שטח: משפט פיתגורס

למדו ותרגלו את משפט פיתגורס: מצאו יתרים, צלעות חסרות ואלכסונים של ריבועים ומלבנים עם תרגילים שלב-אחר-שלב.

משפט פיתגורס

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. משפט פיתגורס ושטחי הריבועים

נתון משולש ישר-זווית עם ניצבים

a

(בסיס) ו-

b

(גובה) ויתר

c

.

בנו ריבוע על כל צלע: לריבוע על הניצב

a

שטח

a^2

, לריבוע על הניצב

b

שטח

b^2

, ולריבוע על היתר שטח

c^2

.

משפט פיתגורס קובע ששטח הריבוע שעל היתר שווה בדיוק לסכום שטחי שני הריבועים שעל הניצבים. מכיוון שהשטח קשור לצלע², נוכל למצוא את אורך כל צלע אם ידועות שתי הצלעות האחרות.

שטח כל ריבוע שווה לריבוע הצלע המתאימה:

a^2

(כחול),

b^2

(אדום),

c^2

(סגול).

2. הנוסחה

משפט פיתגורס קובע:

a^2 + b^2 = c^2

כאשר

a

ו-

b

הם שני הניצבים ו-

c

הוא היתר (הצלע שמול הזווית הישרה — תמיד הצלע הארוכה ביותר).

ניתן לסדר מחדש כדי לפתור עבור כל צלע:
• מציאת היתר:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

• מציאת ניצב חסר:

a = \sqrt{c^2 - b^2}

או

b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. הוכחת המשפט

התחילו עם משולש ישר-זווית בעל ניצבים

a

ו-

b

ויתר

c

. סדרו 4 העתקים חופפים של המשולש הזה סביב ריבוע פנימי נטוי. התוצאה היא ריבוע חיצוני גדול עם צלע

(a+b)

.

ניתן לחשב את השטח הכולל בשתי דרכים:

• ישירות:

A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• על ידי חלקים:

A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2

לריבוע הגדול צלע

(a+b)

. ארבעת המשולשים הירוקים חופפים למשולש המקורי. לריבוע הסגול הפנימי צלע

c

השוואת שני הביטויים:

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

חיסור

2ab

משני הצדדים:

a^2 + b^2 = c^2

זה מוכיח את משפט פיתגורס! ✓

4. מקרה מיוחד: משולש ישר-שווה-שוקיים ( $a = b$ )

שני הניצבים שווים: a = b

כאשר שני הניצבים שווים (

a = b

), נציב במשפט:

c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}

• אם

a = b = 3

c = 3\sqrt{2} \approx 4.24

• אם

a = b = 5

c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

האלכסון של ריבוע עם צלע

s

d = s\sqrt{2}

שליטה ב-SealMath: הזנת שורשים ריבועיים

תשובות רבות כוללות שורשים ריבועיים כמו

\sqrt{50}

או

5\sqrt{2}

.
• קיצור מקלדת: הקלידו sqrt — MathLive יצור מיד

\sqrt{\square}

.
• מקלדת וירטואלית: לחצו על ⌨️, לשונית 123, כפתור √□.

שאלות נפוצות

כיצד מוגדר שטח של צורה?

השטח של צורה מוגדר על ידי מספר ריבועי היחידה בגודל 1 על 1 שנכנסים בתוכה. לדוגמה, אם מלבן ניתן לחלוקה מדויקת ל-30 ריבועים של 1 על 1, השטח שלו הוא 30.

כיצד מחשבים שטח של מלבן וריבוע?

השטח של מלבן מחושב כרוחב × גובה (A = w × h). ריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן שבו כל הצלעות שוות (w = h = s). לכן, השטח של ריבוע הוא צלע × צלע, או צלע בריבוע (A = s²).

כיצד מחשבים שטח של משולש ישר זווית?

שטח של משולש ישר זווית מחושב כמחצית מכפלת הניצבים שלו (A = ab / 2). זאת משום שמשולש ישר זווית מהווה בדיוק חצי ממלבן בעל רוחב וגובה זהים.

האם שטח של צורה יכול להיות מספר אי-רציונלי?

כן, אם אורכי הצלעות הם מספרים אי-רציונליים (כמו ⁦√2⁩), השטח שיתקבל יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי. תוכל ללמוד עוד על סיווגים אלה בנושא קבוצות מספרים - ממשיים ומורכבים.