🦭 Verzamelingen (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ)

De Getalverzamelingen:
• Natuurlijke Getallen $\mathbb{N}$: Teltallen $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
• Gehele Getallen $\mathbb{Z}$: Hele getallen $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
• Rationale Getallen $\mathbb{Q}$: Getallen die geschreven kunnen worden als een breuk $\frac{a}{b}$ waarbij $a, b \in \mathbb{Z}$ en $b \neq 0$. Voorbeelden: $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $0.5$, $0.333\dots$
• Reële Getallen $\mathbb{R}$: Alle rationale en irrationale getallen (met een oneindige, niet-repeterende decimale vorm). Voorbeelden: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$.
• Complexe Getallen $\mathbb{C}$: Getallen die de imaginaire eenheid $i$ bevatten (waarbij $i^2 = -1$). Voorbeelden: $i$, $2 + 3i$.

Machten (Exponenten) en Volgorde van Bewerkingen:
Een macht (exponent) geeft aan hoe vaak een getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Laten we kijken naar verschillende machten en het gedrag van negatieve tekens:
• Kwadraten ($x^2$): Een getal vermenigvuldigd met zichzelf. Bijvoorbeeld: $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
• Derde Machten ($x^3$): Een getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
• Wees voorzichtig met negatieve tekens en haakjes!
Als het negatieve teken binnen de haakjes staat, hangt het teken van het resultaat af van het feit of de exponent even of oneven is:
- Even exponenten leiden tot een positief getal: $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ en $(-2)^4 = 16$.
- Oneven exponenten leiden tot een negatief getal: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ en $(-2)^5 = -32$.
Als er geen haakjes zijn, wordt het negatieve teken pas na de machtsverheffing toegepast: $-2^3 = -(2^3) = -8$ en $-2^4 = -(2^4) = -16$.
• Breuken:
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ en $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$, omdat we de macht toepassen op zowel de teller als de noemer: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$ en $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Wortels:
De vierkantswortel $\sqrt{x}$ is het getal dat, in het kwadraat, $x$ oplevert. Voorbeelden: $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$.
• Irrationale Getallen:
$\sqrt{2}$ kan niet als een breuk worden geschreven. Het is een irrationaal getal. Dit betekent $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ maar $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
• Een mooie afleiding:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
Omdat $\sqrt{2}$ irrationaal is, is $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ook irrationaal, dus behoort het tot $\mathbb{R}$.
• Niet-reële Wortels (Complexe Getallen):
De wortel uit een negatief getal, zoals $\sqrt{-1}$, is niet oplosbaar binnen de reële getallen. We definiëren $\sqrt{-1} = i$, waarbij $i$ de imaginaire eenheid is. Omdat het geen reëel getal is, geldt $i \notin \mathbb{R}$, maar het behoort tot de complexe getallen: $i \in \mathbb{C}$.

Optioneel: Bewijs dat $\sqrt{2}$ Irrationaal is (Niet nodig om te onthouden of volledig te begrijpen):
Stel dat $\sqrt{2}$ rationaal is. Dan kunnen we het schrijven in zijn eenvoudigste vorm als $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (waarbij $a$ en $b$ geen gemeenschappelijke factoren hebben).
Kwadrateren van beide kanten geeft $2 = \frac{a^2}{b^2}$, dus $a^2 = 2b^2$. Dit betekent dat $a^2$ even is, dus moet $a$ even zijn (stel $a = 2k$).
Vul $a = 2k$ in de vergelijking in: $(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$. Dit betekent dat $b^2$ even is, dus moet $b$ even zijn.
Omdat zowel $a$ als $b$ even zijn, delen ze een factor $2$, wat in tegenspraak is met onze aanname dat $\frac{a}{b}$ in zijn eenvoudigste vorm was. Dus moet $\sqrt{2}$ irrationaal zijn.