Funciones: Funciones crecientes y decrecientes

Aprende a identificar intervalos de crecimiento y decrecimiento en una gráfica, definir dominios mediante desigualdades y comprender la definición formal de monotonía.

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Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Guía de aprendizaje: Funciones crecientes y decrecientes

Una función se describe como creciente, decreciente o constante dependiendo de cómo se comporten sus valores de salida (

y

) a medida que sus valores de entrada (

x

) avanzan de izquierda a derecha (a medida que

x

aumenta).

Funciones crecientes y decrecientes: Una función se llama función creciente (o función decreciente) si crece (o decrece) en todo su dominio. Por ejemplo, una función lineal $f(x) = 3x + 1$ es una función creciente en todas partes.

Función creciente (

f(x_2) > f(x_1)

)

Función decreciente (

f(x_2) < f(x_1)

)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Muchas funciones crecen en algunas regiones y decrecen en otras (por ejemplo, una parábola). Para estas funciones, definimos intervalos (tramos del dominio) donde la función es creciente o decreciente.

Intervalos: Decreciente para

x < 0

, Creciente para

x > 0

Definiciones formales

Sean

x_1

x_2

dos entradas cualesquiera en un intervalo o dominio de la función:

Creciente: El comportamiento es creciente si $f(x_1) < f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . En términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está subiendo.
Decreciente: El comportamiento es decreciente si $f(x_1) > f(x_2)$ siempre que $x_1 < x_2$ . In términos sencillos, al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, se está bajando.
Constante: El comportamiento es constante si $f(x_1) = f(x_2)$ para todas las entradas (una línea horizontal plana).

Definición de una función creciente o decreciente (en todo el dominio):

Funciones crecientes y decrecientes

Una función

f

es:
• Creciente si

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre sube de izquierda a derecha).
• Decreciente si

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

en todo su dominio (siempre baja de izquierda a derecha).

Definición de intervalos de crecimiento o decrecimiento (en tramos específicos):

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Una función crece o decrece en un intervalo específico

I

si la relación se cumple para todas las entradas en

I

:
• Creciente en $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

.
• Decreciente en $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

para todo

x_1 < x_2

I

El error común crucial: Dominio vs. Rango

El peligro: Cuando los estudiantes observan una gráfica para identificar intervalos donde crece o decrece, naturalmente se enfocan en el eje vertical (los valores de y) porque están viendo la gráfica subir o bajar. Esto lleva a escribir rangos incorrectos como

y > 2

.

La regla: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento deben especificarse siempre usando el eje horizontal (valores de x). El comportamiento del eje vertical nos dice qué hace la función (subir o bajar), pero los valores de

x

nos dicen dónde ocurre este comportamiento. Por ejemplo, si una función crece a la derecha de

x = 5

, el intervalo correcto es

x > 5

, no

y > 2

Cómo escribir intervalos (tramos)

Al igual que hicimos al definir dominios, utilizamos la notación de desigualdad para especificar los tramos horizontales de la gráfica:

A la derecha de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas mayores que $a$ , escribimos:
$x > a$
Por ejemplo, si una función crece a la derecha de $x = 5$ , su intervalo de crecimiento es $x > 5$ .
A la izquierda de un límite $a$ : Si el comportamiento ocurre para todas las entradas menores que $a$ , escribimos:
$x < a$
Por ejemplo, si una función decrece a la izquierda de $x = -2$ , su intervalo de decrecimiento es $x < -2$ .
Entre dos límites $a$ y $b$ : Si la función sube o baja entre dos valores $a$ y $b$ , escribimos:
$a < x < b$

Análisis de curvas en forma de U y de V

Al trabajar con expresiones como

f(x) = a(x - h)^2 + k

, la gráfica forma una curva en forma de U llamada parábola con un punto de giro (vértice) en

x = h

.

Para identificar dónde crece o decrece la parábola sin dibujarla, observa el coeficiente

a

(el número multiplicador al principio):

Parábola sonriente ( $a > 0$ ): Si $a$ es positivo, la curva se abre hacia arriba como una carita feliz. El vértice es el punto más bajo. La gráfica primero baja y luego sube. Por lo tanto, es decreciente para $x < h$ y creciente para $x > h$ .
Parábola triste ( $a < 0$ ): Si $a$ es negativo, la curva se abre hacia abajo como una carita triste. El vértice es el punto más alto. La gráfica primero sube y luego baja. Por lo tanto, es creciente para $x < h$ y decreciente para $x > h$ .

Parábola sonriente (

a > 0

)

Parábola triste (

a < 0

)

Del mismo modo, las funciones que contienen valores absolutos como

f(x) = a|x - h| + k

se comportan exactamente igual. Las barras de valor absoluto

|x - h|

miden la distancia con respecto a

h

, lo que genera una forma de V recta en lugar de una U curva. El multiplicador

a

determina si esta forma de V se abre hacia arriba (forma de V estándar) o hacia abajo (forma de V invertida):

Se abre hacia arriba ( $a > 0$ ): La gráfica tiene forma de V estándar apuntando hacia su punto más bajo (vértice) en $x = h$ . Decrece primero y luego crece (similar a una parábola sonriente).
Se abre hacia abajo ( $a < 0$ ): La gráfica tiene forma de V invertida apuntando hacia su punto más alto (vértice) en $x = h$ . Crece primero y luego decrece (similar a una parábola triste).

Se abre hacia arriba (

a > 0

)

Se abre hacia abajo (

a < 0

)

Temas de Aprendizaje

Preguntas Frecuentes

¿Por qué la coordenada x siempre va primero en un par ordenado?

Por convención matemática, las coordenadas se escriben siempre en orden alfabético como

(x, y)

. Este orden estandarizado garantiza que cualquier persona en el mundo pueda comunicar y localizar puntos en el plano cartesiano de forma consistente y sin ambigüedades.

¿Qué hace que una relación sea una función?

Una relación es una función si y solo si a cada valor de entrada le corresponde exactamente un valor de salida. Si una sola entrada tiene varios resultados diferentes, no es una función.

¿Cómo encuentras dónde corta una función el eje Y?

Para encontrar dónde corta una función el eje Y, calcula

f(0)

reemplazando

x

por

0

en la fórmula de la función. El punto resultante en la gráfica será

(0, f(0))

¿Qué sucede si introducimos un valor fuera del dominio?

Si introduces un valor fuera del dominio, la función no está definida para ese valor. Por ejemplo, en

f(x) = \frac{1}{x}

, ingresar

x = 0

resulta en una división por cero, la cual no tiene un valor matemático definido.

¿Cómo se puede identificar el dominio de una función a partir de su gráfica?

Para encontrar el dominio a partir de una gráfica, observa su extensión horizontal a lo largo del eje X. Encuentra los puntos situados más a la izquierda y más a la derecha, prestando atención a si los extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).

¿Cuál es la diferencia entre dominio y rango?

El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (generalmente

x

) que se pueden introducir en una función, mientras que el rango es el conjunto de todos los valores de salida (generalmente

y

) que la función produce como resultado.

¿Cómo se identifica el rango de una función a partir de su gráfica?

Para encontrar el rango a partir de una gráfica, observa la extensión vertical a lo largo del eje

y

. Busca los puntos más bajo y más alto de la gráfica, prestando atención a si estos extremos son puntos sólidos (incluidos) o círculos abiertos (excluidos).

¿Qué significa que una función sea continua?

Intuitivamente, significa que puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz. De manera más formal, una función debe estar definida en el punto, y su gráfica debe conectarse suavemente sin espacios, saltos ni huecos.

¿Cómo se encuentran los puntos donde una función no es continua?

Busca los valores de entrada que hacen que la función no esté definida (como la división por cero). Por ejemplo,

f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}

es discontinua en

x = 4

porque no se puede dividir por cero, creando un hueco en la gráfica.

¿Cómo puedo saber si una función es creciente o decreciente a partir de su fórmula?

Para funciones lineales

f(x) = mx + b

, la función es creciente si la pendiente

m > 0

y decreciente si

m < 0

. Para funciones cuadráticas

f(x) = a(x-h)^2 + k

, verifica el signo de

a

: si

a > 0

, la parábola se abre hacia arriba, por lo que decrece para

x < h

y crece para

x > h

¿Por qué no puedo usar valores de y para definir intervalos de crecimiento o decrecimiento?

Aunque observamos la subida o bajada vertical (valores de y) para determinar *qué* hace la gráfica, los intervalos deben especificar *dónde* ocurre esto horizontalmente. Por convención, los intervalos de crecimiento/decrecimiento dividen el dominio de la función, que está representado por el eje

x