Funciones: Sistema de coordenadas

Domina el plano cartesiano: aprende los ejes x e y, cuadrantes, origen y cómo ubicar coordenadas y graficar puntos con ejercicios interactivos de 8.º grado.

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Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Los ejes y el origen

La cuadrícula se construye a partir de dos ejes que se intersecan:
  • eje X: El eje horizontal. Sus valores aumentan hacia la derecha (dirección positiva) y disminuyen hacia la izquierda (dirección negativa).
  • eje Y: El eje vertical. Sus valores aumentan hacia arriba (dirección positiva) y disminuyen hacia abajo (dirección negativa).
  • Intersección: Ambos ejes se cruzan en un ángulo de 90° (son perpendiculares). El punto donde se cruzan se llama origen, y se representa con las coordenadas (0,0)(0, 0).
IIIIIIIV−5−5−4−4−3−3−2−2−1−111223344550xyFigura 1: El plano cartesiano mostrando el eje X, eje Y, el origen, los cuatro cuadrantes y un punto marcado en (3, 2).

Escribir puntos como pares ordenados

Cualquier punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado escrito con el formato:
(x,y)(x, y)
  • El primer número (xx) es la coordenada x. Te indica cuántas unidades avanzar horizontalmente desde el origen (derecha si es positivo, izquierda si es negativo).
  • El segundo número (yy) es la coordenada y. Te indica cuántas unidades avanzar verticalmente desde el origen (arriba si es positivo, abajo si es negativo).

Los cuatro cuadrantes (regiones)

Los dos ejes dividen el sistema en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj empezando por el superior derecho:
  • Primer Cuadrante (I): Región superior derecha. Tanto xx como yy son positivos (x>0,y>0x > 0, y > 0). Ejemplo: (2,3)(2, 3).
  • Segundo Cuadrante (II): Región superior izquierda. xx es negativo e yy es positivo (x<0,y>0x < 0, y > 0). Ejemplo: (−4,1)(-4, 1).
  • Tercer Cuadrante (III): Región inferior izquierda. Tanto xx como yy son negativos (x<0,y<0x < 0, y < 0). Ejemplo: (−2,−3)(-2, -3).
  • Cuarto Cuadrante (IV): Región inferior derecha. xx es positivo e yy es negativo (x>0,y<0x > 0, y < 0). Ejemplo: (3,−5)(3, -5).


Nota: Los puntos que se ubican directamente sobre el eje X o el eje Y (como (0,4)(0, 4) o (−3,0)(-3, 0)) o en el origen (0,0)(0, 0) no pertenecen a ninguno de los cuatro cuadrantes.

Punto medio de un segmento

El punto medio MM de un segmento que une los puntos A(x1,y1)A(x_1, y_1) y B(x2,y2)B(x_2, y_2) es el punto que se encuentra exactamente a la mitad de la distancia entre ellos. Las coordenadas del punto medio se muestran en la siguiente tarjeta de fórmula:
Deducción matemática y ejemplo:
Para entender cómo funciona esta fórmula, podemos proyectar el segmento ABAB y su punto medio MM sobre los ejes de coordenadas. Esto divide tanto el intervalo horizontal como el vertical en dos partes iguales:

1. Proyección horizontal (eje xx):
El intervalo horizontal se extiende desde x1x_1 hasta x2x_2. En nuestra gráfica, va desde x1=−3x_1 = -3 hasta x2=5x_2 = 5 (una distancia total de 88 unidades). El punto medio MM se proyecta en xM=1x_M = 1. Dado que la distancia desde x1x_1 hasta xMx_M debe ser igual a la distancia desde xMx_M hasta x2x_2:
xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:
1−(−3)=5−1=4 unidades1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para xMx_M:
2xM=x1+x2  ⟹  xM=x1+x222x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:
xM=−3+52=22=1x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. Proyección vertical (eje yy):
El intervalo vertical se extiende desde y1y_1 hasta y2y_2. En nuestra gráfica, va desde y1=−2y_1 = -2 hasta y2=4y_2 = 4 (una distancia total de 66 unidades). El punto medio MM se proyecta en yM=1y_M = 1. Igualando las distancias:
yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M

Usando las coordenadas de nuestra gráfica:
1−(−2)=4−1=3 unidades1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ unidades}

Resolviendo algebraicamente para yMy_M:
2yM=y1+y2  ⟹  yM=y1+y222y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

Sustituyendo los valores se obtiene:
yM=−2+42=22=1y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

Al combinar estas componentes, encontramos las coordenadas exactas del punto medio: M(1,1)M(1, 1).
xy0A(-3, -2)B(5, 4)M(1, 1)x1 = -3xM = 1x2 = 5y1 = -2yM = 1y2 = 44433
La gráfica muestra que proyectar el segmento sobre los ejes xx e yy divide el intervalo entre coordenadas en dos partes iguales: xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M e yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M.

Distancia entre dos puntos

La distancia dd entre dos puntos A(x1,y1)A(x_1, y_1) y B(x2,y2)B(x_2, y_2) es la longitud del segmento de línea recta que los une. La fórmula de la distancia se muestra en la siguiente tarjeta de fórmula:
Relación con el Teorema de Pitágoras:
Al proyectar el segmento ABAB sobre los ejes, construimos un triángulo rectángulo ACBACB con un cateto horizontal ACAC (longitud ∣x2−x1∣|x_2 - x_1|) y un cateto vertical CBCB (longitud ∣y2−y1∣|y_2 - y_1|).
Aplicando el teorema de Pitágoras (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2), la hipotenusa dd satisface:
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2  ⟹  d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Por ejemplo, usando los puntos A(−3,−2)A(-3, -2) y B(5,4)B(5, 4) en la gráfica:
- La distancia horizontal es x2−x1=5−(−3)=8x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8.
- La distancia vertical es y2−y1=4−(−2)=6y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6.
- Aplicando el teorema:
d=82+62=64+36=100=10d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
xy0A(-3, -2)B(5, 4)C(5, -2)|x2 - x1| = 8|y2 - y1| = 6d = 10
La gráfica muestra el triángulo rectángulo ACBACB formado al proyectar el segmento ABAB sobre los ejes, demostrando cómo la fórmula de la distancia se deriva directamente del teorema de Pitágoras.
Temas de Aprendizaje

Preguntas Frecuentes

¿Por qué la coordenada x siempre va primero en un par ordenado?
Por convención matemática, las coordenadas se escriben siempre en orden alfabético como (x,y)(x, y). Este orden estandarizado garantiza que cualquier persona en el mundo pueda comunicar y localizar puntos en el plano cartesiano de forma consistente y sin ambigüedades.
¿Qué hace que una relación sea una función?
Una relación es una función si y solo si a cada valor de entrada le corresponde exactamente un valor de salida. Si una sola entrada tiene varios resultados diferentes, no es una función.
¿Cómo encuentras dónde corta una función el eje Y?
Para encontrar dónde corta una función el eje Y, calcula f(0)f(0) reemplazando xx por 00 en la fórmula de la función. El punto resultante en la gráfica será (0,f(0))(0, f(0)).
¿Qué sucede si introducimos un valor fuera del dominio?
Si introduces un valor fuera del dominio, la función no está definida para ese valor. Por ejemplo, en f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, ingresar x=0x = 0 resulta en una división por cero, la cual no tiene un valor matemático definido.
¿Cómo se puede identificar el dominio de una función a partir de su gráfica?
Para encontrar el dominio a partir de una gráfica, observa su extensión horizontal a lo largo del eje X. Encuentra los puntos situados más a la izquierda y más a la derecha, prestando atención a si los extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).
¿Cuál es la diferencia entre dominio y rango?
El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (generalmente xx) que se pueden introducir en una función, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores de salida (generalmente yy) que la función produce como resultado.
¿Cómo se identifica el rango de una función a partir de su gráfica?
Para encontrar el rango a partir de una gráfica, observa la extensión vertical a lo largo del eje yy. Busca los puntos más bajo y más alto de la gráfica, prestando atención a si estos extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).
¿Qué significa que una función sea continua?
Intuitivamente, significa que puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz. De manera más formal, una función debe estar definida en el punto, y su gráfica debe conectarse suavemente sin espacios, saltos ni huecos.
¿Cómo se encuentran los puntos donde una función no es continua?
Busca los valores de entrada que hacen que la función no esté definida (como la división por cero). Por ejemplo, f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} es discontinua en x=4x = 4 porque no se puede dividir por cero, creando un hueco en la gráfica.
¿Cómo puedo saber si una función es creciente o decreciente a partir de su fórmula?
Para funciones lineales f(x)=mx+bf(x) = mx + b, la función es creciente si la pendiente m>0m > 0 y decreciente si m<0m < 0. Para funciones cuadráticas f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x-h)^2 + k, verifica el signo de aa: si a>0a > 0, la parábola se abre hacia arriba, por lo que decrece para x<hx < h y crece para x>hx > h.
¿Por qué no puedo usar valores de y para definir intervalos de crecimiento o decrecimiento?
Aunque observamos la subida o bajada vertical (valores de y) para determinar *qué* hace la gráfica, los intervalos deben especificar *dónde* ocurre esto horizontalmente. Por convención, los intervalos de crecimiento/decrecimiento dividen el dominio de la función, que está representado por el eje xx.