פונקציות: מבוא לפונקציה ריבועית

הכרת פונקציות ריבועיות מהצורה y = ax² ו-y = ax² + c, בניית טבלת ערכים, שרטוט פרבולה, זיהוי קודקוד (0, c), ציר סימטריה x = 0 והשוואת קצב גידול מול פונקציה קווית.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: מבוא לפונקציה ריבועית

בפרקים הקודמים, כל הפונקציות שחקרנו היו פונקציות קוויות (‏y=mx+by = mx + b‏). כפי שראינו, בפונקציה קווית המשתנה ‏xx‏ מופיע בחזקה ראשונה (‏x1x^1‏), קצב השינוי שלה קבוע, ולכן הגרף שלה הוא תמיד קו ישר.

כעת אנו מעמיקים בעולם של פונקציות פולינום (ביטויים אלגבריים הבנויים מחזקות שלמות של ‏xx‏). מה שקובע האם פולינום הוא קווי או שאינו קווי הוא המעריך (החזקה הגבוהה ביותר של ‏xx‏):
  • חזקה השווה ל-1 (‏x1x^1‏): הפולינום הוא קווי בעל קצב שינוי קבוע, והגרף שלו הוא קו ישר.
  • חזקה גדולה מ-1 (‏xnx^n‏ כאשר ‏n>1n > 1‏): כל פולינום בעל חזקה גדולה מ-1 (כגון ‏x2,x3x^2, x^3‏) הוא פונקציה שאינה קווית (לא-ליניארית)! קצב השינוי אינו קבוע, ולכן הגרף אינו עוד קו ישר, אלא מתעקל לעקומה.


כאשר החזקה הגבוהה ביותר של הפולינום היא בדיוק 2 (‏x2x^2‏), פונקציה זו נקראת פונקציה ריבועית (מלשון ריבוע). הגרף שלה יוצר עקומה חלקה וסימטרית בצורת קערה הנקראת פרבולה.
📏 פולינום קווי (‏x1x^1‏) — קו ישר
מבנה: ‏y=mx+by = mx + b‏. החזקה של ‏xx‏ שווה בדיוק ל-1. כפי שראינו, קצב השינוי (שיפוע ‏mm‏) הוא קבוע, ולכן הגרף הוא תמיד קו ישר.
🎢 פולינום ריבועי (‏x2x^2‏, חזקה ‏22‏)
מבנה: ‏y=ax2+cy = ax^2 + c‏. החזקה הגבוהה של ‏xx‏ גדולה מ-1 (חזקה 2). קצב השינוי אינו קבוע, ולכן הגרף מתעקל לפרבולה.
🌍מאיפה מגיעות משוואות ריבועיות? דוגמאות מהעולם האמיתי
📐 חישובי שטח (מקור השם "ריבוע")
המילה "ריבועית" מקורה במילה ריבוע. כאשר שני ממדים תלויים באופן לינארי ב-‏xx‏, הכפלתם יכולה להוביל באופן טבעי לאיבר ‏x2x^2‏:
  • שטח ריבוע בעל צלע ‏xx‏: ‏שטח=x⋅x=x2\text{שטח} = x \cdot x = x^2‏. שימו לב: הכפלת הצלע מ-‏33‏ ל-‏66‏ מגדילה את השטח פי ‏44‏ (מ-‏99‏ ל-‏3636‏, כי ‏22=42^2 = 4‏)!
  • שטח גינה מלבנית: אם הרוחב הוא ‏xx‏ והאורך ‏x+4x + 4‏, השטח הוא ‏שטח=x(x+4)=x2+4x\text{שטח} = x(x + 4) = x^2 + 4x‏.
  • שטח פיצה עגולה: ‏שטח=πr2\text{שטח} = \pi r^2‏.
🏀 כבידה ומסלול זריקה של כדור
כשזורקים כדור לסל או בועטים בכדורגל, כוח הכבידה מאט אותו בדרך למעלה, מביא אותו לנקודת שיא (קודקוד הפרבולה!), ומאיץ אותו כלפי מטה. גרף הגובה של הכדור לאורך הזמן יוצר קשת פרבולית: ‏h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t‏.

📈חוקר פרבולות אינטראקטיבי

הזיזו את המחוונים של ‏aa‏ ו-‏cc‏ וצפו כיצד הפרבולה מתרחבת, נפתחת מעלה/מטה וזזה אנכית.
‏y=x2y = x^2‏
(0, 0)xy
מקדם a‏a=1a = 1‏
קבוע c (הזזה אנכית)‏c=0c = 0‏
נפתחת כלפי מעלה (קודקוד מינימום)
קודקוד:‏(0,0)(0, 0)‏
ציר סימטריה:‏x=0x = 0‏
תבניות יסוד: ‏y=ax2y = ax^2‏ ו-‏y=ax2+cy = ax^2 + c‏
המקדם ‏aa‏: קובע האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ("פרבולה מחייכת", ‏a>0a > 0‏) או כלפי מטה ("פרבולה בוכה", ‏a<0a < 0‏). כאשר ‏a>0a > 0‏ הקודקוד הוא נקודת מינימום, וכאשר ‏a<0a < 0‏ הקודקוד הוא נקודת מקסימום. ככל ש-‏∣a∣|a|‏ גדול יותר, הפרבולה צרה ותלולה יותר.
קודקוד הפרבולה
עבור פונקציות מהצורה ‏y=ax2+cy = ax^2 + c‏, נקודת המפנה (קודקוד הפרבולה) נמצאת תמיד בנקודה:
(0,c)(0, c)
אם ‏a>0a > 0‏, הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר (נקודת מינימום). אם ‏a<0a < 0‏, הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר (נקודת מקסימום).

🔢טבלת ערכים וסימטריית הפרבולה

בבניית טבלת ערכים לפונקציה ריבועית, נבחר ערכי ‏xx‏ סימטריים סביב ‏x=0x = 0‏ (כגון ‏x=−2,−1,0,1,2x = -2, -1, 0, 1, 2‏). שימו לב שערכי ‏xx‏ נגדיים מניבים ערכי ‏yy‏ זהים לחלוטין: ‏f(−1)=f(1)f(-1) = f(1)‏ ו-‏f(−2)=f(2)f(-2) = f(2)‏.
‏xx‏‏x2x^2‏‏y=ax2+cy = ax^2 + c‏‏(x,y)(x, y)‏
-399‏(−3,9)(-3, 9)‏
-244‏(−2,4)(-2, 4)‏
-111‏(−1,1)(-1, 1)‏
000‏(0,0)(0, 0)‏
111‏(1,1)(1, 1)‏
244‏(2,4)(2, 4)‏
399‏(3,9)(3, 9)‏
המחשה חזותית: שיקוף סביב ציר ה-‏yy‏ ‏(x=0)(x = 0)‏
xמרחק = 2מרחק = 2מרחק = 1מרחק = 1x = 0(-2, 4)(2, 4)(-1, 1)(1, 1)(0, 0)
כל זוג ערכי ‏xx‏ נגדיים (למשל ‏x=−1x = -1‏ ו-‏x=1x = 1‏) נמצא במרחק אופקי שווה בדיוק מציר הסימטריה (‏x=0x = 0‏), ומניב גובה ‏yy‏ זהה לחלוטין: ‏f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)‏
ציר הסימטריה (‏x=0x = 0‏): הישר האנכי העובר דרך הקודקוד. מכיוון ש-‏(−x)2=x2(-x)^2 = x^2‏, שני חלקי הפרבולה מימין ומשמאל לציר ה-‏yy‏ הם תמונת ראי זה של זה: ‏f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)‏.

🚀השוואת קצבי גידול: פונקציה קווית מול פונקציה ריבועית

קווית: ‏y=3xy = 3x‏ריבועית: ‏y=x2y = x^2‏
‏xx‏‏y=3xy = 3x‏הפרשים (‏Δy\Delta y‏)‏y=x2y = x^2‏הפרש ראשון (‏Δy\Delta y‏)הפרש שני
00-0--
13311-
263432
393952
41231672
51532592
💡 מהי האות ‏Δ\Delta‏ (דלתא)? במתמטיקה, האות היוונית ‏Δ\Delta‏ מסמנת "שינוי" או "הפרש" (כאן, ‏Δy\Delta y‏ מייצג את השינוי ב-‏yy‏ משורה לשורה: ‏yy‏ הנוכחי פחות ‏yy‏ הקודם).

כלל הזיהוי לכיתה ח׳ (הפרש ההפרשים):
  • פונקציה קווית (‏y=3xy = 3x‏): ההפרשים (‏Δy\Delta y‏) קבועים תמיד (‏+3+3‏ בכל צעד).
  • פונקציה ריבועית (‏y=x2y = x^2‏): ההפרשים הראשונים (‏Δy\Delta y‏) גדלים (‏+1,+3,+5,+7,+9+1, +3, +5, +7, +9‏). אך שימו לב להפרש של ההפרשים: ‏3−1=23 - 1 = \mathbf{2}‏, ‏5−3=25 - 3 = \mathbf{2}‏, ‏7−5=27 - 5 = \mathbf{2}‏. הם תמיד קבועים (‏+2+2‏)!
פונקציה קווית משתנה בקצב קבוע (ההפרשים הראשונים שלה תמיד שווים כאשר ערכי ה-‏xx‏ גדלים בצעדים שווים). עבור פונקציה ריבועית, כאשר ערכי ה-‏xx‏ גדלים ב-‏11‏ בכל צעד, ההפרשים השניים קבועים ושווים ל-‏2a2a‏. כך מזהים תבנית ריבועית מתוך טבלה!
נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע העלאה בריבוע של מספר שלילי נותנת תוצאה חיובית?
כפל של שני מספרים שליליים נותן תמיד תוצאה חיובית: (−3)2=(−3)×(−3)=+9(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9. מסיבה זו הפרבולה סימטרית סביב ציר ה-y: f(−x)=a(−x)2+c=ax2+c=f(x)f(-x) = a(-x)^2 + c = ax^2 + c = f(x).
מדוע ציר הסימטריה הוא תמיד x=0x = 0 עבור y=ax2+cy = ax^2 + c?
מכיוון שאין איבר לינארי (bxbx). נקודת המפנה (הקודקוד) מתקבלת תמיד כאשר x=0x = 0, וציר ה-y (x=0x = 0) מחלק את הפרבולה לשני חצאים סימטריים.
כיצד מזהים האם הקודקוד הוא מינימום או מקסימום ללא שרטוט?
מתבוננים בסימן של המקדם aa. אם a>0a > 0 (חיובי), הפרבולה מחייכת ונפתחת מעלה, ולכן הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר (מינימום). אם a<0a < 0 (שלילי), הפרבולה בוכה ונפתחת מטה, ולכן הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר (מקסימום).
מדוע פונקציה ריבועית עם מקדם מוביל חיובי תעקוף בסופו של דבר כל פונקציה קווית?
פונקציה קווית מוסיפה כמות קבועה mm בכל צעד. בפונקציה ריבועית עם מקדם מוביל חיובי, קצב השינוי הולך וגדל. עבור ערכי xx חיוביים וגדולים מספיק, האיבר x2x^2 גדל מהר יותר מכל איבר לינארי.