📊 אי-שוויונות לינאריים: אי-שוויונות כפולים וקטעים חסומים

שליטה באי-שוויונות כפולים: הבעת קטעים חסומים (a < x ≤ b), ביצוע פעולות אלגבריות סימולטניות בכל 3 האגפים, היפוך סימנים במקרה של מקדם שלילי ושרטוט קטעים על ציר המספרים.

אי-שוויונות כפולים וקטעים חסומים

נושאי לימוד

אי-שוויונות כפולים וקטעים חסומים - פתרון ושרטוט על ציר המספרים

1. קטעים חסומים ואי-שוויונות "וגם"

אי-שוויון כפול (קטע חסום) מתאר גודל החסום בין שני ערכי קצה סופיים:
  • מבנה: ‏a<x≤ba < x \le b‏ פירושו ש-‏xx‏ גדול ממש מ-‏aa‏ ובו-זמנית קטן או שווה ל-‏bb‏ (‏x>a וגם x≤bx > a \text{ וגם } x \le b‏).
  • ניסוחים מילוליים: בין ‏aa‏ ל-‏bb‏, מ-‏aa‏ ועד ‏bb‏, מוגבל בין ‏aa‏ ל-‏bb‏.
  • קבוצת הפתרון: כל המספרים הממשיים הנמצאים בקטע שבין שתי נקודות הקצה.

2. שרטוט על ציר המספרים: קטע רציף ונקודות קצה

שרטוט קטע חסום על ציר המספרים יוצר קטע ישר רציף המחבר בין שתי נקודות קצה:
  • קצה שמאלי (‏aa‏): עיגול ריק (‏∘\circ‏) עבור ‏a<xa < x‏ או עיגול מלא (‏∙\bullet‏) עבור ‏a≤xa \le x‏.
  • קצה ימני (‏bb‏): עיגול ריק (‏∘\circ‏) עבור ‏x<bx < b‏ או עיגול מלא (‏∙\bullet‏) עבור ‏x≤bx \le b‏.
  • הדגשה (הצללה): צובעים את הקטע הרציף שבין שתי הנקודות.
-5-4-3-2-10123456

3. פתרון אי-שוויון כפול: פעולות סימולטניות ב-3 אגפים

כדי לפתור אי-שוויון כפול מהצורה ‏a≤mx+c<ba \le mx + c < b‏, מבודדים את המשתנה באגף האמצעי באמצעות ביצוע אותה פעולה אלגברית בו-זמנית בכל שלושת האגפים (שמאל, מרכז וימין):
  • שלב 1 — בידוד איבר המשתנה: מחסרים או מוסיפים את הקבוע ‏cc‏ לכל 3 האגפים:
    a−c≤mx<b−ca - c \le mx < b - c
  • שלב 2 — בידוד המשתנה: מחלקים או כופלים את כל 3 האגפים ב-‏mm‏.
    🚨 היפוך סימנים: אם כופלים או מחלקים במספר שלילי (‏m<0m < 0‏), הופכים את שני סימני האי-שוויון ומחליפים את סדר הקצוות!
דוגמה פתורה: פתרון ‏−2≤2x+4<10-2 \le 2x + 4 < 10‏
1. שלב 1 — חיסור ‏44‏ מכל שלושת האגפים:
−2−4≤2x+4−4<10−4  ⟹  −6≤2x<6-2 - 4 \le 2x + 4 - 4 < 10 - 4 \implies -6 \le 2x < 6

2. שלב 2 — חילוק כל שלושת האגפים ב-‏22‏ (‏2>02 > 0‏):
−62≤2x2<62  ⟹  −3≤x<3\frac{-6}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2} \implies -3 \le x < 3

3. שרטוט על ציר המספרים: עיגול מלא ב-‏−3-3‏, עיגול ריק ב-‏33‏, וקטע רציף מודגש ביניהם.
-5-4-3-2-1012345Test: 0
💡
💡 כלל הזהב לאי-שוויונות כפולים
כל פעולה אלגברית שמבצעים כדי לבודד את המשתנה באגף האמצעי — יש להפעיל במדויק ובאותו הזמן גם על האגף השמאלי וגם על האגף הימני!
נושאי לימוד

❓ שאלות נפוצות

מה ההבדל בין עיגול ריק לעיגול מלא על גבי ציר המספרים?
עיגול ריק (○) מייצג אי-שוויון חזק (‏<<‏ או ‏>>‏) שבו נקודת הקצה אינה כלולה בפתרון. עיגול מלא (●) מייצג אי-שוויון חלש (‏≤\le‏ או ‏≥\ge‏) שבו נקודת הקצה כן מהווה חלק מקבוצת הפתרונות.
כיצד קובעים לאיזה כיוון לסמן את הקרן בציר המספרים?
כאשר המשתנה מבודד בצד שמאל (כמו ‏x>ax > a‏ או ‏x≥ax \ge a‏), מסמנים ימינה לכיוון אינסוף חיובי (‏+∞+\infty‏). כאשר ‏x<ax < a‏ או ‏x≤ax \le a‏, מסמנים שמאלה לכיוון אינסוף שלילי (‏−∞-\infty‏). תמיד ניתן לבדוק בעזרת נקודת מבחן כגון ‏x=0x = 0‏ (דבר המצביע על כך שהסימון ככל הנראה נכון, אם כי בדיקת נקודה אינה מהווה הוכחה מוחלטת).
כיצד מתרגמים ביטויים כמו "לפחות" ו"לכל היותר" לסימני אי-שוויון?
הביטוי "לפחות" מייצג סף תחתון מינימלי ומתורגם לסימן גדול או שווה (‏≥\ge‏). הביטוי "לכל היותר" מייצג תקרה מקסימלית ומתורגם לסימן קטן או שווה (‏≤\le‏).
מתי הופכים את כיוון סימן אי-השוויון?
הופכים את כיוון סימן אי-השוויון (למשל מ-‏<<‏ ל-‏>>‏, או מ-‏≤\le‏ ל-‏≥\ge‏) אך ורק כאשר כופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי. חיבור, חיסור, או כפל/חילוק במספר חיובי אינם משנים את כיוון הסימן.
כיצד פותרים ומשרטטים אי-שוויון כפול כגון ‏a<x≤ba < x \le b‏?
אי-שוויון כפול ‏a<x≤ba < x \le b‏ מתאר קטע שבו ‏xx‏ גדול ממש מ-‏aa‏ ובו-זמנית קטן או שווה ל-‏bb‏. בשרטוט על ציר המספרים ממקמים עיגול ריק ב-‏aa‏, עיגול מלא ב-‏bb‏, ומסמנים את הקטע המחבר ביניהם.
כיצד ניתן לבדוק אם פתרון אי-השוויון שקיבלנו נכון?
בוחרים נקודת מבחן מתוך התחום שסומן (למשל ‏x=0x = 0‏ או ‏x=10x = 10‏) ומציבים אותה באי-השוויון המקורי. אם מתקבל פסוק אמת (כגון ‏5≤125 \le 12‏), הפתרון וכיוון הסימון ככל הנראה נכונים (אם כי בדיקת נקודה בודדת אינה מהווה הוכחה מלאה).