קבוצות מספרים (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ): ℚ, ℝ, ℂ — רציונליים, ממשיים ומרוכבים

קבוצות המספרים:
• מספרים טבעיים $\mathbb{N}$: מספרי הספירה $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
• מספרים שלמים $\mathbb{Z}$: מספרים שלמים (חיוביים ושליליים) $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• מספרים רציונליים $\mathbb{Q}$: מספרים שניתן להציג כשבר $\frac{a}{b}$ כאשר $a, b \in \mathbb{Z}$ ו-$b \neq 0$. דוגמאות: $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $0.5$, $0.333\dots$
• מספרים ממשיים $\mathbb{R}$: כל המספרים הרציונליים והאי-רציונליים (בעלי פיתוח עשרוני אינסופי לא מחזורי). דוגמאות: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$.
• מספרים מרוכבים $\mathbb{C}$: מספרים המכילים את היחידה המדומה $i$ (כאשר $i^2 = -1$). דוגמאות: $i$, $2 + 3i$.

חזקות וסדר פעולות חשבון:
חזקה מציינת כמה פעמים מספר מוכפל בעצמו. נשים לב להתנהגות סימני המינוס והשברים בחזקות שונות:
• מספר בריבוע ($x^2$): מספר המוכפל בעצמו. למשל, $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
• מספר בשלישית ($x^3$): מספר המוכפל בעצמו שלוש פעמים. למשל, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
• זהירות עם סימני מינוס וסוגריים!
אם סימן המינוס בתוך הסוגריים, סימן התוצאה תלוי בשאלה האם החזקה זוגית או אי-זוגית:
- חזקה זוגית נותנת תוצאה חיובית: $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$, וגם $(-2)^4 = 16$.
- חזקה אי-זוגית נותנת תוצאה שלילית: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$, וגם $(-2)^5 = -32$.
אם אין סוגריים, סימן המינוס מוחל לאחר החישוב של החזקה: $-2^3 = -(2^3) = -8$, וגם $-2^4 = -(2^4) = -16$.
• שברים:
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, וגם $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, מכיוון שמפעילים את החזקה גם על המונה וגם על המכנה: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$ וגם $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

שורשים ריבועיים:
השורש הריבועי $\sqrt{x}$ הוא המספר אשר העלאתו בריבוע תיתן את $x$. דוגמאות: $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
• מספרים אי-רציונליים:
$\sqrt{2}$ לא ניתן לכתיבה כשבר. הוא מספר אי-רציונלי. כלומר $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ אך $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
• פיתוח מתמטי יפה:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
מאחר ש-$\sqrt{2}$ אי-רציונלי, גם $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ הוא אי-רציונלי, ולכן הוא שייך ל-$\mathbb{R}$.
• שורשים שאינם ממשיים (מספרים מרוכבים):
שורש ריבועי של מספר שלילי, כמו $\sqrt{-1}$, אינו פתיר במספרים הממשיים. אנו מגדירים $\sqrt{-1} = i$, כאשר $i$ היא היחידה המדומה. מאחר שזה אינו מספר ממשי, $i \notin \mathbb{R}$, אך הוא שייך למספרים המרוכבים: $i \in \mathbb{C}$.

רשות: הוכחה ש-$\sqrt{2}$ הוא אי-רציונלי (אין צורך לזכור או להבין זאת באופן מלא):
נניח בשלילה ש-$\sqrt{2}$ הוא רציונלי. לכן ניתן להציגו כשבר מצומצם $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (כאשר ל-$a$ ול-$b$ אין גורמים משותפים).
העלאה בריבוע של שני האגפים תיתן $2 = \frac{a^2}{b^2}$, ולכן $a^2 = 2b^2$. פירוש הדבר ש-$a^2$ זוגי, ולכן גם $a$ זוגי (נניח $a = 2k$).
נציב $a = 2k$ במשוואה: $(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$. פירוש הדבר ש-$b^2$ זוגי, ולכן גם $b$ זוגי.
הראינו שגם $a$ וגם $b$ זוגיים, כלומר שניהם מתחלקים ב-2. זוהי סתירה להנחה שהשבר $\frac{a}{b}$ מצומצם. מכאן ש-$\sqrt{2}$ חייב להיות אי-רציונלי.