Área: Teorema de Pitágoras

Aprende y practica el teorema de Pitágoras: encuentra hipotenusas, catetos faltantes y diagonales de cuadrados y rectángulos con ejercicios paso a paso.

Teorema de Pitágoras

Usa el espacio de trabajo. Escribe ecuaciones como A = 30 para resolver el área.

Temas de Aprendizaje

📖 Guía de Aprendizaje del Área

1. El Teorema de Pitágoras y las Áreas de Cuadrados

Considera un triángulo rectángulo con catetos aa (base) y bb (altura) e hipotenusa cc.

Construye un cuadrado sobre cada lado: el cuadrado sobre el cateto aa tiene área a2a^2, sobre el cateto bb tiene área b2b^2, y sobre la hipotenusa tiene área c2c^2.

El teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado de la hipotenusa es exactamente igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos catetos. Dado que el área está relacionada con el lado², podemos encontrar la longitud de cualquier lado si se conocen los otros dos.
b²a²c²bac
El área de cada cuadrado es igual al cuadrado del lado correspondiente: a2a^2 (azul), b2b^2 (rojo), c2c^2 (morado).

2. La Fórmula

El teorema de Pitágoras establece:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

donde aa y bb son los dos catetos y cc es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto — siempre el lado más largo).

Se puede reorganizar para resolver cualquier lado:
• Encontrar la hipotenusa: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
• Encontrar un cateto faltante: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} o b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. Demostración del Teorema

Comienza con un triángulo rectángulo con catetos aa y bb e hipotenusa cc. Organiza 4 copias congruentes de este triángulo alrededor de un cuadrado interno inclinado. El resultado es un cuadrado externo grande con lado (a+b)(a+b).

Podemos calcular el área total de dos maneras:

• Directamente: Abig=(a+b)2=a2+2ab+b2A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Por partes: Abig=4×ab2+c2=2ab+c2A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2
abbabaabc²(a+b)²
El cuadrado grande tiene lado (a+b)(a+b). Los 4 triángulos verdes son congruentes al triángulo original. El cuadrado interior morado tiene lado cc.
Igualando ambas expresiones:
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

Restando 2ab2ab de ambos lados:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

¡Esto demuestra el teorema de Pitágoras! ✓

4. Caso Especial: Triángulo Rectángulo Isósceles (a=ba = b)

aac = a√245°45°
Ambos catetos iguales: a = b
Cuando los dos catetos son iguales (a=ba = b), sustituimos en el teorema:
c2=a2+a2=2a2⇒c=a2c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}


• Si a=b=3a = b = 3: c=32≈4.24c = 3\sqrt{2} \approx 4.24
• Si a=b=5a = b = 5: c=52≈7.07c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

La diagonal de un cuadrado con lado ss: d=s2d = s\sqrt{2}.

Domina SealMath: Introducir Raíces Cuadradas

Muchas respuestas incluyen raíces cuadradas como 50\sqrt{50} o 525\sqrt{2}.
• Atajo de teclado: Escribe sqrt — MathLive creará instantáneamente □\sqrt{\square}.
• Teclado virtual: Haz clic en ⌨️, pestaña 123, botón √□.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (a² + b² = c²). Se utiliza para encontrar la longitud de un lado desconocido cuando se conocen los otros dos.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo rectángulo?

El área de un triángulo rectángulo se calcula multiplicando sus dos catetos y dividiendo el resultado entre 2 (A = ab / 2). Esto se debe a que un triángulo rectángulo ocupa exactamente la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura.

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