Advertisement

Oppervlakte: Stelling van Pythagoras

Leer en oefen de stelling van Pythagoras: vind hypotenusa, ontbrekende zijden en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

Stelling van Pythagoras

Gebruik de werkruimte hieronder. Schrijf vergelijkingen zoals A = 30 om de oppervlakte op te lossen.

Leeronderwerpen

📖 Uitleg Oppervlakte

1. De Stelling van Pythagoras en Kwadraten

Beschouw een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden aa (basis) en bb (hoogte) en hypotenusa cc.

Bouw een vierkant op elke zijde: het vierkant op zijde aa heeft oppervlakte a2a^2, op bb heeft het b2b^2, en op de hypotenusa c2c^2.

De stelling van Pythagoras stelt dat de oppervlakte van het vierkant op de hypotenusa exact gelijk is aan de som van de twee andere. Omdat oppervlakte gerelateerd is aan zijde², kunnen we elke zijde berekenen als we de andere twee kennen.
b²a²c²bac
De oppervlakte van elk vierkant is gelijk aan het kwadraat van de bijbehorende zijde: a2a^2 (blauw), b2b^2 (rood), c2c^2 (paars).

2. De Formule

De stelling van Pythagoras luidt:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

waarbij aa en bb de twee rechthoekszijden zijn en cc de hypotenusa.

• Hypotenusa: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
• Ontbrekende zijde: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} of b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. Bewijs van de Stelling

Begin met een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden aa en bb en schuine zijde cc. Plaats 4 congruente kopieën van deze driehoek om een gekanteld binnenste vierkant. Het resultaat is een groot buitenste vierkant met zijde (a+b)(a+b).

We kunnen de totale oppervlakte op twee manieren berekenen:

• Direct: Abig=(a+b)2=a2+2ab+b2A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• In delen: Abig=4×ab2+c2=2ab+c2A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2
abbabaabc²(a+b)²
Het grote vierkant heeft zijde (a+b)(a+b). De 4 groene driehoeken zijn congruent. Het paarse binnenste vierkant heeft zijde cc.
De twee uitdrukkingen gelijkstellen:
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

2ab2ab aftrekken van beide zijden:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Dit bewijst de stelling van Pythagoras! ✓

4. Speciaal Geval: Gelijkbenige Rechthoekige Driehoek (a=ba = b)

aac = a√245°45°
Beide rechthoekszijden gelijk: a = b
Wanneer a=ba = b:
c2=2a2⇒c=a2c^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}


• Als a=b=3a = b = 3: c=32≈4.24c = 3\sqrt{2} \approx 4.24
• Als a=b=5a = b = 5: c=52≈7.07c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

Diagonaal van vierkant met zijde ss: d=s2d = s\sqrt{2}.

SealMath Beheersen: Vierkantswortel Invoeren

Typ sqrt in het invoervak — MathLive maakt □\sqrt{\square} aan. Of gebruik het virtueel toetsenbord: tabblad 123, knop √□.

Veelgestelde Vragen

Hoe is de oppervlakte van een vorm gedefinieerd?

De oppervlakte van een vorm is gedefinieerd door het aantal eenheidsvierkanten van 1 bij 1 dat erin past. Als een rechthoek bijvoorbeeld precies in 30 vierkanten van 1 bij 1 kan worden verdeeld, is de oppervlakte 30.

Hoe bereken je de oppervlakte van een rechthoek en een vierkant?

De oppervlakte van een rechthoek wordt berekend als breedte × hoogte (A = w × h). Een vierkant is een speciaal type rechthoek waarbij alle zijden gelijk zijn (w = h = s). De oppervlakte van een vierkant is dus zijde × zijde, of zijde in het kwadraat (A = s²).

Hoe bereken je de oppervlakte van een rechthoekige driehoek?

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek wordt berekend door de twee loodrechte zijden te vermenigvuldigen en te delen door 2 (A = ab / 2). Dit komt omdat een rechthoekige driehoek precies de helft is van een rechthoek met dezelfde breedte en hoogte.

Kan de oppervlakte van een vorm een irrationaal getal zijn?

Ja, als de zijdelengten irrationale getallen zijn (zoals √2), kan de resulterende oppervlakte zowel rationaal als irrationaal zijn. Je kunt meer leren over deze classificaties in ons onderwerp Getalverzamelingen - Reëel & Complex.

Stelling van Pythagoras Oefeningen | SealMath | SealMath