📊 אי-שוויונות לינאריים

1. יחסי השוואה ומשמעותם המילולית

• קטן ממש (‏$<$‏): הערך קטן מנקודת הקצה ואינו שווה לה. ביטויים מילוליים: קטן מ-, פחות מ-, מתחת ל-.
• גדול ממש (‏$>$‏): הערך גדול מנקודת הקצה ואינו שווה לה. ביטויים מילוליים: גדול מ-, יותר מ-, מעל ל-.
• קטן או שווה / לכל היותר (‏$\le$‏): הערך אינו עולה על נקודת הקצה. ביטויים מילוליים: קטן או שווה, לכל היותר, לא יותר מ-.
• גדול או שווה / לפחות (‏$\ge$‏): הערך גדול או שווה לנקודת הקצה. ביטויים מילוליים: גדול או שווה, לפחות, לכל הפחות.
• שונה מ- (‏$\neq$‏): כל מספר ממשי פרט לנקודת הקצה עצמה.

2. כללי שרטוט על ציר המספרים

• סוג העיגול בנקודת הקצה:
  - עיגול ריק (‏$\circ$‏, חלול): משמש לאי-שוויונות חזקים (‏$<$‏ ו-‏$>$‏). נקודת הקצה עצמה אינה חלק מקבוצת הפתרון.
  - עיגול מלא (‏$\bullet$‏, אטום): משמש לאי-שוויונות חלשים (‏$\le$‏ ו-‏$\ge$‏). נקודת הקצה עצמה היא חלק מקבוצת הפתרון.
  
• כיוון סימון הקרן:
  - סימון ימינה (‏$>$‏ או ‏$\ge$‏): הקרן מתמשכת ימינה לעבר אינסוף חיובי (‏$+\infty$‏).
  - סימון שמאלה (‏$<$‏ או ‏$\le$‏): הקרן מתמשכת שמאלה לעבר אינסוף שלילי (‏$-\infty$‏).
  - שונה מ- (‏$\neq$‏): מציבים עיגול ריק (‏$\circ$‏) בנקודת הקצה ומסמנים את שתי הקרניים לשני הכיוונים (כל הישר פרט לנקודה).

• שלב 1 — זיהוי נקודת הקצה: אתרו את הערך על ציר המספרים שבו נמצא הגבול.
• שלב 2 — קביעת סוג העיגול: בדקו את סימן אי-השוויון. בחרו עיגול ריק (‏$\circ$‏) עבור אי-שוויון חזק (‏$<$‏, ‏$>$‏) או עיגול מלא (‏$\bullet$‏) עבור אי-שוויון חלש (‏$\le$‏, ‏$\ge$‏).
• שלב 3 — קביעת כיוון הקרן: שרטטו חץ ימינה עבור ערכים גדולים (‏$>$‏ או ‏$\ge$‏) או שמאלה עבור ערכים קטנים (‏$<$‏ או ‏$\le$‏).
• שלב 4 — בדיקה עם נקודת מבחן: בחרו ערך בדיקה נוח (כגון ‏$x = 0$‏) באזור המסומן והציבו כדי לוודא שאי-השוויון אכן מתקיים.

1. כללי החיבור והחיסור באי־שוויון

• אם ‏$a < b$‏, אז ‏$a + c < b + c$‏ וכן ‏$a - c < b - c$‏
• אם ‏$a \le b$‏, אז ‏$a + c \le b + c$‏ וכן ‏$a - c \le b - c$‏
• אם ‏$a > b$‏, אז ‏$a + c > b + c$‏ וכן ‏$a - c > b - c$‏
• אם ‏$a \ge b$‏, אז ‏$a + c \ge b + c$‏ וכן ‏$a - c \ge b - c$‏
  
• מדוע זה עובד: כך אפשר לבטל חיבור באמצעות חיסור, ולבטל חיסור באמצעות חיבור, לבודד את המשתנה ולשמור על אי־השוויון השקול.

2. שיטת פתרון שלב אחר שלב

• שלב 1 — זיהוי הפעולה: זהו איזו פעולה ואיזה מספר פועלים על המשתנה (‏$x$‏).
• שלב 2 — ביצוע הפעולה ההפוכה: בצעו את הפעולה ההפוכה בשני אגפי אי־השוויון כדי לבודד את ‏$x$‏.
• שלב 3 — פישוט: חשבו את התוצאה המפושטת. זכרו: כיוון סימן אי־השוויון אינו משתנה!
• שלב 4 — שרטוט הפתרון: סמנו את נקודת הקצה בעיגול ריק (עבור ‏$<$‏ או ‏$>$‏) או בעיגול מלא (עבור ‏$\le$‏ או ‏$\ge$‏), ולאחר מכן סמנו את הקרן בכיוון המתאים.

1. כללי הכפל והחילוק באי־שוויונות

• כפל או חילוק במספר חיובי (‏$c > 0$‏): כיוון סימן אי־השוויון אינו משתנה:
  
  $$\text{אם } a < b \text{ וגם} c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{וגם} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
  
  דוגמה: ‏$2x < 10 \implies x < 5$‏
  
• ⚠️ כלל הזהב — כפל או חילוק במספר שלילי (‏$c < 0$‏): בעת כפל או חילוק שני האגפים במספר שלילי, חובה להפוך את כיוון סימן אי־השוויון:
  
  $$\text{אם } a < b \text{וגם } c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{וגם} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
• מדוע הסימן מתהפך? (שני הסברים אינטואיטיביים):
  1. הסבר גאומטרי על ציר המספרים: נתבונן באי־השוויון ‏$2 < 5$‏. אם נכפול את שני האגפים ב־‏$-1$‏, נקבל ‏$-2$‏ ו־‏$-5$‏. על ציר המספרים, ‏$-2$‏ נמצא מימין ל־‏$-5$‏, ולכן ‏$-2 > -5$‏. כפל במספר שלילי משקף את המיקומים סביב האפס והופך את סדר הגדלים.
  2. הסבר אלגברי באמצעות העברת שני האגפים: נתבונן באי־השוויון ‏$-x > -3$‏. נוסיף ‏$+x$‏ לשני האגפים ונקבל ‏$0 > -3 + x$‏. כעת נוסיף ‏$+3$‏ לשני האגפים ונקבל ‏$3 > x$‏, שמשמעותו ‏$x < 3$‏. לכן ‏$-x > -3 \iff x < 3$‏. זוהי בדיוק אותה תוצאה שמתקבלת כאשר כופלים את שני האגפים ב־‏$-1$‏, פעולה שהופכת את כיוון אי־השוויון. במובן זה, העברת שני האגפים לאגף הנגדי שקולה אלגברית לכפל של כל אי־השוויון ב־‏$-1$‏.

• ‏$3x \le -12 \implies x \le -4$‏ (חילקנו ב־‏$+3 > 0$‏, הסימן נשאר ‏$\le$‏)
• ‏$-3x \le 12 \implies x \ge -4$‏ (חילקנו ב־‏$-3 < 0$‏, הסימן מתהפך ל־‏$\ge$‏)

3. שיטת פתרון שלב אחר שלב

• שלב 1 — זיהוי המקדם והפעולה: קבעו באיזה מספר המשתנה מוכפל או מחולק.
• שלב 2 — הפעלת הפעולה ההפוכה: חלקו אם המשתנה מוכפל, או הכפילו אם המשתנה מחולק.
• שלב 3 — 🚨 בדיקת היפוך סימן: אם המספר שבו כופלים או מחלקים שלילי, הפכו מיד את כיוון הסימן (‏$< \longleftrightarrow >$‏ וגם ‏$\le \longleftrightarrow \ge$‏). אם חיובי, השאירו את הסימן כפי שהוא.
• שלב 4 — פישוט ושרטוט: חשבו את נקודת הקצה, בחרו עיגול ריק/מלא ושרטטו את קרן הפתרון.

1. אסטרטגיית הפתרון הדו-שלבית

• שלב 1 — בידוד האיבר עם המשתנה: מחברים או מחסרים קבועים משני האגפים כדי להעביר את כל הקבועים לאגף השני.
  
  $$ax + b < c \implies ax < c - b$$
• שלב 2 — בידוד המשתנה: מכפילים או מחלקים את שני האגפים במקדם של המשתנה. 🚨 כלל הזהב: אם כופלים או מחלקים במספר שלילי, חובה להפוך את כיוון סימן אי-השוויון!

• פתיחת סוגריים (חוק הפילוג): כופלים את הגורם החיצוני בכל אחד מהאיברים שבתוך הסוגריים:
  
  $$a(x + b) \le c \implies ax + ab \le c$$
  
  דוגמה: ‏$3(x - 2) \le 15 \implies 3x - 6 \le 15 \implies 3x \le 21 \implies x \le 7$‏
  
• כינוס איברים דומים באותו אגף: מחברים או מחסרים את המקדמים של איברים עם אותו משתנה לפני הבידוד:
  דוגמה: $5x - 2x + 4 > 19 \implies 3x + 4 > 19 \implies 3x > 15 \implies x > 5$

3. שיטת הפתרון שלב-אחר-שלב

• שלב 1 — פישוט ביטויים: פתיחת סוגריים או כינוס איברים דומים במידת הצורך.
• שלב 2 — בידוד האיבר עם המשתנה: חיבור או חיסור מספרים משני האגפים.
• שלב 3 — בידוד המשתנה: חילוק או כפל במקדם (היפוך סימן אם המקדם שלילי!).
• שלב 4 — שרטוט ובדיקה: סימון עיגול ריק/מלא בנקודת הקצה, שרטוט קרן הפתרון ובדיקת נקודת מבחן.

1. קטעים חסומים ואי-שוויונות "וגם"

• מבנה: ‏$a < x \le b$‏ פירושו ש-‏$x$‏ גדול ממש מ-‏$a$‏ ובו-זמנית קטן או שווה ל-‏$b$‏ (‏$x > a \text{ וגם } x \le b$‏).
• ניסוחים מילוליים: בין ‏$a$‏ ל-‏$b$‏, מ-‏$a$‏ ועד ‏$b$‏, מוגבל בין ‏$a$‏ ל-‏$b$‏.
• קבוצת הפתרון: כל המספרים הממשיים הנמצאים בקטע שבין שתי נקודות הקצה.

• קצה שמאלי (‏$a$‏): עיגול ריק (‏$\circ$‏) עבור ‏$a < x$‏ או עיגול מלא (‏$\bullet$‏) עבור ‏$a \le x$‏.
• קצה ימני (‏$b$‏): עיגול ריק (‏$\circ$‏) עבור ‏$x < b$‏ או עיגול מלא (‏$\bullet$‏) עבור ‏$x \le b$‏.
• הדגשה (הצללה): צובעים את הקטע הרציף שבין שתי הנקודות.

3. פתרון אי-שוויון כפול: פעולות סימולטניות ב-3 אגפים

• שלב 1 — בידוד איבר המשתנה: מחסרים או מוסיפים את הקבוע ‏$c$‏ לכל 3 האגפים:
  
  $$a - c \le mx < b - c$$
• שלב 2 — בידוד המשתנה: מחלקים או כופלים את כל 3 האגפים ב-‏$m$‏.
  🚨 היפוך סימנים: אם כופלים או מחלקים במספר שלילי (‏$m < 0$‏), הופכים את שני סימני האי-שוויון ומחליפים את סדר הקצוות!

1. מידול מצבים מהחיים האמיתיים באמצעות אי-שוויונות

• תקרה / מגבלה עליונה (‏$\le$‏): קנייה במסגרת תקציב, קיבולת משקל במעלית, משך חיי סוללה.
• יעד / רף מינימום (‏$\ge$‏): יעד חיסכון, ציון מינימלי לעבור, מכסת גיוס כספים.
• גבולות קשיחים (‏$<$‏ או ‏$>$‏): מגבלות מהירות או משקל שאסור להגיע אליהן או לעבור אותן.

• לכל היותר, מקסימום, לא יותר מ-: ‏$\le$‏
• לפחות, מינימום, לא פחות מ-: ‏$\ge$‏
• פחות מ-, מתחת ל-: ‏$<$‏
• יותר מ-, מעל ל-, עולה על: ‏$>$‏

3. ארבעת השלבים לפתרון בעיה מילולית

• שלב 1 — הגדרת משתנה: נגדיר באות את הכמות המבוקשת (למשל: נסמן ב-‏$b$‏ את מספר הספרים).
• שלב 2 — בניית אי-השוויון: נחבר את התשלום הקבוע והמחיר ליחידה יחד עם סימן האי-שוויון המתאים.
• שלב 3 — פתרון אלגברי: נבצע פעולות הפוכות לבידוד המשתנה.
• שלב 4 — פירוש מעשי (מספרים שלמים): כיוון שעצמים פיזיים (כגון ספרים, קופסאות, שבועות) הם בדידים, נעגל כלפי מטה בכמויות מרביות וכלפי מעלה בכמויות מינימליות.