פונקציות: מבוא לפונקציות

פונקציה היא כלל מתמטי או קשר המחבר בין ערכי קלט לערכי פלט. עבור כל קלט, הפונקציה משייכת פלט אחד ויחיד.

אנו כותבים פונקציות באמצעות סימון מיוחד:

• $f$ הוא שם הפונקציה.
• $x$ הוא משתנה הקלט.
• $f(x)$ מייצג את ערך הפלט (תוצאת הכלל המופעל על $x$).
  
  לדוגמה, אם $f(x) = 2x + 1$:
• אם נציב קלט $3$, נחליף את $x$ ב-$3$: $f(3) = 2(3) + 1 = 7$. הקלט $3$ נותן את הפלט $7$.
• אם נציב קלט $0$, נחליף את $x$ ב-$0$: $f(0) = 2(0) + 1 = 1$.

חשוב להבין שישנן משוואות מתמטיות תקינות לחלוטין שאינן פונקציות. אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר לכך היא $x = 1$ (או $x = c$ עבור כל קבוע $c$). למרות ש-$x = 1$ היא משוואה מתמטית תקינה ובעלת משמעות רבה (המתארת ישר אנכי), היא אינה פונקציה מכיוון שהקלט $x = 1$ מתאים לאינסוף ערכי פלט של $y$. אין לבלבל בין העובדה שמשוואה מתמטית היא תקינה לבין השאלה האם היא מגדירה פונקציה.

כאשר אנו משרטטים פונקציה במערכת צירים, הקלט ($x$) מתאים למיקום האופקי, והפלט ($f(x)$ או $y$) מתאים למיקום האנכי. כל זוג קלט-פלט נותן לנו נקודה על הגרף:

• אם $f(3) = 5$, זה מתאים לנקודה $(3, 5)$ על הגרף.
• אם $f(0) = 2$, זה מתאים לנקודה $(0, 2)$ על הגרף.

לעיתים קרובות אנו יכולים להבחין בין פונקציות שונות על ידי התבוננות בנקודת החיתוך שלהן עם ציר ה-$y$ האנכי. נקודה זו נקראת נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$. מוצאים אותה תמיד על ידי הצבת קלט $0$, מה שנותן את הנקודה $(0, f(0))$.

לדוגמה, התבוננו בשני הישרים בגרף למטה:

• הישר הכחול המייצג את $f(x) = x + 1$ חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0, 1)$, מכיוון ש-$f(0) = 1$.
• הישר האדום המייצג את $g(x) = -x + 3$ חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0, 3)$, מכיוון ש-$g(0) = 3$.
  מכיוון ש-$f(0) \neq g(0)$, הם חותכים את הציר האנכי בגבהים שונים, מה שעוזר לנו להבחין ביניהם!