Advertisement

שטח: מעגלים וריבועים חסומים

למדו על ריבוע החסום במעגל ומעגל החסום בריבוע. הבינו מדוע יחס השטחים ביניהם הוא קבוע ותרגלו שאלות חישוב הפרש שטחים.

מעגלים וריבועים חסומים

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. צורות חסומות ויחסים

צורה חסומה היא צורה גיאומטרית המשורטטת בתוך צורה אחרת, כך שהגבולות שלהן נוגעים זה בזה.
נחקור שני מבנים חסומים בסיסיים:
• ריבוע החסום במעגל (קודקודי הריבוע נמצאים על המעגל).
• מעגל החסום בריבוע (המעגל משיק לארבע צלעות הריבוע).

2. ריבוע החסום במעגל

rad = 2r
ריבוע חסום במעגל: אלכסון d=2rd = 2r, צלע aa. יחס השטחים הוא בדיוק 2/π.
נתון מעגל ברדיוס rr. הריבוע החסום בתוכו נוגע במעגל בקודקודיו.

אלכסון הריבוע שווה לקוטר המעגל: d=2rd = 2r.
לפי משפט פיתגורס עבור אורך צלע הריבוע aa:
a2+a2=d2  ⟹  2a2=(2r)2=4r2  ⟹  a2=2r2a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = (2r)^2 = 4r^2 \implies a^2 = 2r^2

• שטח הריבוע: Asquare=a2=2r2A_{\text{square}} = a^2 = 2r^2
• שטח המעגל: Acircle=πr2A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין הריבוע למעגל הוא קבוע:
AsquareAcircle=2r2πr2=2π≈0.637\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637

שימו לב שהרדיוס בריבוע r2r^2 מצטמצם לחלוטין! היחס תמיד שווה בדיוק ל-2π\frac{2}{\pi} ללא קשר לגודל הצורות.

3. מעגל החסום בריבוע

ra = 2r
מעגל חסום בריבוע: אורך צלע a=2ra = 2r. יחס השטחים הוא בדיוק π/4.
נתון מעגל ברדיוס rr החסום בריבוע באורך צלע aa. המעגל משיק לכל ארבע הצלעות.

קוטר המעגל שווה לאורך צלע הריבוע: d=a=2rd = a = 2r.
• שטח הריבוע: Asquare=a2=(2r)2=4r2A_{\text{square}} = a^2 = (2r)^2 = 4r^2
• שטח המעגל: Acircle=πr2A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין המעגל לריבוע הוא קבוע:
AcircleAsquare=πr24r2=π4≈0.785\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785

שוב, הרדיוס r2r^2 מצטמצם! היחס תמיד שווה בדיוק ל-π4\frac{\pi}{4} ללא קשר לגודל הצורות.

שאלות נפוצות

כיצד מוגדר שטח של צורה?

השטח של צורה מוגדר על ידי מספר ריבועי היחידה בגודל 1 על 1 שנכנסים בתוכה. לדוגמה, אם מלבן ניתן לחלוקה מדויקת ל-30 ריבועים של 1 על 1, השטח שלו הוא 30.

כיצד מחשבים שטח של מלבן וריבוע?

השטח של מלבן מחושב כרוחב × גובה (A = w × h). ריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן שבו כל הצלעות שוות (w = h = s). לכן, השטח של ריבוע הוא צלע × צלע, או צלע בריבוע (A = s²).

כיצד מחשבים שטח של משולש ישר זווית?

שטח של משולש ישר זווית מחושב כמחצית מכפלת הניצבים שלו (A = ab / 2). זאת משום שמשולש ישר זווית מהווה בדיוק חצי ממלבן בעל רוחב וגובה זהים.

כיצד מחשבים שטח של משולש כללי?

שטח של משולש כללי מחושב כמחצית המכפלה של הבסיס בגובה (A = (1/2) × b × h או A = bh/2), כאשר הגובה הוא המרחק האנכי מהבסיס לקודקוד הנגדי.

כיצד מחשבים שטח של מעגל?

שטח של מעגל מחושב כ-π כפול הרדיוס בריבוע (A = πr²). מכיוון ש-π הוא מספר אי-רציונלי, שטח המעגל עבור רדיוס רציונלי יהיה תמיד מספר אי-רציונלי.

מהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס קובע כי במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (a² + b² = c²). משתמשים בו כדי למצוא אורך צלע חסרה כאשר שתי הצלעות האחרות ידועות.

מהו יחס השטחים בין צורות חסומות?

עבור ריבוע החסום במעגל, יחס השטח בין הריבוע למעגל הוא תמיד בדיוק 2/π ≈ 0.637. עבור מעגל החסום בריבוע, יחס השטח בין המעגל לריבוע הוא תמיד בדיוק π/4 ≈ 0.785. יחסים אלו קבועים ללא קשר לגודל הפיזי של הצורות.

האם שטח של צורה יכול להיות מספר אי-רציונלי?

כן, אם אורכי הצלעות הם מספרים אי-רציונליים (כמו ⁦√2⁩), השטח שיתקבל יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי. תוכל ללמוד עוד על סיווגים אלה בנושא קבוצות מספרים - ממשיים ומורכבים.

שטח של צורות חסומות | SealMath | SealMath