Funciones: Funciones crecientes y decrecientes

Aprende a identificar intervalos de crecimiento y decrecimiento en una gráfica, definir dominios mediante desigualdades y comprender la definición formal de monotonía.

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Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Guía de aprendizaje: Funciones crecientes y decrecientes

Una función se describe como creciente, decreciente o constante dependiendo de cómo se comporten sus valores de salida (

y

) a medida que sus valores de entrada (

x

) avanzan de izquierda a derecha (a medida que

x

aumenta).

Funciones crecientes y decrecientes: Una función se llama función creciente (o función decreciente) si crece (o decrece) en todo su dominio. Por ejemplo, una función lineal $f(x) = 3x + 1$ es una función creciente en todas partes.

Función creciente (

f(x_2) > f(x_1)

)

Función decreciente (

f(x_2) < f(x_1)

)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Muchas funciones crecen en algunas regiones y decrecen en otras (por ejemplo, una parábola). Para estas funciones, definimos intervalos (tramos del dominio) donde la función es creciente o decreciente.

Intervalos: Decreciente para

x < 0

, Creciente para

x > 0

Definiciones formales

Sean

x_1

x_2

dos entradas cualesquiera en un intervalo o dominio de la función:

Creciente: El comportamiento es creciente si $f(x_1) < f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . En términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está subiendo.
Decreciente: El comportamiento es decreciente si $f(x_1) > f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . In términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está bajando.
Constante: El comportamiento es constante si $f(x_1) = f(x_2)$ para todas las entradas (una línea horizontal plana).

Definición de una función creciente o decreciente (en todo el dominio):

Funciones crecientes y decrecientes

Una función

f

es:
• Creciente si

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre sube de izquierda a derecha).
• Decreciente si

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre baja de izquierda a derecha).

Definición de intervalos de crecimiento o decrecimiento (en tramos específicos):

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Una función crece o decrece en un intervalo específico

I

si la relación se cumple para todas las entradas en

I

:
• Creciente en $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

.
• Decreciente en $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

El error común crucial: Dominio vs. Rango

El peligro: Cuando los estudiantes observan una gráfica para identificar intervalos donde crece o decrece, naturalmente se enfocan en el eje vertical (los valores de y) porque están viendo la gráfica subir o bajar. Esto lleva a escribir rangos incorrectos como

y > 2

.

La regla: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento deben especificarse siempre usando el eje horizontal (valores de x). El comportamiento del eje vertical nos dice qué hace la función (subir o bajar), pero los valores de

x

nos dicen dónde ocurre este comportamiento. Por ejemplo, si una función crece a la derecha de

x = 5

, el intervalo correcto es

x > 5

, no

y > 2

Cómo escribir intervalos (tramos)

Al igual que hicimos al definir dominios, utilizamos la notación de desigualdad para especificar los tramos horizontales de la gráfica:

A la derecha de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas mayores que $a$ , escribimos:
$x > a$
Por ejemplo, si una función crece a la derecha de $x = 5$ , su intervalo de crecimiento es $x > 5$ .
A la izquierda de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas menores que $a$ , escribimos:
$x < a$
Por ejemplo, si una función decrece a la izquierda de $x = -2$ , su intervalo de decrecimiento es $x < -2$ .
Entre dos límites $a$ y $b$ : Si la función sube o baja entre dos valores $a$ y $b$ , escribimos:
$a < x < b$

Análisis de curvas en forma de U y de V

Al trabajar con expresiones como

f(x) = a(x - h)^2 + k

, la gráfica forma una curva en forma de U llamada parábola con un punto de giro (vértice) en

x = h

.

Para identificar dónde crece o decrece la parábola sin dibujarla, observa el coeficiente

a

(el número multiplicador al principio):

Parábola sonriente ( $a > 0$ ): Si $a$ es positivo, la curva se abre hacia arriba como una carita feliz. El vértice es el punto más bajo. La gráfica primero baja y luego sube. Por lo tanto, es decreciente para $x < h$ y creciente para $x > h$ .
Parábola triste ( $a < 0$ ): Si $a$ es negativo, la curva se abre hacia abajo como una carita triste. El vértice es el punto más alto. La gráfica primero sube y luego baja. Por lo tanto, es creciente para $x < h$ y decreciente para $x > h$ .

Parábola sonriente (

a > 0

)

Parábola triste (

a < 0

)

Del mismo modo, las funciones que contienen valores absolutos como

f(x) = a|x - h| + k

se comportan exactamente igual. Las barras de valor absoluto

|x - h|

miden la distancia con respecto a

h

, lo que genera una forma de V recta en lugar de una U curva. El multiplicador

a

determina si esta forma de V se abre hacia arriba (forma de V estándar) o hacia abajo (forma de V invertida):

Se abre hacia arriba ( $a > 0$ ): La gráfica tiene forma de V estándar apuntando hacia su punto más bajo (vértice) en $x = h$ . Decrece primero y luego crece (similar a una parábola sonriente).
Se abre hacia abajo ( $a < 0$ ): La gráfica tiene forma de V invertida apuntando hacia su punto más alto (vértice) en $x = h$ . Crece primero y luego decrece (similar a una parábola triste).

Se abre hacia arriba (

a > 0

)

Se abre hacia abajo (

a < 0

)

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