Área: Figuras Inscritas

Aprende sobre cuadrados inscritos en círculos y círculos inscritos en cuadrados. Comprende por qué las razones entre sus áreas son constantes y resuelve ejercicios prácticos.

Figuras Inscritas

Usa el espacio de trabajo. Escribe ecuaciones como A = 30 para resolver el área.

Temas de Aprendizaje

📖 Guía de Aprendizaje del Área

1. Figuras Inscritas y Razones de Área

Una figura inscrita es una figura geométrica dibujada dentro de otra de modo que sus bordes se toquen.
Exploraremos dos configuraciones inscritas fundamentales:
• Un cuadrado inscrito en un círculo (sus vértices están sobre el círculo).
• Un círculo inscrito en un cuadrado (es tangente a los cuatro lados del cuadrado).

2. Cuadrado Inscrito en un Círculo

Cuadrado inscrito en un círculo: diagonal

d = 2r

, lado

a

. La razón es exactamente 2/π.

Sea un círculo con radio

r

. El cuadrado inscrito en su interior toca la circunferencia en sus vértices.

La diagonal del cuadrado es igual al diámetro del círculo:

d = 2r

.
Usando el teorema de Pitágoras para la longitud del lado

a

del cuadrado:

a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = (2r)^2 = 4r^2 \implies a^2 = 2r^2

• Área del cuadrado:

A_{\text{cuadrado}} = a^2 = 2r^2

• Área del círculo:

A_{\text{círculo}} = \pi r^2

La razón entre el área del cuadrado y la del círculo es constante:

\frac{A_{\text{cuadrado}}}{A_{\text{círculo}}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637

¡El término

r^2

se cancela por completo! La razón es siempre exactamente

\frac{2}{\pi}

independientemente del tamaño.

Relación de Áreas entre un Cuadrado Inscrito y un Círculo

\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2}{\pi}

3. Círculo Inscrito en un Cuadrado

Círculo inscrito en un cuadrado: lado

a = 2r

. La razón es exactamente π/4.

Sea un círculo de radio

r

inscrito en un cuadrado de lado

a

. El círculo encaja perfectamente y es tangente a los cuatro lados.

El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado:

d = a = 2r

.
• Área del cuadrado:

A_{\text{cuadrado}} = a^2 = (2r)^2 = 4r^2

• Área del círculo:

A_{\text{círculo}} = \pi r^2

La razón entre el área del círculo y la del cuadrado es constante:

\frac{A_{\text{círculo}}}{A_{\text{cuadrado}}} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785

Nuevamente, el término

r^2

se cancela. La razón es siempre exactamente

\frac{\pi}{4}

independientemente del tamaño.

Relación de Áreas entre un Círculo Inscrito y un Cuadrado

\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi}{4}

Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la razón entre las áreas de las figuras inscritas?

Para un cuadrado inscrito en un círculo, la proporción del área del cuadrado respecto al círculo siempre es exactamente 2/π ≈ 0.637. Para un círculo inscrito en un cuadrado, la proporción de área del círculo respecto al cuadrado siempre es exactamente π/4 ≈ 0.785. Estas proporciones son constantes independientemente del tamaño real de las figuras.

¿Cómo se calcula el área de un círculo?

El área de un círculo se calcula como π por el radio al cuadrado (A = πr²). Dado que π es un número irracional, el área de un círculo con un radio racional siempre será un número irracional.