📊 אי-שוויונות לינאריים: אי-שוויונות לינאריים דו-שלביים

פתרון אי-שוויונות דו-שלביים: בידוד איבר עם נעלם, פעולות הפוכות, פתיחת סוגריים בחוק הפילוג, כינוס איברים דומים והיפוך סימן בעת כפל או חילוק במספר שלילי.

אי-שוויונות לינאריים דו-שלביים

נושאי לימוד

אי-שוויונות לינאריים דו-שלביים: פתרון, חוק הפילוג וציר המספרים

1. אסטרטגיית הפתרון הדו-שלבית

כדי לפתור אי-שוויון דו-שלבי מהצורה ‏ax+b<cax + b < c‏ (או עם הסימנים ‏>>‏, ‏≤\le‏, ‏≥\ge‏), מבצעים פעולות הפוכות בסדר הפוך מסדר פעולות החשבון:
  • שלב 1 — בידוד האיבר עם המשתנה: מחברים או מחסרים קבועים משני האגפים כדי להעביר את כל הקבועים לאגף השני.
    ax+b<c  ⟹  ax<c−bax + b < c \implies ax < c - b
  • שלב 2 — בידוד המשתנה: מכפילים או מחלקים את שני האגפים במקדם של המשתנה. 🚨 כלל הזהב: אם כופלים או מחלקים במספר שלילי, חובה להפוך את כיוון סימן אי-השוויון!

2. חוק הפילוג וכינוס איברים דומים

לפני ביצוע שני שלבי הבידוד, מפשטים את הביטויים בכל אגף לפי הצורך:
  • פתיחת סוגריים (חוק הפילוג): כופלים את הגורם החיצוני בכל אחד מהאיברים שבתוך הסוגריים:
    a(x+b)≤c  ⟹  ax+ab≤ca(x + b) \le c \implies ax + ab \le c

    דוגמה: ‏3(x−2)≤15  ⟹  3x−6≤15  ⟹  3x≤21  ⟹  x≤73(x - 2) \le 15 \implies 3x - 6 \le 15 \implies 3x \le 21 \implies x \le 7‏
  • כינוס איברים דומים באותו אגף: מחברים או מחסרים את המקדמים של איברים עם אותו משתנה לפני הבידוד:
    דוגמה: $5x - 2x + 4 > 19 \implies 3x + 4 > 19 \implies 3x > 15 \implies x > 5$

3. שיטת הפתרון שלב-אחר-שלב

פעלו לפי ארבעת השלבים הבאים לפתרון כל אי-שוויון לינארי דו-שלבי:
  • שלב 1 — פישוט ביטויים: פתיחת סוגריים או כינוס איברים דומים במידת הצורך.
  • שלב 2 — בידוד האיבר עם המשתנה: חיבור או חיסור מספרים משני האגפים.
  • שלב 3 — בידוד המשתנה: חילוק או כפל במקדם (היפוך סימן אם המקדם שלילי!).
  • שלב 4 — שרטוט ובדיקה: סימון עיגול ריק/מלא בנקודת הקצה, שרטוט קרן הפתרון ובדיקת נקודת מבחן.
דוגמה פתורה: פתרון ‏−3x+7<22-3x + 7 < 22‏
1. שלב 1 — בידוד האיבר עם המשתנה: נחסר ‏77‏ משני האגפים:
−3x+7−7<22−7  ⟹  −3x<15-3x + 7 - 7 < 22 - 7 \implies -3x < 15

2. שלב 2 — בידוד המשתנה: נחלק את שני האגפים ב-‏−3-3‏.
🚨 היפוך סימן: כיוון שחילקנו במספר שלילי (‏−3<0-3 < 0‏), הופכים את הסימן מ-‏<<‏ ל-‏>>‏:
−3x−3>15−3  ⟹  x>−5\frac{-3x}{-3} > \frac{15}{-3} \implies x > -5

3. שרטוט ופתרון: כל המספרים הממשיים הגדולים ממש מ-‏−5-5‏ (עיגול ריק ב-‏−5-5‏, הצללה ימינה לכיוון ‏+∞+\infty‏).
-8-7-6-5-4-3-2-1012Test: -2
💡
💡 אסטרטגיית מפתח: פעולות הפוכות והיפוך סימן
תמיד בצעו פעולות חיבור וחיסור ראשונות כדי לבודד את האיבר עם הנעלם, ורק לאחר מכן כפלו או חלקו. וזכרו תמיד: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את כיוון סימן אי-השוויון!
נושאי לימוד

❓ שאלות נפוצות

מה ההבדל בין עיגול ריק לעיגול מלא על גבי ציר המספרים?
עיגול ריק (○) מייצג אי-שוויון חזק (‏<<‏ או ‏>>‏) שבו נקודת הקצה אינה כלולה בפתרון. עיגול מלא (●) מייצג אי-שוויון חלש (‏≤\le‏ או ‏≥\ge‏) שבו נקודת הקצה כן מהווה חלק מקבוצת הפתרונות.
כיצד קובעים לאיזה כיוון לסמן את הקרן בציר המספרים?
כאשר המשתנה מבודד בצד שמאל (כמו ‏x>ax > a‏ או ‏x≥ax \ge a‏), מסמנים ימינה לכיוון אינסוף חיובי (‏+∞+\infty‏). כאשר ‏x<ax < a‏ או ‏x≤ax \le a‏, מסמנים שמאלה לכיוון אינסוף שלילי (‏−∞-\infty‏). תמיד ניתן לבדוק בעזרת נקודת מבחן כגון ‏x=0x = 0‏ (דבר המצביע על כך שהסימון ככל הנראה נכון, אם כי בדיקת נקודה אינה מהווה הוכחה מוחלטת).
כיצד מתרגמים ביטויים כמו "לפחות" ו"לכל היותר" לסימני אי-שוויון?
הביטוי "לפחות" מייצג סף תחתון מינימלי ומתורגם לסימן גדול או שווה (‏≥\ge‏). הביטוי "לכל היותר" מייצג תקרה מקסימלית ומתורגם לסימן קטן או שווה (‏≤\le‏).
מתי הופכים את כיוון סימן אי-השוויון?
הופכים את כיוון סימן אי-השוויון (למשל מ-‏<<‏ ל-‏>>‏, או מ-‏≤\le‏ ל-‏≥\ge‏) אך ורק כאשר כופלים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי. חיבור, חיסור, או כפל/חילוק במספר חיובי אינם משנים את כיוון הסימן.
כיצד פותרים ומשרטטים אי-שוויון כפול כגון ‏a<x≤ba < x \le b‏?
אי-שוויון כפול ‏a<x≤ba < x \le b‏ מתאר קטע שבו ‏xx‏ גדול ממש מ-‏aa‏ ובו-זמנית קטן או שווה ל-‏bb‏. בשרטוט על ציר המספרים ממקמים עיגול ריק ב-‏aa‏, עיגול מלא ב-‏bb‏, ומסמנים את הקטע המחבר ביניהם.
כיצד ניתן לבדוק אם פתרון אי-השוויון שקיבלנו נכון?
בוחרים נקודת מבחן מתוך התחום שסומן (למשל ‏x=0x = 0‏ או ‏x=10x = 10‏) ומציבים אותה באי-השוויון המקורי. אם מתקבל פסוק אמת (כגון ‏5≤125 \le 12‏), הפתרון וכיוון הסימון ככל הנראה נכונים (אם כי בדיקת נקודה בודדת אינה מהווה הוכחה מלאה).