פונקציות: תחום הגדרה

הבינו מהו תחום הגדרה של פונקציה, למדו על מגבלות קלט מהעולם האמיתי (כמו רדיוס ומדרגות מס), וראו כיצד תחומי הגדרה מיוצגים בגרפים.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: תחום הגדרה של פונקציה

תחום הגדרה של פונקציה הוא קבוצת כל ערכי הקלט האפשריים (בדרך כלל ערכי

x

) שעבורם הפונקציה מוגדרת ומחזירה ערך אמיתי תקין.

מגבלות נפוצות על תחום ההגדרה

מגבלות על תחום ההגדרה יכולות לנבוע ממציאות פיזיקלית, חוקים מוגדרים מראש, או מפעולות מתמטיות שאינן מוגדרות עבור מספרים ממשיים:

שטח עיגול (מגבלות פיזיות): שטח עיגול כפונקציה של הרדיוס שלו הוא $A(r) = \pi r^2$ . מכיוון שרדיוס אינו יכול להיות שלילי, תחום ההגדרה מוגבל ל- $r \ge 0$ .
מדרגות מס (הגדרה לפי קטעים): במערכות מס הכנסה, שיעורי המס מוגדרים לפי מדרגות מס (מרווחי הכנסה). לדוגמה: 10% מס על הכנסה של עד 5,000 ש"ח ( $0 \le x \le 5000$ ), ו-15% מס על הכנסה מעל 5,000 ש"ח ( $x > 5000$ ). כל מדרגה כזו מייצגת חלק אחר של תחום ההגדרה.
פונקציות רציונליות (חלוקה באפס): עבור הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ , חילוק באפס אינו מוגדר. מכיוון שהמכנה אינו יכול להיות $0$ , נדרוש $x - 3 \neq 0$ , כלומר תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל- $x = 3$ .
פונקציות שורש (שורש ריבועי): עבור הפונקציה $g(x) = \sqrt{x - 2}$ , לא ניתן לחשב שורש ריבועי של מספר שלילי במספרים ממשיים. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי, ולכן נדרוש $x - 2 \ge 0$ , כלומר תחום ההגדרה הוא $x \ge 2$ .

תחומי הגדרה בגרפים וגבולות

ניתן לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה על ידי התבוננות בטווח האופקי של הגרף שלה. כאשר הגרף מתחיל או מסתיים בגבול מסוים, אופן הסימון של נקודת הקצה תלוי בשאלה האם נקודת הגבול נכללת בתחום:

עיגול ריק (נקודה ריקה): משמש לציון אי-שוויונות חזקים ( $>$ או $<$ ) שבהם נקודת הגבול עצמה אינה נכללת. לדוגמה, אם תחום ההגדרה הוא $x > 5$ , הנקודה שבה $x = 5$ תצויר כעיגול קטן וריק.
נקודה מלאה: משמשת כאשר נקודת הגבול נכללת ( $\ge$ או $\le$ ).

איור 2: השוואה בין סגנונות של נקודות קצה בגרף. עיגול ריק מוציא את נקודת הקצה, בעוד שנקודה מלאה כוללת אותה.

נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?

על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-

(x, y)

. סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.

מה הופך יחס לפונקציה?

יחס הוא פונקציה אם ורק אם כל ערך קלט משויך לערך פלט אחד ויחיד. אם לקלט בודד יש מספר ערכי פלט שונים, היחס אינו פונקציה.

כיצד מוצאים היכן פונקציה חותכת את ציר ה-$y$?

כדי למצוא היכן פונקציה חותכת את ציר ה-

y

, מחשבים את

f(0)

על ידי החלפת

x

ב-

0

בנוסחת הפונקציה. הנקודה המתקבלת על הגרף תהיה

(0, f(0))

מה קורה אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה?

אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת עבורו. לדוגמה, בפונקציה

f(x) = \frac{1}{x}

, הצבת

x = 0

תוביל לחלוקה באפס, שאין לה ערך מתמטי מוגדר.

כיצד ניתן לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה מתוך הגרף שלה?

כדי למצוא את תחום ההגדרה מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האופקית לאורך ציר ה-

x

. נחפש את הנקודה השמאלית ביותר והימנית ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).

מה ההבדל בין תחום הגדרה לטווח?

תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי הקלט התקינים (בדרך כלל

x

) שניתן להציב בפונקציה, בעוד שהטווח הוא קבוצת כל ערכי הפלט (בדרך כלל

y

) שהפונקציה מחזירה כתוצאה מכך.

כיצד ניתן לזהות את הטווח של פונקציה מתוך הגרף שלה?

כדי למצוא את הטווח מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האנכית לאורך ציר ה-

y

. נחפש את הנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הללו הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).

מה זה אומר שפונקציה רציפה?

באופן אינטואיטיבי, זה אומר שאפשר לצייר את הגרף של הפונקציה בלי להרים את העיפרון מהדף. באופן מדויק יותר, פונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה, והגרף שלה צריך להתחבר בצורה חלקה ללא רווחים, קפיצות או חורים.

כיצד מוצאים נקודות שבהן הפונקציה אינה רציפה?

מחפשים ערכי קלט שבהם הפונקציה אינה מוגדרת (כמו חלוקה באפס). לדוגמה, הפונקציה

f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}

אינה רציפה ב-

x = 4

כי אסור לחלק באפס, מה שיוצר חור בגרף הפונקציה.

כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?

עבור פונקציה קווית

f(x) = mx + b

, הפונקציה עולה אם השיפוע

m > 0

ויורדת אם

m < 0

. עבור פונקציה ריבועית

f(x) = a(x-h)^2 + k

, נבדוק את סימן המקדם

a

: אם

a > 0

, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור

x < h

ועולה עבור

x > h

מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?

אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-

x