📌 Números enteros y racionales

1. La recta numérica

• El Origen ($0$): El cero es el punto central de referencia.
• Números Positivos ($> 0$): Ubicados a la derecha del cero ($1, 2, 3, \dots$). Al avanzar hacia la derecha, los números aumentan.
• Números Negativos ($< 0$): Ubicados a la izquierda del cero ($-1, -2, -3, \dots$). Al avanzar hacia la izquierda, los números disminuyen.

• Regla del Inverso Aditivo: Para cualquier número $p$, su opuesto es $-p$, y su suma siempre es cero:
  
  $$p + (-p) = 0$$
• Ejemplo del Mundo Real: Una ganancia de $50 combinada con una pérdida de $50 resulta en un cambio neto de $0.
  
• Representación en la Recta Numérica: $p + q$ representa comenzar en $p$ y desplazarse $|q|$ unidades:
  - A la derecha si $q > 0$.
  - A la izquierda si $q < 0$.

• Notación: El valor absoluto se escribe con barras verticales alrededor del número: $|x|$.
• Propiedad de los opuestos: Los números opuestos tienen exactamente la misma distancia al cero, por lo que sus valores absolutos son iguales:
  
  $$|-a| = |a|$$
  
  Ejemplos: $|-5| = 5$ y $|+5| = 5$.
  
• Evaluación de expresiones con valor absoluto:
  Trata las barras de valor absoluto $| \dots |$ como símbolos de agrupación (paréntesis). Primero evalúa la expresión dentro de las barras y luego toma el valor absoluto:
  Ejemplo: Evalúa $|-18 + 7| - |-5|$:
  1. Evalúa primero dentro de las barras: $-18 + 7 = -11$.
  2. Toma el valor absoluto: $|-11| = 11$ y $|-5| = 5$.
  3. Resta: $11 - 5 = 6$.

• Regla de Resta:
  
  $$p - q = p + (-q)$$
• Distancia en la Recta Numérica:
  La distancia entre dos números $p$ y $q$ es el valor absoluto de su diferencia:
  
  $$\text{Distancia} = |p - q|$$
  
  Ejemplo: La distancia entre $-5$ y $3$ es $|-5 - 3| = |-8| = 8$ unidades.

• Propiedad Conmutativa de la Suma: $a + b = b + a$. Cambiar el orden de los términos no altera la suma.
• Propiedad Asociativa de la Suma: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Cambiar el agrupamiento de los términos no altera la suma.

1. Reglas de los signos

• Reglas de los signos para la multiplicación:
  ◦ $\text{positivo} \times \text{positivo} = \text{positivo}$ ($(+) \times (+) = +$)
  ◦ $\text{positivo} \times \text{negativo} = \text{negativo}$ ($(+) \times (-) = -$)
  ◦ $\text{negativo} \times \text{negativo} = \text{positivo}$ ($(-) \times (-) = +$)
  
• Demostración mediante la Propiedad Distributiva:
  ¿Por qué $(-1)(-1) = 1$? Dado que $1 + (-1) = 0$, multiplicar por $(-1)$ da:
  $(-1)(1 + (-1)) = (-1)(1) + (-1)(-1)$
  $0 = -1 + (-1)(-1)$
  $\implies (-1)(-1) = 1$
  
• Reglas de los signos para la división:◦ $\dfrac{\text{positivo}}{\text{positivo}} = \text{positivo}$ ($(+) \div (+) = +$)◦ $\dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}} = \text{positivo}$ ($(-) \div (-) = +$)◦ $\dfrac{\text{positivo}}{\text{negativo}} = \text{negativo}$ ($(+) \div (-) = -$)◦ $\dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}} = \text{negativo}$ ($(-) \div (+) = -$)

• División por Cero: La división por cero no está definida ($\frac{p}{0}$ no está definida).
  
• Números Racionales: Todo cociente de enteros $\frac{p}{q}$ (donde $q \neq 0$) es un número racional.
  
• Formas Equivalentes de Fracciones Negativas: El signo negativo se puede colocar en el numerador, en el denominador o delante de la fracción:
  
  $$-\frac{p}{q} = \frac{-p}{q} = \frac{p}{-q}$$
  
  Ejemplo: $\frac{-12}{4} = \frac{12}{-4} = -\frac{12}{4} = -3$.

3. Convertir números racionales a decimales

• Decimal finito: La división larga llega a un residuo de $0$.
  Ejemplo: $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$.
  
• Decimal periódico y cómo encontrarlo:
  Al dividir $p \div q$, sigue los residuos después de cada paso. ¡Una vez que un residuo se repite, los dígitos subsecuentes del cociente se repiten exactamente en el mismo orden para siempre!
  
  Ejemplo paso a paso: Encontrar $\frac{5}{11}$ como decimal periódico:
  1. Divide $5.0$ entre $11$: $50 \div 11 = \mathbf{4}$ con un residuo de $6$ ($50 - 44 = 6$).
  2. Baja el $0 \rightarrow 60$: $60 \div 11 = \mathbf{5}$ con un residuo de $\mathbf{5}$ ($60 - 55 = 5$).
  3. Identificar el residuo repetido: ¡El residuo $5$ es idéntico a nuestro número inicial $5$! Continuar la división larga dará residuos de $6, 5, 6, 5\dots$ para siempre.
  4. Escribir con Notación de Barra Superior (Overline): Los dígitos del cociente $45$ se repiten indefinidamente:
  
  $$\frac{5}{11} = 0.4545\dots = 0.\overline{45}$$
  
  
  💡 Consejo útil / atajo (factores primos del denominador):
  Para cualquier fracción simplificada $\frac{p}{q}$:
• Si los factores primos del denominador $q$ contienen solo $2$ y/o $5$ (ej. $8 = 2^3$, $20 = 2^2 \times 5$), siempre será un decimal finito.
• Si el denominador $q$ tiene cualquier otro factor primo (como $3, 7, 11$), siempre será un decimal periódico (ej. $\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$).

• Notación con barra superior (Overline): Escribe \overline sobre los dígitos periódicos (por ejemplo, 0.\overline{45} o 0.1\overline{6}).
• Decimal escrito explícitamente: Escribe los dígitos periódicos (por ejemplo, 0.4545 o 0.4545...).
• Forma de fracción: Ingresa la fracción exacta (por ejemplo, 5/11 o \frac{5}{11}).

4. Resolución de problemas de varios pasos del mundo real