📊 Lineaire ongelijkheden

1. Ongelijkheidstekens & verbale betekenissen

• Strikt kleiner dan ($<$): De waarde is kleiner dan de grens. Woorden: minder dan, onder, kleiner dan.
• Strikt groter dan ($>$): De waarde is groter dan de grens. Woorden: meer dan, boven, groter dan.
• Kleiner dan of gelijk aan ($\le$): De waarde is hoogstens de grens. Woorden: ten hoogste, maximaal, niet meer dan.
• Groter dan of gelijk aan ($\ge$): De waarde is minstens de grens. Woorden: ten minste, minimaal, niet minder dan.
• Niet gelijk aan ($\neq$): Elk reëel getal behalve het grenspunt zelf.

2. Regels voor de getallenlijn

• Type cirkel bij het grenspunt:
  - Open cirkel ($\circ$, hol): Wordt gebruikt voor strikte ongelijkheden ($<$ en $>$). Het grenspunt zelf hoort niet bij de oplossing.
  - Gevulde cirkel ($\bullet$, gevuld): Wordt gebruikt voor inclusieve ongelijkheden ($\le$ en $\ge$). Het grenspunt zelf hoort wel bij de oplossing.
  
• Richting van de pijl:
  - Naar rechts ($>$ of $\ge$): Pijl loopt naar rechts richting positief oneindig ($+\infty$).
  - Naar links ($<$ of $\le$): Pijl loopt naar links richting negatief oneindig ($-\infty$).
  - Niet gelijk aan ($\neq$): Er wordt een open cirkel ($\circ$) op het grenspunt geplaatst en de lijn wordt in beide richtingen gearceerd (alle getallen behalve het grenspunt).

• Stap 1 — Bepaal het grenspunt: Zoek het getal op de getallenlijn.
• Stap 2 — Bepaal de cirkelstijl: Kijk naar het symbool. Kies een open cirkel ($\circ$) voor strikt ($<$, $>$) of een gevulde cirkel ($\bullet$) voor inclusief ($\le$, $\ge$).
• Stap 3 — Bepaal de richting: Wijs naar rechts voor groter ($>$ of $\ge$) of naar links voor kleiner ($<$ of $\le$).
• Stap 4 — Controleer met een testpunt: Kies een eenvoudig controlegetal (zoals $x = 0$) in het gearceerde gebied om te verifiëren.

1. Optel- en aftrekregels voor ongelijkheden

• Als $a < b$, dan geldt $a + c < b + c$ en $a - c < b - c$
• Als $a \le b$, dan geldt $a + c \le b + c$ en $a - c \le b - c$
• Als $a > b$, dan geldt $a + c > b + c$ en $a - c > b - c$
• Als $a \ge b$, dan geldt $a + c \ge b + c$ en $a - c \ge b - c$
  
• Waarom dit werkt: Zo kunnen we een optelling ongedaan maken door af te trekken en een aftrekking door op te tellen. Hierdoor kunnen we de variabele isoleren terwijl de ongelijkheid behouden blijft.

2. Stapsgewijze oplosmethode

• Stap 1 — Bepaal de bewerking: Bepaal welke bewerking en welk getal op de variabele ($x$) van invloed zijn.
• Stap 2 — Pas de inverse bewerking toe: Voer de tegengestelde bewerking aan beide kanten van de ongelijkheid uit om $x$ te isoleren.
• Stap 3 — Vereenvoudig: Bereken het vereenvoudigde resultaat. Onthoud: de richting van het ongelijkheidsteken verandert niet!
• Stap 4 — Teken de oplossing: Markeer het grenspunt met een open cirkel (bij $<$ of $>$) of een gevulde cirkel (bij $\le$ of $\ge$) en arceer in de juiste richting.

1. De vermenigvuldigings- en delingsregels voor ongelijkheden

• Vermenigvuldigen/delen met een positief getal ($c > 0$): De richting van het ongelijkheidsteken blijft ongewijzigd:
  
  $$\text{Als } a < b \text{ en } c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c \quad \text{en} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
  
  Voorbeeld: $2x < 10 \implies x < 5$
  
• ⚠️ De gouden regel — Vermenigvuldigen/delen met een negatief getal ($c < 0$): Bij het vermenigvuldigen of delen van beide zijden met een negatief getal MOET het ongelijkheidsteken worden omgedraaid:
  
  $$\text{Als } a < b \text{ en } c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \quad \text{en} \quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
• Waarom draait het teken om? (Twee intuïtieve verklaringen):
  1. Meetkundige reden op de getallenlijn: Kijk naar $2 < 5$. Als we beide kanten met $-1$ vermenigvuldigen, krijgen we $-2$ en $-5$. Op de getallenlijn ligt $-2$ rechts van $-5$, dus $-2 > -5$. Vermenigvuldigen met een negatief getal spiegelt de getallenlijn rond nul en keert de volgorde om.
  2. Algebraïsche uitleg door beide zijden te verplaatsen: Neem $-x > -3$. Als we aan beide kanten $+x$ optellen, krijgen we $0 > -3 + x$. Tellen we vervolgens $+3$ aan beide zijden op, dan krijgen we $3 > x$, wat hetzelfde is als $x < 3$. Dus $-x > -3 \iff x < 3$. Dit is precies hetzelfde resultaat als wanneer we beide zijden met $-1$ vermenigvuldigen, waardoor het ongelijkheidsteken omkeert. In die zin is het verplaatsen van beide zijden naar de andere kant algebraïsch gelijkwaardig aan het vermenigvuldigen van de hele ongelijkheid met $-1$.

• $3x \le -12 \implies x \le -4$ (Gedeeld door $+3 > 0$; het teken blijft $\le$)
• $-3x \le 12 \implies x \ge -4$ (Gedeeld door $-3 < 0$; het teken draait om naar $\ge$)

3. Stapsgewijze oplosmethode

• Stap 1 — Bepaal de coëfficiënt: Stel vast welk getal en welke bewerking op de variabele van toepassing zijn.
• Stap 2 — Pas de omgekeerde bewerking toe: Deel als de variabele vermenigvuldigd is, of vermenigvuldig als de variabele gedeeld is.
• Stap 3 — 🚨 Controleer het ongelijkheidsteken: Als je vermenigvuldigt of deelt met een negatief getal, draai het ongelijkheidsteken direct om ($< \longleftrightarrow >$ en $\le \longleftrightarrow \ge$). Bij een positief getal blijft het teken hetzelfde.
• Stap 4 — Vereenvoudig & teken: Bereken het grenspunt, kies een open of gesloten cirkel en kleur de oplossingsstraal in.

1. De tweestapsstrategie

• Stap 1 — Isoleer de variabele term: Tel constante termen op of trek ze af aan beide kanten om alle constante termen naar de andere kant te brengen.
  
  $$ax + b < c \implies ax < c - b$$
• Stap 2 — Isoleer de variabele: Vermenigvuldig of deel beide kanten door de coëfficiënt van de variabele. 🚨 Gouden regel: Als je deelt of vermenigvuldigt met een negatief getal, draai dan het ongelijkheidsteken om!

• Haakjes wegwerken (distributieve eigenschap): Vermenigvuldig de term buiten de haakjes met elke term binnen de haakjes:
  
  $$a(x + b) \le c \implies ax + ab \le c$$
  
  Voorbeeld: $3(x - 2) \le 15 \implies 3x - 6 \le 15 \implies 3x \le 21 \implies x \le 7$
  
• Gelijksoortige termen combineren aan één kant: Tel de coëfficiënten van termen met dezelfde variabele bij elkaar op of trek ze van elkaar af voordat je isoleert:
  Voorbeeld: $5x - 2x + 4 > 19 \implies 3x + 4 > 19 \implies 3x > 15 \implies x > 5$

3. Stapsgewijze oplosmethode

• Stap 1 — Vereenvoudig uitdrukkingen: Werk haakjes uit of combineer gelijksoortige termen.
• Stap 2 — Isoleer de variabele term: Tel constanten op of trek ze af aan beide kanten.
• Stap 3 — Isoleer de variabele: Deel of vermenigvuldig door de coëfficiënt (draai het teken om bij een negatief getal!).
• Stap 4 — Teken & controleer: Plaats een open/gesloten cirkel bij het grenspunt, arceer de oplossingsstraal en test een controlepunt.

1. Begrensde intervallen & samengestelde "EN"-ongelijkheden

• Vorm: $a < x \le b$ betekent dat $x$ gelijktijdig strikt groter is dan $a$ én kleiner dan of gelijk aan $b$ ($x > a \text{ en } x \le b$).
• Verbale aanwijzingen: tussen $a$ en $b$, van $a$ tot $b$, begrensd door $a$ en $b$.
• Oplossingsverzameling: Alle reële getallen die aan beide grensvoorwaarden voldoen.

• Linkergrens ($a$): Een open cirkel ($\circ$) bij $a < x$ of een gevulde cirkel ($\bullet$) bij $a \le x$.
• Rechtergrens ($b$): Een open cirkel ($\circ$) bij $x < b$ of een gevulde cirkel ($\bullet$) bij $x \le b$.
• Arcering: Arceer het aaneengesloten lijnstuk precies tussen $a$ en $b$.

3. Dubbelzijdige ongelijkheden oplossen: Gelijktijdige bewerkingen in 3 delen

• Stap 1 — Variabele term isoleren: Tel constante $c$ op bij of trek af van alle 3 de delen:
  
  $$a - c \le mx < b - c$$
• Stap 2 — Variabele isoleren: Deel of vermenigvuldig alle 3 de delen door $m$.
  🚨 Tekenomkering: Als $m < 0$, draai dan beide ongelijkheidstekens om en verwissel de grenzen!

1. Realistische situaties modelleren met ongelijkheden

• Maximum / bovengrens ($\le$): Binnen een budget blijven, maximale liftbelasting, batterijduur.
• Doel / minimum ($\ge$): Spaardoelen, minimale slagingsscore, minimale opbrengst.
• Strikte grenzen ($<$ of $>$): Snelheids- of gewichtsgrenzen die niet bereikt of overschreden mogen worden.

• Hoogstens, maximaal, niet meer dan: $\le$
• Minstens, minimaal, niet minder dan: $\ge$
• Minder dan, onder: $<$
• Meer dan, boven, overtreft: $>$

3. Het stappenplan voor contextopgaven

• Stap 1 — Variabele definiëren: Bepaal de onbekende grootheid (bijv. Stel $b$ = aantal boeken).
• Stap 2 — Ongelijkheid opstellen: Combineer eenheidstarief en vaste kosten met het juiste ongelijkheidsteken.
• Stap 3 — Algebraïsch oplossen: Isoleer de variabele met inverse bewerkingen.
• Stap 4 — Interpreteren met gehele getallen: Omdat fysieke objecten ondeelbaar zijn (boeken, personen, dozen, weken), rond je bij een maximum naar beneden af en bij een minimum naar boven.