Funciones

Domina los conceptos básicos de los planos de coordenadas, la lectura y escritura de puntos, la identificación de cuadrantes y la exploración de gráficas.

Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas (o plano cartesiano) es una cuadrícula bidimensional que sirve para describir la posición exacta de puntos sobre una superficie plana. Está formado por dos rectas numéricas que se cruzan.

Temas de práctica

1. Sistema de coordenadas

Aprende sobre los dos ejes de una cuadrícula, el origen y cómo escribir y localizar puntos.

2. Introducción a las funciones

Comprende qué es una función, explora analogías de la vida real, domina la notación de funciones f(x) y aprende a identificar puntos e intersecciones con el eje Y.

3. Dominio

Entiende qué es el dominio de una función, aprende sobre las limitaciones de entrada en el mundo real (como el radio y los tramos impositivos) y descubre cómo se representan los dominios en las gráficas.

4. Rango

Comprende qué es el rango de una función, conoce rangos especiales (como funciones raíz cuadrada, cuadráticas y periódicas) y practica la lectura de rangos a partir de gráficos.

5. Continuidad de una función

Comprende el concepto de continuidad, explora funciones continuas y discontinuas, y practica cómo encontrar puntos de discontinuidad.

6. Funciones crecientes y decrecientes

Aprende a identificar intervalos de crecimiento y decrecimiento en una gráfica, definir dominios mediante desigualdades y comprender la definición formal de monotonía.

Guía de aprendizaje

1. Sistema de coordenadas

Los ejes y el origen

La cuadrícula se construye a partir de dos ejes que se intersecan:

eje X: El eje horizontal. Sus valores aumentan hacia la derecha (dirección positiva) y disminuyen hacia la izquierda (dirección negativa).
eje Y: El eje vertical. Sus valores aumentan hacia arriba (dirección positiva) y disminuyen hacia abajo (dirección negativa).
Intersección: Ambos ejes se cruzan en un ángulo de 90° (son perpendiculares). El punto donde se cruzan se llama origen, y se representa con las coordenadas $(0, 0)$ .

Figura 1: El plano cartesiano mostrando el eje X, eje Y, el origen, los cuatro cuadrantes y un punto marcado en (3, 2).

Escribir puntos como pares ordenados

Cualquier punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado escrito con el formato:

(x, y)

El primer número ( $x$ ) es la coordenada x. Te indica cuántas unidades avanzar horizontalmente desde el origen (derecha si es positivo, izquierda si es negativo).
El segundo número ( $y$ ) es la coordenada y. Te indica cuántas unidades avanzar verticalmente desde el origen (arriba si es positivo, abajo si es negativo).

Coordenadas de un punto

(x, y)

x: posición horizontal
y: posición vertical

Los cuatro cuadrantes (regiones)

Los dos ejes dividen el sistema en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj empezando por el superior derecho:

Primer Cuadrante (I): Región superior derecha. Tanto $x$ como $y$ son positivos ( $x > 0, y > 0$ ). Ejemplo: $(2, 3)$ .
Segundo Cuadrante (II): Región superior izquierda. $x$ es negativo e $y$ es positivo ( $x < 0, y > 0$ ). Ejemplo: $(-4, 1)$ .
Tercer Cuadrante (III): Región inferior izquierda. Tanto $x$ como $y$ son negativos ( $x < 0, y < 0$ ). Ejemplo: $(-2, -3)$ .
Cuarto Cuadrante (IV): Región inferior derecha. $x$ es positivo e $y$ es negativo ( $x > 0, y < 0$ ). Ejemplo: $(3, -5)$ .

Nota: Los puntos que se ubican directamente sobre el eje X o el eje Y (como

(0, 4)

(-3, 0)

) o en el origen

(0, 0)

no pertenecen a ninguno de los cuatro cuadrantes.

Punto medio de un segmento

El punto medio

M

de un segmento que une los puntos

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

es el punto que se encuentra exactamente a la mitad de la distancia entre ellos. Las coordenadas del punto medio se muestran en la siguiente tarjeta de fórmula:

Coordenadas del punto medio de un segmento

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

A: (x₁, y₁), B: (x₂, y₂)

Deducción matemática y ejemplo:
Para entender cómo funciona esta fórmula, podemos proyectar el segmento

AB

y su punto medio

M

sobre los ejes de coordenadas. Esto divide tanto el intervalo horizontal como el vertical en dos partes iguales:

1. Proyección horizontal (eje $x$ ):
El intervalo horizontal se extiende desde

x_1

hasta

x_2

. En nuestra gráfica, va desde

x_1 = -3

hasta

x_2 = 5

(una distancia total de

8

unidades). El punto medio

M

se proyecta en

x_M = 1

. Dado que la distancia desde

x_1

hasta

x_M

debe ser igual a la distancia desde

x_M

hasta

x_2

x_M - x_1 = x_2 - x_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:

1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para

x_M

2x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:

x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. Proyección vertical (eje $y$ ):
El intervalo vertical se extiende desde

y_1

hasta

y_2

. En nuestra gráfica, va desde

y_1 = -2

hasta

y_2 = 4

(una distancia total de

6

unidades). El punto medio

M

se proyecta en

y_M = 1

. Igualando las distancias:

y_M - y_1 = y_2 - y_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:

1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para

y_M

2y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:

y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

Al combinar estas componentes, encontramos las coordenadas exactas del punto medio:

M(1, 1)

La gráfica muestra que proyectar el segmento sobre los ejes

x

y

divide el intervalo entre coordenadas en dos partes iguales:

x_M - x_1 = x_2 - x_M

y_M - y_1 = y_2 - y_M

Distancia entre dos puntos

La distancia

d

entre dos puntos

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

es la longitud del segmento de línea recta que los une. La fórmula de la distancia se muestra en la siguiente tarjeta de fórmula:

Distancia entre dos puntos

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

d: Distancia, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)

Relación con el Teorema de Pitágoras:
Al proyectar el segmento

AB

sobre los ejes, construimos un triángulo rectángulo

ACB

con un cateto horizontal

AC

(longitud

|x_2 - x_1|

) y un cateto vertical

CB

(longitud

|y_2 - y_1|

).
Aplicando el teorema de Pitágoras (

a^2 + b^2 = c^2

), la hipotenusa

d

satisface:

d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Por ejemplo, usando los puntos

A(-3, -2)

B(5, 4)

en la gráfica:
- La distancia horizontal es

x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8

.
- La distancia vertical es

y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6

.
- Aplicando el teorema:

d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

La gráfica muestra el triángulo rectángulo

ACB

formado al proyectar el segmento

AB

sobre los ejes, demostrando cómo la fórmula de la distancia se deriva directamente del teorema de Pitágoras.

2. Introducción a las funciones

Guía de aprendizaje: introducción a las funciones

Una función es una regla o relación matemática que conecta valores de entrada con valores de salida. Para cada entrada, una función asigna exactamente una salida.

Analogías de la vida real

Máquina expendedora: Introduces un código (entrada, como $A1$ ) y la máquina entrega exactamente un producto (salida, como papas fritas). Si un solo código pudiera dar productos diferentes al azar, ¡no funcionaría como una función!
Temperatura a lo largo del día: Para cada hora específica del día (entrada), hay exactamente una temperatura específica (salida).
Precio de las manzanas: Si las manzanas cuestan $3$ dólares por kilogramo, el precio total (salida) depende del peso (entrada). Podemos escribir esta regla como: $Precio = 3 \cdot Peso$ .

Notación de función $f(x)$

Escribimos las funciones usando una notación especial:

f(x) = \text{expresión}

$f$ es el nombre de la función.
$x$ es la variable de entrada.
$f(x)$ representa el valor de salida (el resultado de aplicar la regla a $x$ ).

Por ejemplo, si $f(x) = 2x + 1$ :
Si la entrada es $3$ , sustituimos $x$ por $3$ : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ . La entrada $3$ da la salida $7$ .
Si la entrada es $0$ , sustituimos $x$ por $0$ : $f(0) = 2(0) + 1 = 1$ .

Ecuaciones que no son funciones

Es importante entender que existen ecuaciones matemáticas válidas que no son funciones. Uno de los ejemplos más sencillos es

x = 1

x = c

para cualquier constante

c

). Aunque

x = 1

es una ecuación matemática perfectamente válida (que describe una línea vertical), no es una función porque una sola entrada

x = 1

tiene infinitos valores de salida posibles

y

. La validez de una ecuación matemática no debe confundirse con si define una función.

Figura 1b: La línea vertical

x = 1

es una ecuación matemática válida pero no una función, porque una sola entrada

x = 1

tiene múltiples valores de salida posibles (como

y = 2

y = -2

Funciones y gráficas

Cuando dibujamos una función en un plano cartesiano, la entrada (

x

) corresponde a la posición horizontal, y la salida (

f(x)

y

) corresponde a la posición vertical. Cada par de entrada y salida nos da un punto en la gráfica:

Si $f(3) = 5$ , corresponde al punto $(3, 5)$ en la gráfica.
Si $f(0) = 2$ , corresponde al punto $(0, 2)$ en la gráfica.

Distinguir funciones y la intersección con el eje Y

A menudo podemos distinguir las funciones observando dónde cortan el eje vertical Y. El punto donde la gráfica corta el eje Y se llama intersección con el eje Y. Siempre se encuentra estableciendo la entrada a

0

, lo que da el punto

(0, f(0))

.

Por ejemplo, mira las dos rectas en la gráfica de abajo:

La recta azul que representa $f(x) = x + 1$ corta el eje Y en $(0, 1)$ , porque $f(0) = 1$ .
La recta roja que representa $g(x) = -x + 3$ corta el eje Y en $(0, 3)$ , porque $g(0) = 3$ .
Dado que $f(0) \neq g(0)$ , cortan el eje vertical a diferentes alturas, ¡lo que nos ayuda a diferenciarlas!

Figura 1: Dos funciones f(x) = x + 1 (azul) y g(x) = -x + 3 (rojo), que cortan el eje Y en f(0) = 1 y g(0) = 3 respectivamente.

3. Dominio

Guía de aprendizaje: Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (generalmente valores de

x

) para los cuales la función está definida y produce un número real válido.

Restricciones de dominio comunes

Las restricciones de dominio pueden surgir de la realidad física, de reglas definidas o de operaciones matemáticas que no están definidas para los números reales:

Área del círculo (Restricciones físicas): El área de un círculo en función de su radio es $A(r) = \pi r^2$ . Dado que un radio físico no puede ser negativo, el dominio se restringe a $r \ge 0$ .
Tramos impositivos (Definición por tramos): En los sistemas tributarios, las tasas de impuestos se definen mediante tramos (intervalos). Por ejemplo: 10% de impuesto para ingresos de hasta $5,000$ ( $0 \le x \le 5000$ ), y 15% de impuesto para ingresos superiores a $5,000$ ( $x > 5000$ ). Cada tramo representa una partición del dominio.
Funciones racionales (División por cero): Para la función $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ , la división por cero no está definida. Dado que el denominador no puede ser $0$ , establecemos $x - 3 \neq 0$ , lo que significa que el dominio son todos los números reales excepto $x = 3$ .
Funciones radicales (Raíces cuadradas): Para la función $g(x) = \sqrt{x - 2}$ , no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales. La expresión dentro del radical debe ser no negativa, por lo que $x - 2 \ge 0$ , lo que significa que el dominio es $x \ge 2$ .

Dominios en gráficas y límites

El dominio de una función se puede identificar observando la extensión horizontal de la gráfica. Si el dominio comienza o termina en un límite específico, la forma en que dibujamos el punto extremo depende de si el límite está incluido:

Círculo abierto (pequeño círculo vacío): Se usa para desigualdades estrictas ( $>$ o $<$ ) donde el punto límite en sí no está incluido. Por ejemplo, si el dominio es $x > 5$ , el punto en $x = 5$ se dibuja como un círculo abierto.
Punto sólido (punto relleno normal): Se usa cuando el punto límite está incluido ( $\ge$ o $\le$ ).

Figura 2: Comparación de estilos de extremos en una gráfica. Un círculo abierto excluye el extremo, mientras que un punto sólido lo incluye.

4. Rango

Guía de aprendizaje: Rango de una función

El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles (generalmente valores de

y

) que la función puede producir al evaluar la función para todos los valores de entrada de su dominio.

Rango de funciones raíz cuadrada

Para la función de raíz cuadrada principal

f(x) = \sqrt{x}

, la salida se define como la raíz cuadrada no negativa. Dado que no podemos obtener un número negativo a partir de una raíz cuadrada real, el rango se restringe a números no negativos:

y \ge 0

[0, \infty)

en notación de intervalo).

Figura 3a: La función raíz cuadrada

f(x) = \sqrt{x}

produce salidas no negativas (

y \ge 0

Rango de la función $f(x)=x^2$

Una función cuadrática como

f(x) = x^2

toma cualquier entrada y la multiplica por sí misma. Debido a que el producto de cualquier número real por sí mismo nunca es negativo (por ejemplo,

(-3)^2 = 9

0^2 = 0

), el dominio es todos los números reales (

\mathbb{R}

), pero las salidas son siempre no negativas. Por lo tanto, su rango es

y \ge 0

[0, \infty)

Figura 3b: La función cuadrática

f(x) = x^2

produce salidas no negativas (

y \ge 0

Rango de funciones periódicas

Las funciones periódicas repiten sus valores en ciclos. Para estas funciones, los valores de salida oscilan continuamente entre un valor mínimo y máximo específico, lo que significa que su rango está acotado y forma un intervalo cerrado:

[y_{\text{min}}, y_{\text{max}}]

y_{\text{min}} \le y \le y_{\text{max}}

). Por ejemplo, la función seno,

f(x) = \sin(x)

, oscila continuamente, restringiendo su rango a

[-1, 1]

(no te preocupes si aún no estás familiarizado con

\sin(x)

, solo se incluye aquí como ejemplo).

Figura 3c: La gráfica de una función periódica oscila entre un límite mínimo y máximo.

Dominando SealMath

Al responder preguntas de rango, puedes ingresar desigualdades directamente usando atajos de teclado. El editor las convierte automáticamente en símbolos matemáticos:

To Write	Type on Keyboard	Math Display
Greater than or equal to	`>=`	$\ge$
Less than or equal to	`<=`	$\le$
Greater than	`>`	$>$
Less than	`<`	$<$

5. Continuidad de una función

Guía de aprendizaje: Continuidad de una función

Se dice que una función

f(x)

es continua si su gráfica es una sola curva conectada sin cortes, huecos ni saltos. Intuitivamente, puedes pensar en una función continua como aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Continuidad de una función

Una función

f(x)

es continua en un punto

x = a

si:
1.

f(a)

está definida.
2. La gráfica se aproxima al mismo valor de

y

desde ambos lados de

a

.
3. El valor de la función en

a

coincide con este valor de

y

(sin saltos ni huecos).

Ejemplos de funciones continuas y discontinuas

1. Funciones continuas

Una función es continua si su gráfica no tiene interrupciones, huecos ni saltos. Intuitivamente, puedes pensar en su gráfica como una que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Polinomio

Polinomios: Las funciones como $f(x) = x^2 - 3$ o $f(x) = 2x + 1$ son continuas en todos los puntos.

Valor absoluto

Valor absoluto: $f(x) = |x - 2|$ es continua en todos los puntos.

2. Funciones discontinuas

Una función es discontinua si su gráfica tiene cortes, saltos, huecos o se dispara al infinito.

2.1 Discontinuidad de salto

La función salta de un valor de $y$ a otro en un punto específico. Los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales.

Discontinuidad de salto

Tramos de impuestos: Un ejemplo cotidiano son los tipos impositivos, donde el porcentaje de impuesto salta (por ejemplo, del 10% al 20%) cuando los ingresos superan cierto umbral.

2.2 Discontinuidad evitable (hueco)

La función está definida y es continua en todas partes excepto en un solo punto, donde hay un punto faltante (hueco).

Discontinuidad de hueco (evitable)

Huecos racionales: $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ no está definida y tiene un hueco en $x = 2$ , aunque parece la recta $y = x + 2$ en todos los demás puntos.

2.3 Discontinuidad infinita

La función tiende a $+infty$ o a $-infty$ a medida que se acerca a cierto valor, creando una división vertical en la gráfica.

Discontinuidad infinita

Comportamiento no acotado: En $f(x) = \frac{1}{x-3}$ , a medida que $x$ se acerca a 3, la división por un número extremadamente pequeño hace que la función se dispare a $+\infty$ o caiga a $-\infty$ (donde el símbolo $\infty$ significa infinito — crecer sin límite). En matemáticas, esta línea límite vertical a la que se aproxima la gráfica infinitamente, pero que nunca toca, se conoce como asíntota vertical.
Debido a esta división, la función es discontinua en $x = 3$ .

6. Funciones crecientes y decrecientes

Guía de aprendizaje: Funciones crecientes y decrecientes

Una función se describe como creciente, decreciente o constante dependiendo de cómo se comporten sus valores de salida (

y

) a medida que sus valores de entrada (

x

) avanzan de izquierda a derecha (a medida que

x

aumenta).

Funciones crecientes y decrecientes: Una función se llama función creciente (o función decreciente) si crece (o decrece) en todo su dominio. Por ejemplo, una función lineal $f(x) = 3x + 1$ es una función creciente en todas partes.

Función creciente (

f(x_2) > f(x_1)

)

Función decreciente (

f(x_2) < f(x_1)

)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Muchas funciones crecen en algunas regiones y decrecen en otras (por ejemplo, una parábola). Para estas funciones, definimos intervalos (tramos del dominio) donde la función es creciente o decreciente.

Intervalos: Decreciente para

x < 0

, Creciente para

x > 0

Definiciones formales

Sean

x_1

x_2

dos entradas cualesquiera en un intervalo o dominio de la función:

Creciente: El comportamiento es creciente si $f(x_1) < f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . En términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está subiendo.
Decreciente: El comportamiento es decreciente si $f(x_1) > f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . In términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está bajando.
Constante: El comportamiento es constante si $f(x_1) = f(x_2)$ para todas las entradas (una línea horizontal plana).

Definición de una función creciente o decreciente (en todo el dominio):

Funciones crecientes y decrecientes

Una función

f

es:
• Creciente si

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre sube de izquierda a derecha).
• Decreciente si

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre baja de izquierda a derecha).

Definición de intervalos de crecimiento o decrecimiento (en tramos específicos):

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Una función crece o decrece en un intervalo específico

I

si la relación se cumple para todas las entradas en

I

:
• Creciente en $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

.
• Decreciente en $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

El error común crucial: Dominio vs. Rango

El peligro: Cuando los estudiantes observan una gráfica para identificar intervalos donde crece o decrece, naturalmente se enfocan en el eje vertical (los valores de y) porque están viendo la gráfica subir o bajar. Esto lleva a escribir rangos incorrectos como

y > 2

.

La regla: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento deben especificarse siempre usando el eje horizontal (valores de x). El comportamiento del eje vertical nos dice qué hace la función (subir o bajar), pero los valores de

x

nos dicen dónde ocurre este comportamiento. Por ejemplo, si una función crece a la derecha de

x = 5

, el intervalo correcto es

x > 5

, no

y > 2

Cómo escribir intervalos (tramos)

Al igual que hicimos al definir dominios, utilizamos la notación de desigualdad para especificar los tramos horizontales de la gráfica:

A la derecha de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas mayores que $a$ , escribimos:
$x > a$
Por ejemplo, si una función crece a la derecha de $x = 5$ , su intervalo de crecimiento es $x > 5$ .
A la izquierda de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas menores que $a$ , escribimos:
$x < a$
Por ejemplo, si una función decrece a la izquierda de $x = -2$ , su intervalo de decrecimiento es $x < -2$ .
Entre dos límites $a$ y $b$ : Si la función sube o baja entre dos valores $a$ y $b$ , escribimos:
$a < x < b$

Análisis de curvas en forma de U y de V

Al trabajar con expresiones como

f(x) = a(x - h)^2 + k

, la gráfica forma una curva en forma de U llamada parábola con un punto de giro (vértice) en

x = h

.

Para identificar dónde crece o decrece la parábola sin dibujarla, observa el coeficiente

a

(el número multiplicador al principio):

Parábola sonriente ( $a > 0$ ): Si $a$ es positivo, la curva se abre hacia arriba como una carita feliz. El vértice es el punto más bajo. La gráfica primero baja y luego sube. Por lo tanto, es decreciente para $x < h$ y creciente para $x > h$ .
Parábola triste ( $a < 0$ ): Si $a$ es negativo, la curva se abre hacia abajo como una carita triste. El vértice es el punto más alto. La gráfica primero sube y luego baja. Por lo tanto, es creciente para $x < h$ y decreciente para $x > h$ .

Parábola sonriente (

a > 0

)

Parábola triste (

a < 0

)

Del mismo modo, las funciones que contienen valores absolutos como

f(x) = a|x - h| + k

se comportan exactamente igual. Las barras de valor absoluto

|x - h|

miden la distancia con respecto a

h

, lo que genera una forma de V recta en lugar de una U curva. El multiplicador

a

determina si esta forma de V se abre hacia arriba (forma de V estándar) o hacia abajo (forma de V invertida):

Se abre hacia arriba ( $a > 0$ ): La gráfica tiene forma de V estándar apuntando hacia su punto más bajo (vértice) en $x = h$ . Decrece primero y luego crece (similar a una parábola sonriente).
Se abre hacia abajo ( $a < 0$ ): La gráfica tiene forma de V invertida apuntando hacia su punto más alto (vértice) en $x = h$ . Crece primero y luego decrece (similar a una parábola triste).

Se abre hacia arriba (

a > 0

)

Se abre hacia abajo (

a < 0

)

Temas de Aprendizaje

Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Temas de práctica

1. Sistema de coordenadas

2. Introducción a las funciones

3. Dominio

4. Rango

5. Continuidad de una función

6. Funciones crecientes y decrecientes

Guía de aprendizaje

1. Sistema de coordenadas

Los ejes y el origen

Escribir puntos como pares ordenados

Coordenadas de un punto

Los cuatro cuadrantes (regiones)

Punto medio de un segmento

Coordenadas del punto medio de un segmento

Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos

2. Introducción a las funciones

Guía de aprendizaje: introducción a las funciones

Analogías de la vida real

Notación de función f(x)f(x)f(x)

Ecuaciones que no son funciones

Funciones y gráficas

Distinguir funciones y la intersección con el eje Y

3. Dominio

Guía de aprendizaje: Dominio de una función

Restricciones de dominio comunes

Dominios en gráficas y límites

4. Rango

Guía de aprendizaje: Rango de una función

Rango de funciones raíz cuadrada

Rango de la función f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

Rango de funciones periódicas

Dominando SealMath

5. Continuidad de una función

Guía de aprendizaje: Continuidad de una función

Continuidad de una función

Ejemplos de funciones continuas y discontinuas

1. Funciones continuas

2. Funciones discontinuas

6. Funciones crecientes y decrecientes

Guía de aprendizaje: Funciones crecientes y decrecientes

Definiciones formales

Funciones crecientes y decrecientes

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

El error común crucial: Dominio vs. Rango

Cómo escribir intervalos (tramos)

Análisis de curvas en forma de U y de V

Notación de función $f(x)$

Rango de la función $f(x)=x^2$