פונקציות: תחום הגדרה

תחום הגדרה של פונקציה הוא קבוצת כל ערכי הקלט האפשריים (בדרך כלל ערכי $x$) שעבורם הפונקציה מוגדרת ומחזירה ערך אמיתי תקין.

מגבלות על תחום ההגדרה יכולות לנבוע ממציאות פיזיקלית, חוקים מוגדרים מראש, או מפעולות מתמטיות שאינן מוגדרות עבור מספרים ממשיים:

• שטח עיגול (מגבלות פיזיות): שטח עיגול כפונקציה של הרדיוס שלו הוא $A(r) = \pi r^2$. מכיוון שרדיוס אינו יכול להיות שלילי, תחום ההגדרה מוגבל ל-$r \ge 0$.
• מדרגות מס (הגדרה לפי קטעים): במערכות מס הכנסה, שיעורי המס מוגדרים לפי מדרגות מס (מרווחי הכנסה). לדוגמה: 10% מס על הכנסה של עד 5,000 ש"ח ($0 \le x \le 5000$), ו-15% מס על הכנסה מעל 5,000 ש"ח ($x > 5000$). כל מדרגה כזו מייצגת חלק אחר של תחום ההגדרה.
• פונקציות רציונליות (חלוקה באפס): עבור הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x - 3}$, חילוק באפס אינו מוגדר. מכיוון שהמכנה אינו יכול להיות $0$, נדרוש $x - 3 \neq 0$, כלומר תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-$x = 3$.
• פונקציות שורש (שורש ריבועי): עבור הפונקציה $g(x) = \sqrt{x - 2}$, לא ניתן לחשב שורש ריבועי של מספר שלילי במספרים ממשיים. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי, ולכן נדרוש $x - 2 \ge 0$, כלומר תחום ההגדרה הוא $x \ge 2$.

ניתן לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה על ידי התבוננות בטווח האופקי של הגרף שלה. כאשר הגרף מתחיל או מסתיים בגבול מסוים, אופן הסימון של נקודת הקצה תלוי בשאלה האם נקודת הגבול נכללת בתחום:

• עיגול ריק (נקודה ריקה): משמש לציון אי-שוויונות חזקים ($>$ או $<$) שבהם נקודת הגבול עצמה אינה נכללת. לדוגמה, אם תחום ההגדרה הוא $x > 5$, הנקודה שבה $x = 5$ תצויר כעיגול קטן וריק.
• נקודה מלאה: משמשת כאשר נקודת הגבול נכללת ($\ge$ או $\le$).