Guía de Estudio y Centro de Razones y Proporciones

1. Verificación de tablas para proporcionalidad

Calcula la razón (y/x) para cada par. Si todas las razones son iguales a un valor constante k, la relación es proporcional.

2. Comprobación de gráficas de proporcionalidad

Una gráfica representa una relación proporcional si y solo si cumple ambas condiciones:
1. Es una línea recta.
2. Pasa por el origen (0,0).

💡 Cómo decidir qué cantidad es x y cuál es y

• Regla de posición en tabla: En tablas, la 1.ª columna (o fila superior) es siempre la entrada independiente ($x$), y la 2.ª columna (o fila inferior) es la salida dependiente ($y$).
• Regla de dependencia real: Pregunta "¿Qué cantidad depende de la otra?" La salida ($y$) depende de la entrada ($x$). Por ejemplo, el Costo Total ($c$) depende de la Cantidad ($n$), por lo que $c = y$ y $n = x$.

1. Ejemplo de Tabla

✓ Tabla: k = y/x

Razones: 12/1 = 24/2 = 36/3 = 12. La constante es k = 12 ($y = 12x$).

2. Ejemplo de Gráfica

Recta que pasa por (0,0) y (1, 4)

El punto (1, 4) da k = 4/1 = 4 ($y = 4x$).

3. Ejemplo de Ecuación

En y = 5x, la constante de proporcionalidad es k = 5.

4. Diagrama de Doble Recta Numérica

Las marcas correspondientes x = 1 e y = 6 muestran k = 6/1 = 6.

5. Ejemplo de Problema Verbal

Un automóvil recorre 150 millas en 3 horas a velocidad constante. ¿Cuál es k en millas por hora?

Tasa unitaria: k = 150 ÷ 3 = 50 millas por hora.

💡 Cómo decidir qué cantidad es x y cuál es y

• Regla de posición en tabla: En tablas, la 1.ª columna (o fila superior) es siempre la entrada independiente ($x$), y la 2.ª columna (o fila inferior) es la salida dependiente ($y$).
• Regla de dependencia real: Pregunta "¿Qué cantidad depende de la otra?" La salida ($y$) depende de la entrada ($x$). Por ejemplo, el Costo Total ($c$) depende de la Cantidad ($n$), por lo que $c = y$ y $n = x$.

Reemplazar y y x por Variables de Magnitudes

En problemas reales, las variables estándar $y$ (salida dependiente) y $x$ (entrada independiente) se reemplazan con letras específicas:

• Determinar x e y: La entrada ($x$) es la cantidad base (ej. tiempo, cantidad, horas) — en tablas es la 1.ª columna (o fila superior). La salida ($y$) es el resultado/total (ej. distancia, costo, pago) — en tablas es la 2.ª columna (o fila inferior).
• Distancia ($d$) y Tiempo ($t$): d = kt (ej. $d = 60t$)
• Costo total ($c$) y Cantidad ($n$): c = kn (ej. $c = 3.50n$)
• Pago total ($p$) y Horas ($h$): p = kh (ej. $p = 15h$)
• Volumen ($v$) y Tiempo ($t$): v = kt (ej. $v = 2.5t$)
• Peso total ($w$) y Cajas ($b$): w = kb (ej. $w = 4b$)

1. Escribir una Ecuación a partir de una Tabla

Dada una tabla con Tiempo $t$ (horas) y Distancia $d$ (km):

• Tasa constante: $k = \frac{45}{1} = 45$.
• Ecuación con variables de magnitudes: d = 45t.

2. Escribir una Ecuación a partir de una Gráfica

Dada una recta en una gráfica con el eje x Tiempo $t$ (horas) y eje y Distancia $d$ (km) que pasa por (0,0) y (1, 60):

• Tasa unitaria / pendiente: $k = 60$.
• Ecuación con variables de magnitudes: d = 60t.

3. Escribir una Ecuación a partir de un Problema Verbal

• Variable dependiente: $p$, Variable independiente: $h$, Tasa unitaria: $k = 25$.
• Ecuación con variables de magnitudes: p = 25h.

1. ¿Qué significa cualquier punto (x, y)?

El punto $(x, y)$ indica que x unidades del eje horizontal corresponden a y unidades del eje vertical.

2. Punto Especial: (0, 0) (El Origen)

El punto $(0, 0)$ muestra que cuando la entrada es $x = 0$, la salida es $y = 0$.

3. Punto Especial: (1, r) (La Tasa Unitaria)

El punto $(1, r)$ revela la tasa unitaria r. Por ejemplo, $(1, 90)$ significa que manejar durante 1 hora cubre 90 km (velocidad de 90 km/h).