מבחן סיכום בפונקציות

על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-$(x, y)$. סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.

יחס הוא פונקציה אם ורק אם כל ערך קלט משויך לערך פלט אחד ויחיד. אם לקלט בודד יש מספר ערכי פלט שונים, היחס אינו פונקציה.

כדי למצוא היכן פונקציה חותכת את ציר ה-$y$, מחשבים את $f(0)$ על ידי החלפת $x$ ב-$0$ בנוסחת הפונקציה. הנקודה המתקבלת על הגרף תהיה $(0, f(0))$.

אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת עבורו. לדוגמה, בפונקציה $f(x) = \frac{1}{x}$, הצבת $x = 0$ תוביל לחלוקה באפס, שאין לה ערך מתמטי מוגדר.

כדי למצוא את תחום ההגדרה מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האופקית לאורך ציר ה-$x$. נחפש את הנקודה השמאלית ביותר והימנית ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).

תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי הקלט התקינים (בדרך כלל $x$) שניתן להציב בפונקציה, בעוד שהטווח הוא קבוצת כל ערכי הפלט (בדרך כלל $y$) שהפונקציה מחזירה כתוצאה מכך.

כדי למצוא את הטווח מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האנכית לאורך ציר ה-$y$. נחפש את הנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הללו הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).

באופן אינטואיטיבי, זה אומר שאפשר לצייר את הגרף של הפונקציה בלי להרים את העיפרון מהדף. באופן מדויק יותר, פונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה, והגרף שלה צריך להתחבר בצורה חלקה ללא רווחים, קפיצות או חורים.

מחפשים ערכי קלט שבהם הפונקציה אינה מוגדרת (כמו חלוקה באפס). לדוגמה, הפונקציה $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ אינה רציפה ב-$x = 4$ כי אסור לחלק באפס, מה שיוצר חור בגרף הפונקציה.

עבור פונקציה קווית $f(x) = mx + b$, הפונקציה עולה אם השיפוע $m > 0$ ויורדת אם $m < 0$. עבור פונקציה ריבועית $f(x) = a(x-h)^2 + k$, נבדוק את סימן המקדם $a$: אם $a > 0$, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור $x < h$ ועולה עבור $x > h$.

אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-$x$.