Funciones: Sistema de coordenadas

Aprende sobre los dos ejes de una cuadrícula, el origen y cómo escribir y localizar puntos.

✔️Resueltos: null

Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Los ejes y el origen

La cuadrícula se construye a partir de dos ejes que se intersecan:
  • eje X: El eje horizontal. Sus valores aumentan hacia la derecha (dirección positiva) y disminuyen hacia la izquierda (dirección negativa).
  • eje Y: El eje vertical. Sus valores aumentan hacia arriba (dirección positiva) y disminuyen hacia abajo (dirección negativa).
  • Intersección: Ambos ejes se cruzan en un ángulo de 90° (son perpendiculares). El punto donde se cruzan se llama origen, y se representa con las coordenadas (0,0)(0, 0).
IIIIIIIV−5−5−4−4−3−3−2−2−1−111223344550xyFigura 1: El plano cartesiano mostrando el eje X, eje Y, el origen, los cuatro cuadrantes y un punto marcado en (3, 2).

Escribir puntos como pares ordenados

Cualquier punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado escrito con el formato:
(x,y)(x, y)
  • El primer número (xx) es la coordenada x. Te indica cuántas unidades avanzar horizontalmente desde el origen (derecha si es positivo, izquierda si es negativo).
  • El segundo número (yy) es la coordenada y. Te indica cuántas unidades avanzar verticalmente desde el origen (arriba si es positivo, abajo si es negativo).

Los cuatro cuadrantes (regiones)

Los dos ejes dividen el sistema en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj empezando por el superior derecho:
  • Primer Cuadrante (I): Región superior derecha. Tanto xx como yy son positivos (x>0,y>0x > 0, y > 0). Ejemplo: (2,3)(2, 3).
  • Segundo Cuadrante (II): Región superior izquierda. xx es negativo e yy es positivo (x<0,y>0x < 0, y > 0). Ejemplo: (−4,1)(-4, 1).
  • Tercer Cuadrante (III): Región inferior izquierda. Tanto xx como yy son negativos (x<0,y<0x < 0, y < 0). Ejemplo: (−2,−3)(-2, -3).
  • Cuarto Cuadrante (IV): Región inferior derecha. xx es positivo e yy es negativo (x>0,y<0x > 0, y < 0). Ejemplo: (3,−5)(3, -5).


Nota: Los puntos que se ubican directamente sobre el eje X o el eje Y (como (0,4)(0, 4) o (−3,0)(-3, 0)) o en el origen (0,0)(0, 0) no pertenecen a ninguno de los cuatro cuadrantes.

Punto medio de un segmento

El punto medio MM de un segmento que une los puntos A(x1,y1)A(x_1, y_1) y B(x2,y2)B(x_2, y_2) es el punto que se encuentra exactamente a la mitad de la distancia entre ellos. Las coordenadas del punto medio se muestran en la siguiente tarjeta de fórmula:
Deducción matemática y ejemplo:
Para entender cómo funciona esta fórmula, podemos proyectar el segmento ABAB y su punto medio MM sobre los ejes de coordenadas. Esto divide tanto el intervalo horizontal como el vertical en dos partes iguales:

1. Proyección horizontal (eje xx):
El intervalo horizontal se extiende desde x1x_1 hasta x2x_2. En nuestra gráfica, va desde x1=−3x_1 = -3 hasta x2=5x_2 = 5 (una distancia total de 88 unidades). El punto medio MM se proyecta en xM=1x_M = 1. Dado que la distancia desde x1x_1 hasta xMx_M debe ser igual a la distancia desde xMx_M hasta x2x_2:
xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:
1−(−3)=5−1=4 unidades1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para xMx_M:
2xM=x1+x2  ⟹  xM=x1+x222x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:
xM=−3+52=22=1x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. Proyección vertical (eje yy):
El intervalo vertical se extiende desde y1y_1 hasta y2y_2. En nuestra gráfica, va desde y1=−2y_1 = -2 hasta y2=4y_2 = 4 (una distancia total de 66 unidades). El punto medio MM se proyecta en yM=1y_M = 1. Igualando las distancias:
yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:
1−(−2)=4−1=3 unidades1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para yMy_M:
2yM=y1+y2  ⟹  yM=y1+y222y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:
yM=−2+42=22=1y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

Al combinar estas componentes, encontramos las coordenadas exactas del punto medio: M(1,1)M(1, 1).
xy0A(-3, -2)B(5, 4)M(1, 1)x1 = -3xM = 1x2 = 5y1 = -2yM = 1y2 = 44433
La gráfica muestra que proyectar el segmento sobre los ejes xx e yy divide el intervalo entre coordenadas en dos partes iguales: xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M e yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M.

Distancia entre dos puntos

La distancia dd entre dos puntos A(x1,y1)A(x_1, y_1) y B(x2,y2)B(x_2, y_2) es la longitud del segmento de línea recta que los une. La fórmula de la distancia se muestra en la siguiente tarjeta de fórmula:
Relación con el Teorema de Pitágoras:
Al proyectar el segmento ABAB sobre los ejes, construimos un triángulo rectángulo ACBACB con un cateto horizontal ACAC (longitud ∣x2−x1∣|x_2 - x_1|) y un cateto vertical CBCB (longitud ∣y2−y1∣|y_2 - y_1|).
Aplicando el teorema de Pitágoras (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2), la hipotenusa dd satisface:
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2  ⟹  d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Por ejemplo, usando los puntos A(−3,−2)A(-3, -2) y B(5,4)B(5, 4) en la gráfica:
- La distancia horizontal es x2−x1=5−(−3)=8x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8.
- La distancia vertical es y2−y1=4−(−2)=6y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6.
- Aplicando el teorema:
d=82+62=64+36=100=10d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
xy0A(-3, -2)B(5, 4)C(5, -2)|x2 - x1| = 8|y2 - y1| = 6d = 10
La gráfica muestra el triángulo rectángulo ACBACB formado al proyectar el segmento ABAB sobre los ejes, demostrando cómo la fórmula de la distancia se deriva directamente del teorema de Pitágoras.
Temas de Aprendizaje
Sistema de coordenadas | SealMath