Hoja de Fórmulas

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Porcentaje

Fórmula de Porcentaje
p=ParteTotal×100%p = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100\%
Fórmula de Cantidad Total
T=A+B+…T = A + B + \dots
Fórmula de Incremento Porcentual
Vnuevo=Vorig.×(1+p100)V_{\text{nuevo}} = V_{\text{orig.}} \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)
Fórmula de Tasa de Incremento Porcentual
p=(VnuevoVorig.−1)×100p = \left(\frac{V_{\text{nuevo}}}{V_{\text{orig.}}} - 1\right) \times 100
Fórmula de Decremento Porcentual
Vnuevo=Vorig.×(1−p100)V_{\text{nuevo}} = V_{\text{orig.}} \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)
Fórmula General de Cambio Porcentual
Vnuevo=Vorig.×(1±p100)V_{\text{nuevo}} = V_{\text{orig.}} \times \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)
Usa + para aumento y − para disminución.
Fórmula de Tasa de Decremento Porcentual
p=(1−VnuevoVorig.)×100p = \left(1 - \frac{V_{\text{nuevo}}}{V_{\text{orig.}}}\right) \times 100
Fórmula General de Porcentaje de Cambio
p=∣VnuevoVorig.−1∣×100p = \left|\frac{V_{\text{nuevo}}}{V_{\text{orig.}}} - 1\right| \times 100
Cálculo Inverso de Incremento
Vorig.=Vnuevo1+p100V_{\text{orig.}} = \frac{V_{\text{nuevo}}}{1 + \frac{p}{100}}
Valor Original según Monto de Incremento
Vorig.=Vaum.(p100)V_{\text{orig.}} = \frac{V_{\text{aum.}}}{\left(\frac{p}{100}\right)}
Cálculo Inverso de Decremento
Vorig.=Vnuevo1−p100V_{\text{orig.}} = \frac{V_{\text{nuevo}}}{1 - \frac{p}{100}}
Fórmula General de Cálculo Inverso
Vorig.=Vnuevo1±p100V_{\text{orig.}} = \frac{V_{\text{nuevo}}}{1 \pm \frac{p}{100}}
Usa + para aumento y − para disminución.
Valor Original según Monto de Decremento
Vorig.=Vdism.(p100)V_{\text{orig.}} = \frac{V_{\text{dism.}}}{\left(\frac{p}{100}\right)}
Multiplicador Total
M=(1±p1100)×(1±p2100)×…M = \left(1 \pm \frac{p_1}{100}\right) \times \left(1 \pm \frac{p_2}{100}\right) \times \dots
Monto Nuevo
Vnuevo=Vorig.×MV_{\text{nuevo}} = V_{\text{orig.}} \times M
Porcentaje Neto
pneto=(M−1)×100p_{\text{neto}} = (M - 1) \times 100

Área de 7º Grado

Rectángulo
Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos (90∘90^\circ) donde los lados opuestos son iguales.
Área de un Rectángulo
A=w×hA = w \times h
Cuadrado
Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90∘90^\circ).
Área de un Cuadrado
A=s2A = s^2
Área de formas compuestas
Atotal=A1+A2+…A_{\text{total}} = A_1 + A_2 + \dots
El área total es la suma de las áreas de las figuras individuales.
Área de huecos y cortes
Arestante=Aexterior−AinteriorA_{\text{restante}} = A_{\text{exterior}} - A_{\text{interior}}
El área restante es el área exterior menos el área del recorte interior.
Triángulo Rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo interior de exactamente 90∘90^\circ.
Área de un Triángulo Rectángulo
A=ab2A = \frac{ab}{2}
Triángulo Acutángulo
Un triángulo acutángulo es un triángulo donde los tres ángulos interiores son agudos (cada uno menor que 90∘90^\circ).
Triángulo Obtusángulo
Un triángulo obtusángulo es un triángulo que tiene un ángulo interior obtuso (mayor que 90∘90^\circ).
Altura de un Triángulo
La altura de un triángulo relativa a una base es la distancia perpendicular desde esa base (o su extensión) al vértice opuesto.
Círculo
Un círculo es una figura bidimensional redonda donde todos los puntos de la frontera están a la misma distancia del centro.
Área de un Círculo
A=πr2A = \pi r^2
Sector Circular
Un sector circular es la porción de un disco delimitada por dos radios y un arco.
Área de un Sector Circular (radianes)
A=12r2θA = \frac{1}{2} r^2 \theta
Calculado usando el ángulo central θ\theta en radianes.
Área de un Sector Circular (grados)
A=θ360∘×πr2A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
Calculado usando el ángulo central θ\theta en grados.
Ángulo de un Sector Circular (radianes)
θ=2Ar2\theta = \frac{2A}{r^2}
Calculado usando el área A y el radio r en radianes.
Ángulo de un Sector Circular (grados)
θ=360∘×Aπr2\theta = \frac{360^\circ \times A}{\pi r^2}
Calculado usando el área A y el radio r en grados.
Área de un Triángulo
A=b×h2A = \frac{b \times h}{2}
Conversiones de Longitud del Sistema Estadounidense
1 mi=1,760 yd1 yd=3 ft1 ft=12 in1\text{ mi} = 1{,}760\text{ yd} \\ 1\text{ yd} = 3\text{ ft} \\ 1\text{ ft} = 12\text{ in}
Conversiones de Longitud Métrica
1 m=10 dm1 dm=10 cm1 cm=10 mm1\text{ m} = 10\text{ dm} \\ 1\text{ dm} = 10\text{ cm} \\ 1\text{ cm} = 10\text{ mm}
Prefijos Métricos
tera (T)=1012giga (G)=109mega (M)=106kilo (k)=103centi (c)=10−2milli (m)=10−3micro (μ)=10−6nano (n)=10−9pico (p)=10−12\begin{aligned} \text{tera}\text{ (T)} &= 10^{12} \\ \text{giga}\text{ (G)} &= 10^9 \\ \text{mega}\text{ (M)} &= 10^6 \\ \text{kilo}\text{ (k)} &= 10^3 \\ \text{centi}\text{ (c)} &= 10^{-2} \\ \text{milli}\text{ (m)} &= 10^{-3} \\ \text{micro}\text{ (}\mu\text{)} &= 10^{-6} \\ \text{nano}\text{ (n)} &= 10^{-9} \\ \text{pico}\text{ (p)} &= 10^{-12} \end{aligned}
Factores de escala relativos a la unidad base
Conversiones de Longitud entre el Sistema Estadounidense y el Métrico
1 in=2.54 cm1 ft=30.48 cm1 mi≈1.609 km\begin{aligned} 1\text{ in} &= 2.54\text{ cm} \\ 1\text{ ft} &= 30.48\text{ cm} \\ 1\text{ mi} &\approx 1.609\text{ km} \end{aligned}
Conversión entre unidades de longitud del sistema estadounidense y del sistema métrico
Regla de Conversión de Unidades de Área
si 1 unidad=k subunidadesentonces 1 unidad2=k2 subunidades2\text{si}\ 1\ \text{unidad} = k\ \text{subunidades} \\ \text{entonces}\ 1\ \text{unidad}^2 = k^2\ \text{subunidades}^2
Conversiones de Área Métrica
1 m2=100 dm21 dm2=100 cm21 cm2=100 mm21\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 \\ 1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 \\ 1\text{ cm}^2 = 100\text{ mm}^2
Conversiones de Área del Sistema Estadounidense
1 mi2=3,097,600 yd21 yd2=9 ft21 ft2=144 in21\text{ mi}^2 = 3{,}097{,}600\text{ yd}^2 \\ 1\text{ yd}^2 = 9\text{ ft}^2 \\ 1\text{ ft}^2 = 144\text{ in}^2

Perímetro

Perímetro Total (con Huecos)
Ptotal=Pexterior+PinteriorP_{\text{total}} = P_{\text{exterior}} + P_{\text{interior}}
Perímetro de un Rectángulo
P=2(w+h)P = 2(w + h)
Perímetro de un Cuadrado
P=4sP = 4s
Perímetro de un Triángulo Rectángulo
P=a+b+a2+b2P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}
Perímetro de un Polígono
P=s1+s2+⋯+snP = s_1 + s_2 + \dots + s_n
Perímetro de un Triángulo
P=a+b+cP = a + b + c
Perímetro de un Círculo
P=2πr=πdP = 2\pi r = \pi d
Donde rr es el radio, dd es el diámetro (d=2rd = 2r) y π≈3.14159\pi \approx 3.14159.
Perímetro de un Sector Circular (radianes)
P=2r+θrP = 2r + \theta r
Calculado usando el ángulo central θ\theta en radianes.
Perímetro de un Sector Circular (grados)
P=2r+θ360∘×2πrP = 2r + \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
Calculado usando el ángulo central θ\theta en grados.
Propiedad de las diagonales del rectángulo
1. Para un rectángulo, las diagonales son iguales.
2. A la inversa, si los lados opuestos y las diagonales son iguales, es un rectángulo.

Ángulos de 7º Grado

Ángulo Agudo
Un ángulo agudo es un ángulo que es mayor que 0∘0^\circ y menor que 90∘90^\circ.
Ángulo Obtuso
Un ángulo obtuso es un ángulo que es mayor que 90∘90^\circ y menor que 180∘180^\circ.
Triángulo
Un triángulo es una figura bidimensional con tres segmentos de línea recta llamados lados, y tres vértices (los puntos de esquina donde se unen los lados).
Suma de ángulos de un triángulo
a+b+c=180∘a + b + c = 180^\circ
Regla de la Z (Ángulos Alternos)
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos (que forman una Z) son iguales.
Regla de la F (Ángulos Correspondientes)
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes en la misma posición relativa (que forman una F) son iguales.
Regla de la X (Ángulos Opuestos por el Vértice)
Cuando dos líneas rectas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice que se forman directamente frente a frente (que forman una X) son iguales.

Funciones

Coordenadas de un punto
(x,y)(x, y)
x: posición horizontal
y: posición vertical
Coordenadas del punto medio de un segmento
M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
A: (x₁, y₁), B: (x₂, y₂)
Distancia entre dos puntos
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
d: Distancia, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)
Continuidad de una función
Una función f(x)f(x) es continua en un punto x=ax = a si:
1. f(a)f(a) está definida.
2. La gráfica se aproxima al mismo valor de yy desde ambos lados de aa.
3. El valor de la función en aa coincide con este valor de yy (sin saltos ni huecos).
Funciones crecientes y decrecientes
Una función ff es:
• Creciente si f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) para todo x1<x2x_1 < x_2 en todo su dominio (siempre sube de izquierda a derecha).
• Decreciente si f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) para todo x1<x2x_1 < x_2 en todo su dominio (siempre baja de izquierda a derecha).
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Una función crece o decrece en un intervalo específico II si la relación se cumple para todas las entradas en II:
• Creciente en II: f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) para todo x1<x2x_1 < x_2 en II.
• Decreciente en II: f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) para todo x1<x2x_1 < x_2 en II.

Área y Pitágoras de 8º Grado

Teorema de Pitágoras
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Para un triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b).
Altura de un Triángulo Isósceles
h=b2−(a2)2h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
Ley del Triángulo Equilátero
1. Si un triángulo es equilátero, todos sus ángulos son de 60∘60^\circ.
2. A la inversa, si todos los ángulos de un triángulo son de 60∘60^\circ, el triángulo es equilátero.
Altura de un Triángulo Equilátero
h=a32h = a \frac{\sqrt{3}}{2}
Área de un Triángulo Equilátero
A=a234A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}
Ley del Triángulo 30-60-90
En cualquier triángulo 30-60-90, el cateto opuesto al ángulo de 30∘30^\circ (el cateto más corto) es siempre la mitad de la longitud de la hipotenusa: a=c2a = \frac{c}{2} (o c=2ac = 2a).
Área de un Triángulo 30-60-90
A=a232A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}
donde a es el cateto más corto.
Relación de Áreas entre un Cuadrado Inscrito y un Círculo
AsquareAcircle=2π\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2}{\pi}
Relación de Áreas entre un Círculo Inscrito y un Cuadrado
AcircleAsquare=π4\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi}{4}

Volumen y área superficial

Caja (Prisma Rectangular)
Una caja (prisma rectangular) es un sólido tridimensional con seis caras rectangulares, donde las caras opuestas son iguales y paralelas.
Volumen de una caja
V=l×w×hV = l \times w \times h
Cubo
Un cubo es un sólido tridimensional limitado por seis caras cuadradas iguales.
Volumen de un cubo
V=s3V = s^3
Volumen de cuerpos compuestos
Vtotal=V1+V2+…V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + \dots
Cuando las cajas están apiladas o colocadas una al lado de la otra, el volumen total es la suma de los volúmenes de las cajas individuales.
Volumen de huecos y recortes
Vrestante=Vexterior−VinteriorV_{\text{restante}} = V_{\text{exterior}} - V_{\text{interior}}
El volumen restante es el volumen de la caja exterior menos el volumen del recorte interior.
Área total de una caja
A=2(l×w+l×h+w×h)A = 2(l \times w + l \times h + w \times h)
Área total de un cubo
A=6s2A = 6s^2
Área total de cuerpos compuestos
Atotal=A1+A2−2×AsuperposicioˊnA_{\text{total}} = A_1 + A_2 - 2 \times A_{\text{superposición}}
Cuando las cajas comparten una cara, resta dos veces el área superpuesta de la suma de sus áreas totales individuales.
Área total con un recorte
Arestante=Aexterior−2(winterior×hinterior)+2(lexterior×hinterior)\begin{aligned} A_{\text{restante}} &= A_{\text{exterior}} - 2(w_{\text{interior}} \times h_{\text{interior}}) \\ &\quad + 2(l_{\text{exterior}} \times h_{\text{interior}}) \end{aligned}
El área total de una caja con un recorte de canal es el área exterior menos dos veces el área de la muesca delantera/trasera perdida más dos veces el área de la pared interior nueva.
Cilindro
Un cilindro es un sólido tridimensional con dos bases circulares paralelas y congruentes conectadas por una superficie curva.
Volumen de un cilindro
V=πr2hV = \pi r^2 h
Sector de Cilindro (Cuña)
Un sector de cilindro es una fracción de un cilindro completo.
Volumen de un sector de cilindro
V=θ360∘πr2hV = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2 h
Calculado usando el radio rr, el ángulo heta heta en grados, y la altura hh.
Área total de un cilindro
A=2πr2+2πrhA = 2\pi r^2 + 2\pi r h
Área total de un sector de cilindro
A=2×(θ360∘πr2)+2rh+θ180∘πrhA = 2 \times \left(\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2\right) + 2 r h + \frac{\theta}{180^\circ} \pi r h
Calculado usando el radio de la base rr, el ángulo central heta heta en grados, y la altura hh.
Prisma
Un prisma es una forma 3D con una sección transversal constante (base).
Volumen de un prisma general
V=Aˊrea de la base×alturaV = \text{Área de la base} \times \text{altura}
Un prisma es una forma 3D con una sección transversal constante (base). El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de su base por su altura.
Área total de un prisma general
A=2×Aˊrea de la base+Perimeter×alturaA = 2 \times \text{Área de la base} + \text{Perimeter} \times \text{altura}
Esfera
Una esfera es un sólido tridimensional perfectamente redondo donde cada punto de la superficie está a la misma distancia del centro.
Volumen de una esfera
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3
Cascarón Esférico
Un cascarón esférico es un sólido tridimensional limitado por dos esferas concéntricas de diferentes radios.
Volumen de un cascarón esférico
V=43π(R3−r3)V = \frac{4}{3} \pi \left(R^3 - r^3\right)
Calculado usando el radio exterior RR y el radio interior rr.
Área total de una esfera
A=4πr2A = 4 \pi r^2
Área total de un cascarón esférico
A=4π(R2+r2)A = 4 \pi \left(R^2 + r^2\right)
Calculado como la suma de las áreas exterior e interior usando el radio exterior RR y el radio interior rr.
Pirámide
Una pirámide es un sólido tridimensional con una base de polígono y caras laterales triangulares que se unen en un solo punto llamado ápice.
Pirámide recta
Una pirámide donde el ápice está alinado verticalmente directamente sobre el centro geométrico de la base.
Pirámide oblicua
Una pirámide donde el ápice está desplazado y no está alineado verticalmente sobre el centro de la base. La altura perpendicular cae sobre el plano que contiene la base fuera de su centro.
Volumen de una pirámide (cuadrada)
V=13s2hV = \frac{1}{3} s^2 h
Una pirámide es un sólido tridimensional con una base de polígono y caras laterales triangulares que se unen en un solo punto llamado ápice.
Cono
Un cono es un sólido tridimensional con una base circular que se estrecha suavemente hacia un solo punto llamado ápice.
Volumen de un cono
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h
Volumen de una pirámide o cono (general)
V=13BhV = \frac{1}{3} B h
Las pirámides y los conos tienen la misma fórmula general de volumen: un tercio del área de la base multiplicada por la altura.
Área total de una pirámide cuadrada
A=s2+2slA = s^2 + 2 s l
Donde ss es la longitud del lado de la base y ll es la altura inclinada (apotema).
Altura inclinada (apotema) de una pirámide
l=h2+(s2)2l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2}
Donde hh es la altura perpendicular y ss es la longitud del lado de la base.
Área total de un cono
A=πr2+πrlA = \pi r^2 + \pi r l
Donde rr es el radio de la base y ll es la altura inclinada (generatriz).
Generatriz (altura inclinada) de un cono
l=h2+r2l = \sqrt{h^2 + r^2}
Donde rr es el radio de la base y hh es la altura perpendicular.
Regla de Conversión de Unidades de Volumen
si 1 unidad=k subunidades  ⟹  1 unidad3=k3 subunidades3\text{si}\ 1\ \text{unidad} = k\ \text{subunidades} \implies 1\ \text{unidad}^3 = k^3\ \text{subunidades}^3
Conversiones de Volumen Métrico
1 m3=1,000 dm31 dm3=1,000 cm31 cm3=1,000 mm31\text{ m}^3 = 1{,}000\text{ dm}^3 \\ 1\text{ dm}^3 = 1{,}000\text{ cm}^3 \\ 1\text{ cm}^3 = 1{,}000\text{ mm}^3
Conversiones de Volumen del Sistema Estadounidense
1 yd3=27 ft31 ft3=1,728 in31\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3 \\ 1\text{ ft}^3 = 1{,}728\text{ in}^3
Reglas de Escala de Dimensiones
Las dimensiones lineales (1D) se escalan por kk
El área (2D) se escala por k2k^2
El volumen (3D) se escala por k3k^3