📌 מספרים שלמים: מספרים נגדיים

Q: מהו הנגדי החיבורי (מספר נגדי)?

מספר נגדי הוא מספר שכאשר מוסיפים אותו למספר המקורי, מקבלים אפס. למשל, הנגדי של 7 הוא -7 מכיוון ש- 7 + (-7) = 0.

Q: מדוע המכפלה של שני מספרים שליליים היא מספר חיובי?

מכפלה של שני מספרים שליליים נותנת תוצאה חיובית מכיוון שהכפלה במספר שלילי הופכת את הכיוון על ציר המספרים. היפוך הכיוון השלילי פעמיים מחזיר אותו לכיוון החיובי (למשל, $(-1) \times (-1) = 1$).

Q: איך יודעים אם מספר רציונלי הופך למספר עשרוני סופי או מחזורי?

מבצעים חילוק ארוך ($p \div q$) ועוקבים אחר השאריות: אם החילוק הארוך מגיע לשארית $0$, זהו **מספר עשרוני סופי** (למשל, $\frac{3}{8} = 0.375$). אם שארית חוזרת על עצמה, ספרות המנה יחזרו על עצמן ללא סוף (**מספר עשרוני מחזורי**, למשל, $\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$). *(קיצור דרך: שבר מצומצם סופי אם המכנה $q$ מכיל רק $2$ ו/או $5$ כגורמים ראשוניים.)*

תרגול מספרים נגדיים, הנגדי החיבורי (p + (-p) = 0) וחיסור על ציר המספרים.

מספרים נגדיים

נפתרו: 0

נושאי לימוד

מדריך למידה

1. ציר המספרים

ציר המספרים הוא קו אופקי ישר שבו כל נקודה מייצגת מספר.

ראשית הצירים (‏ $0$ ‏‏): נקודת ההתייחסות המרכזית על הציר.
מספרים חיוביים (‏ $> 0$ ‏‏): נמצאים מימין לאפס (‏ $1, 2, 3, \dots$ ‏‏). ככל שנעים ימינה, המספרים גדלים.
מספרים שליליים (‏ $< 0$ ‏‏): נמצאים משמאל לאפס (‏ $-1, -2, -3, \dots$ ‏‏). ככל שנעים שמאלה, המספרים קטנים.

ציר המספרים: כיוון חיובי ושלילי

2. מספרים נגדיים

שני מספרים הנמצאים באותו מרחק מאפס בכיוונים נגדיים על ציר המספרים נקראים מספרים נגדיים (או הנגדי החיבורי).

כלל המספר הנגדי: לכל מספר ‏ $p$ ‏,‏ המספר הנגדי לו הוא ‏ $-p$ ‏,‏ וסכומם תמיד שווה לאפס:
$p + (-p) = 0$
דוגמה מהחיים: רווח של $50 יחד עם הפסד של $50 מביאים לשינוי נטו של $0.
ייצוג על ציר המספרים: הביטוי ‏ $p + q$ ‏‏ מייצג התחלה בנקודה ‏ $p$ ‏‏ ותזוזה של ‏ $|q|$ ‏‏ יחידות:
- ימינה אם ‏ $q > 0$ ‏‏ (כיוון חיובי).
- שמאלה אם ‏ $q < 0$ ‏‏ (כיוון שלילי).

ציר המספרים: מספרים נגדיים (3- ו- 3+)

המרחק של 3- מאפס הוא 3 יחידות (שמאלה), והמרחק של 3+ מאפס הוא 3 יחידות (ימינה). הסכום: 3 + (-3) = 0

3. ערך מוחלט ומרחק מאפס

הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מאפס על ציר המספרים, ללא קשר לכיוון. מכיוון שמרחק אינו שלילי לעולם, הערך המוחלט של כל מספר הוא תמיד אי-שלילי (‏

|x| \ge 0

‏‏).

סימון: ערך מוחלט נכתב באמצעות קווים אנכיים סביב המספר: ‏ $|x|$ ‏.‏
תכונת המספרים הנגדיים: למספרים נגדיים יש בדיוק אותו מרחק מאפס, ולכן הערכים המוחלטים שלהם שווים:
$|-a| = |a|$

דוגמאות: ‏ $|-5| = 5$ ‏‏ וכן ‏ $|+5| = 5$ ‏.‏
חישוב ביטויים עם ערך מוחלט:
התייחסו לקווי הערך המוחלט ‏ $| \dots |$ ‏‏ כמו לסוגריים. תחילה מחשבים את הביטוי בתוך הקווים, ואז לוקחים את הערך המוחלט הלא-שלילי:
דוגמה: חשבו את ‏ $|-18 + 7| - |-5|$ ‏‏:
1. מחשבים בתוך הקווים תחילה: ‏ $-18 + 7 = -11$ ‏.‏
2. לוקחים ערך מוחלט: ‏ $|-11| = 11$ ‏‏ וכן ‏ $|-5| = 5$ ‏.‏
3. מחסירים: ‏ $11 - 5 = 6$ ‏.‏

ציר המספרים: ערך מוחלט כמרחק מאפס (|-5| = 5 ו- |+5| = 5)

המרחק מ-5- לאפס הוא 5 יחידות, והמרחק מ-5+ לאפס הוא 5 יחידות. גם |-5| וגם |+5| שווים ל-5.

4. חיסור כחיבור הנגדי

חיסור של מספר שקול מבחינה מתמטית לחיבור הנגדי שלו:

כלל החיסור:
$p - q = p + (-q)$
מרחק על ציר המספרים:
המרחק בין שני מספרים ‏ $p$ ‏‏ ו-‏ $q$ ‏‏ הוא הערך המוחלט של ההפרש ביניהם:
$\text{מרחק} = |p - q|$

דוגמה: המרחק בין ‏ $-5$ ‏‏ ל-‏ $3$ ‏‏ הוא ‏ $|-5 - 3| = |-8| = 8$ ‏‏ יחידות.

5. תכונות הפעולות

ניתן להשתמש בתכונות מתמטיות כדי לשנות את הסדר ולפשט ביטויים עם מספרים חיוביים ושליליים:

חוק החילוף בחיבור: ‏ $a + b = b + a$ ‏.‏ שינוי סדר האיברים אינו משנה את הסכום.
חוק הקיבוץ בחיבור: ‏ $(a + b) + c = a + (b + c)$ ‏.‏ שינוי קיבוץ האיברים אינו משנה את הסכום.

דוגמת אסטרטגיה: כדי לחשב את ‏

(-14) + 25 + (-11)

‏,‏ נשתמש בחוקי החילוף והקיבוץ כדי לקבץ את המספרים השליליים יחד:

(-14) + 25 + (-11) = 25 + \big[(-14) + (-11)\big] = 25 + (-25) = 0

💡 טיפ לשימוש במספרים שלמים

חשבו על חיסור כחיבור של מספר נגדי! למשל, ‏

a - b

‏‏ זהה ל-‏

a + (-b)

‏.‏ על ציר המספרים, מספרים חיוביים נמצאים מימין ומספרים שליליים נמצאים משמאל.

נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מהו הנגדי החיבורי (מספר נגדי)?

מספר נגדי הוא מספר שכאשר מוסיפים אותו למספר המקורי, מקבלים אפס. למשל, הנגדי של 7 הוא -7 מכיוון ש- 7 + (-7) = 0.

מדוע המכפלה של שני מספרים שליליים היא מספר חיובי?

מכפלה של שני מספרים שליליים נותנת תוצאה חיובית מכיוון שהכפלה במספר שלילי הופכת את הכיוון על ציר המספרים. היפוך הכיוון השלילי פעמיים מחזיר אותו לכיוון החיובי (למשל, ‏ $(-1) \times (-1) = 1$ ‏‏).

איך יודעים אם מספר רציונלי הופך למספר עשרוני סופי או מחזורי?

מבצעים חילוק ארוך (‏ $p \div q$ ‏‏) ועוקבים אחר השאריות: אם החילוק הארוך מגיע לשארית ‏ $0$ ‏,‏ זהו מספר עשרוני סופי (למשל, ‏ $\frac{3}{8} = 0.375$ ‏‏). אם שארית חוזרת על עצמה, ספרות המנה יחזרו על עצמן ללא סוף (מספר עשרוני מחזורי, למשל, ‏ $\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$ ‏‏). (קיצור דרך: שבר מצומצם סופי אם המכנה ‏ $q$ ‏‏ מכיל רק ‏ $2$ ‏‏ ו/או ‏ $5$ ‏‏ כגורמים ראשוניים.)