעים חילוק ארוך ($p \div q$) ועוקבים אחר השאריות: אם החילוק הארוך מגיע לשארית $0$, זהו **מספר עשרוני סופי** (למשל, $\frac{3}{8} = 0.375$). אם שארית חוזרת על עצמה, ספרות המנה יחזרו על עצמן ללא סוף (**מספר עשרוני מחזורי**, למשל, $\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$). *(קיצור דרך: שבר מצומצם סופי אם המכנה $q$ מכיל רק $2$ ו/או $5$ כגורמים ראשוניים.)*

למדו את כללי הסימנים לכפל וחילוק של מספרים שלמים חיוביים ושליליים.

כפל וחילוק

נפתרו: 0

נושאי לימוד

מדריך למידה

1. כללי הסימנים לכפל וחילוק

כללי הסימנים לכפל:
◦ ‏ $\text{חיובי} \times \text{חיובי} = \text{חיובי}$ ‏ (‏ $(+) \times (+) = +$ ‏)
◦ ‏ $\text{חיובי} \times \text{שלילי} = \text{שלילי}$ ‏ (‏ $(+) \times (-) = -$ ‏)
◦ ‏ $\text{שלילי} \times \text{שלילי} = \text{חיובי}$ ‏ (‏ $(-) \times (-) = +$ ‏)
פיתוח באמצעות חוק הפילוג:
מדוע ‏ $(-1)(-1) = 1$ ‏? מכיוון ש-‏ $1 + (-1) = 0$ ‏, הכפלה ב-‏ $(-1)$ ‏ נותנת:
‏ $(-1)(1 + (-1)) = (-1)(1) + (-1)(-1)$ ‏
‏ $0 = -1 + (-1)(-1)$ ‏
‏ $\implies (-1)(-1) = 1$ ‏
כללי הסימנים לחילוק:◦ ‏ $\dfrac{\text{חיובי}}{\text{חיובי}} = \text{חיובי}$ ‏ (‏ $(+) \div (+) = +$ ‏)◦ ‏ $\dfrac{\text{שלילי}}{\text{שלילי}} = \text{חיובי}$ ‏ (‏ $(-) \div (-) = +$ ‏)◦ ‏ $\dfrac{\text{חיובי}}{\text{שלילי}} = \text{שלילי}$ ‏ (‏ $(+) \div (-) = -$ ‏)◦ ‏ $\dfrac{\text{שלילי}}{\text{חיובי}} = \text{שלילי}$ ‏ (‏ $(-) \div (+) = -$ ‏)

סיכום כללי הסימנים

כפל או חילוק של מספרים בעלי אותו סימן ייתן תוצאה חיובית (+). סימנים שונים ייתנו תוצאה שלילית (-).

2. חילוק מספרים שלמים וצורות שקולות של שברים

חילוק באפס: חילוק באפס אינו מוגדר (‏ $\frac{p}{0}$ ‏ אינו מוגדר).
מספרים רציונליים: כל מנה של מספרים שלמים ‏ $\frac{p}{q}$ ‏ (כאשר ‏ $q \neq 0$ ‏) היא מספר רציונלי.
צורות שקולות של שברים שליליים: ניתן למקם את סימן המינוס במונה, במכנה, או לפני השבר כולו:
$-\frac{p}{q} = \frac{-p}{q} = \frac{p}{-q}$

דוגמה: ‏ $\frac{-12}{4} = \frac{12}{-4} = -\frac{12}{4} = -3$ ‏.

💡 טיפ לשליטה בכפל ובחילוק

בעת כפל או חילוק של מספרים בעלי סימן: אותם סימנים נותנים תמיד תוצאה חיובית (+), וסימנים שונים נותנים תוצאה שלילית (-)! כמו כן, חילוק באפס אינו מוגדר לעולם.

נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מהו הנגדי החיבורי (מספר נגדי)?

מספר נגדי הוא מספר שכאשר מוסיפים אותו למספר המקורי, מקבלים אפס. למשל, הנגדי של 7 הוא -7 מכיוון ש- 7 + (-7) = 0.

מדוע המכפלה של שני מספרים שליליים היא מספר חיובי?

מכפלה של שני מספרים שליליים נותנת תוצאה חיובית מכיוון שהכפלה במספר שלילי הופכת את הכיוון על ציר המספרים. היפוך הכיוון השלילי פעמיים מחזיר אותו לכיוון החיובי (למשל, ‏ $(-1) \times (-1) = 1$ ‏).

איך יודעים אם מספר רציונלי הופך למספר עשרוני סופי או מחזורי?

מבצעים חילוק ארוך (‏ $p \div q$ ‏) ועוקבים אחר השאריות: אם החילוק הארוך מגיע לשארית ‏ $0$ ‏, זהו מספר עשרוני סופי (למשל, ‏ $\frac{3}{8} = 0.375$ ‏). אם שארית חוזרת על עצמה, ספרות המנה יחזרו על עצמן ללא סוף (מספר עשרוני מחזורי, למשל, ‏ $\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$ ‏). (קיצור דרך: שבר מצומצם סופי אם המכנה ‏ $q$ ‏ מכיל רק ‏ $2$ ‏ ו/או ‏ $5$ ‏ כגורמים ראשוניים.)