📊 אי-שוויונות לינאריים: כפל וחילוק (היפוך סימן)

1. כללי הכפל והחילוק באי־שוויונות

• כפל או חילוק במספר חיובי (‏$c > 0$‏): כיוון סימן אי־השוויון אינו משתנה:
  
  $$\text{אם } a < b \text{ וגם} c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{וגם} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
  
  דוגמה: ‏$2x < 10 \implies x < 5$‏
  
• ⚠️ כלל הזהב — כפל או חילוק במספר שלילי (‏$c < 0$‏): בעת כפל או חילוק שני האגפים במספר שלילי, חובה להפוך את כיוון סימן אי־השוויון:
  
  $$\text{אם } a < b \text{וגם } c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{וגם} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
• מדוע הסימן מתהפך? (שני הסברים אינטואיטיביים):
  1. הסבר גאומטרי על ציר המספרים: נתבונן באי־השוויון ‏$2 < 5$‏. אם נכפול את שני האגפים ב־‏$-1$‏, נקבל ‏$-2$‏ ו־‏$-5$‏. על ציר המספרים, ‏$-2$‏ נמצא מימין ל־‏$-5$‏, ולכן ‏$-2 > -5$‏. כפל במספר שלילי משקף את המיקומים סביב האפס והופך את סדר הגדלים.
  2. הסבר אלגברי באמצעות העברת שני האגפים: נתבונן באי־השוויון ‏$-x > -3$‏. נוסיף ‏$+x$‏ לשני האגפים ונקבל ‏$0 > -3 + x$‏. כעת נוסיף ‏$+3$‏ לשני האגפים ונקבל ‏$3 > x$‏, שמשמעותו ‏$x < 3$‏. לכן ‏$-x > -3 \iff x < 3$‏. זוהי בדיוק אותה תוצאה שמתקבלת כאשר כופלים את שני האגפים ב־‏$-1$‏, פעולה שהופכת את כיוון אי־השוויון. במובן זה, העברת שני האגפים לאגף הנגדי שקולה אלגברית לכפל של כל אי־השוויון ב־‏$-1$‏.

• ‏$3x \le -12 \implies x \le -4$‏ (חילקנו ב־‏$+3 > 0$‏, הסימן נשאר ‏$\le$‏)
• ‏$-3x \le 12 \implies x \ge -4$‏ (חילקנו ב־‏$-3 < 0$‏, הסימן מתהפך ל־‏$\ge$‏)

3. שיטת פתרון שלב אחר שלב

• שלב 1 — זיהוי המקדם והפעולה: קבעו באיזה מספר המשתנה מוכפל או מחולק.
• שלב 2 — הפעלת הפעולה ההפוכה: חלקו אם המשתנה מוכפל, או הכפילו אם המשתנה מחולק.
• שלב 3 — 🚨 בדיקת היפוך סימן: אם המספר שבו כופלים או מחלקים שלילי, הפכו מיד את כיוון הסימן (‏$< \longleftrightarrow >$‏ וגם ‏$\le \longleftrightarrow \ge$‏). אם חיובי, השאירו את הסימן כפי שהוא.
• שלב 4 — פישוט ושרטוט: חשבו את נקודת הקצה, בחרו עיגול ריק/מלא ושרטטו את קרן הפתרון.