משוואת הישר: אי-שוויונות לינאריים ותחומים חסומים

הצורה המפורשת היא ‏$y = ax + b$‏, שבה ‏$a$‏ הוא השיפוע של הישר ו-‏$b$‏ הוא החיתוך עם ציר ה-‏$y$‏ (כאשר נקודת החיתוך עצמה היא ‏$(0, b)$‏).

אם אנו מבודדים את ‏$y$‏ במשוואת ישר לצורה ‏$y = ax + b$‏, הערך של ‏$y$‏ נקבע אך ורק לפי ‏$x$‏. הדבר מאפשר לנו להשתמש בסימון פונקציה ולכתוב ‏$y = f(x)$‏.

משתמשים בנוסחת השיפוע: ‏$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$‏. חשוב להקפיד על אותו סדר חיסור של הנקודות במונה ובמכנה.

שני ישרים מקבילים אם ורק אם יש להם אותו שיפוע בדיוק (‏$a_1 = a_2$‏) אך נקודות חיתוך שונות עם ציר ה־y (‏$b_1 \neq b_2$‏). ישרים מקבילים לעולם אינם נפגשים.

משווים את השיפועים ואת נקודות החיתוך עם ציר ה־y:
- אם ‏$a_1 \neq a_2$‏: פתרון יחיד (הישרים נחתכים בנקודה אחת).
- אם ‏$a_1 = a_2$‏ וגם ‏$b_1 \neq b_2$‏: אין פתרון (הישרים מקבילים).
- אם ‏$a_1 = a_2$‏ וגם ‏$b_1 = b_2$‏: אינסוף פתרונות (שני הישרים מתלכדים לישר אחד).

כדי לחקור פונקציה קווית ‏$y = ax + b$‏, פועלים לפי השלבים הבאים:
1. מעבר לצורה מפורשת: מבודדים את ‏$y$‏ לקבלת המשוואה ‏$y = ax + b$‏.
2. זיהוי פרמטרים: מזהים את השיפוע ‏$a$‏ ואת הפרמטר ‏$b$‏.
3. נקודות חיתוך עם הצירים: מוצאים את החיתוך עם ציר ה־y ב-‏$(0, b)$‏ ואת החיתוך עם ציר ה־x ב-‏$\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$‏ (כאשר ‏$a \neq 0$‏).
4. התנהגות הפונקציה: קובעים אם הפונקציה עולה (‏$a > 0$‏), יורדת (‏$a < 0$‏) או קבועה (‏$a = 0$‏).
5. סרטוט הגרף: ישר נקבע באופן מלא על ידי שתי נקודות שונות. מכיוון ש-SealMath בודקת את הנקודות הנדרשות ולא קו רציף מצויר, סמנו את נקודות החיתוך ואת הנקודות הנוספות הנדרשות הנמצאות על הישר.

1. מוצאים את 3 נקודות החיתוך על ידי פתרון מערכות המשוואות.
2. מעבירים קו ייחוס אופקי או אנכי ליצירת משולש ייחוס ישר־זווית.
3. מחשבים את השטח בשיטה חיבורית (‏$S_1 + S_2$‏) או חיסורית (‏$S_{\text{ייחוס}} - S_1 - S_2$‏).

חובה להפוך את סימן אי-השוויון בכל פעם שכופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי.

משתמשים בקו מקווקו עבור אי-שוויון חזק (‏$<$‏ ו-‏$>$‏) כי נקודות הגבול אינן כלולות. משתמשים בקו רציף עבור אי-שוויון חלש (‏$\le$‏ ו-‏$\ge$‏) כי נקודות הגבול מקיימות את האי-שוויון.

1. מוצאים את קודקוד הזווית הישרה ‏$C(a, b)$‏ במפגש הקווים ‏$x = a$‏ ו-‏$y = b$‏.
2. מוצאים את נקודות החיתוך של הישר עם ‏$x = a$‏ ועם ‏$y = b$‏.
3. מחשבים את אורך הניצב האופקי ‏$W = |x_B - a|$‏ ואת הניצב האנכי ‏$H = |y_A - b|$‏.
4. שטח המשולש הוא ‏$\frac{1}{2} \cdot W \cdot H$‏.