Funciones: Continuidad de una función

Comprende el concepto de continuidad, explora funciones continuas y discontinuas, y practica cómo encontrar puntos de discontinuidad.

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Guía de aprendizaje: el sistema de coordenadas

Guía de aprendizaje: Continuidad de una función

Se dice que una función

f(x)

es continua si su gráfica es una sola curva conectada sin cortes, huecos ni saltos. Intuitivamente, puedes pensar en una función continua como aquella cuya gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Continuidad de una función

Una función

f(x)

es continua en un punto

x = a

si:
1.

f(a)

está definida.
2. La gráfica se aproxima al mismo valor de

y

desde ambos lados de

a

.
3. El valor de la función en

a

coincide con este valor de

y

(sin saltos ni huecos).

Ejemplos de funciones continuas y discontinuas

1. Funciones continuas

Una función es continua si su gráfica no tiene interrupciones, huecos ni saltos. Intuitivamente, puedes pensar en su gráfica como una que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Polinomio

Polinomios: Las funciones como $f(x) = x^2 - 3$ o $f(x) = 2x + 1$ son continuas en todos los puntos.

Valor absoluto

Valor absoluto: $f(x) = |x - 2|$ es continua en todos los puntos.

2. Funciones discontinuas

Una función es discontinua si su gráfica tiene cortes, saltos, huecos o se dispara al infinito.

2.1 Discontinuidad de salto

La función salta de un valor de $y$ a otro en un punto específico. Los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales.

Discontinuidad de salto

Tramos de impuestos: Un ejemplo cotidiano son los tipos impositivos, donde el porcentaje de impuesto salta (por ejemplo, del 10% al 20%) cuando los ingresos superan cierto umbral.

2.2 Discontinuidad evitable (hueco)

La función está definida y es continua en todas partes excepto en un solo punto, donde hay un punto faltante (hueco).

Discontinuidad de hueco (evitable)

Huecos racionales: $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ no está definida y tiene un hueco en $x = 2$ , aunque parece la recta $y = x + 2$ en todos los demás puntos.

2.3 Discontinuidad infinita

La función tiende a $+infty$ o a $-infty$ a medida que se acerca a cierto valor, creando una división vertical en la gráfica.

Discontinuidad infinita

Comportamiento no acotado: En $f(x) = \frac{1}{x-3}$ , a medida que $x$ se acerca a 3, la división por un número extremadamente pequeño hace que la función se dispare a $+\infty$ o caiga a $-\infty$ (donde el símbolo $\infty$ significa infinito — crecer sin límite). En matemáticas, esta línea límite vertical a la que se aproxima la gráfica infinitamente, pero que nunca toca, se conoce como asíntota vertical.
Debido a esta división, la función es discontinua en $x = 3$ .

Temas de Aprendizaje

Preguntas Frecuentes

¿Por qué la coordenada x siempre va primero en un par ordenado?

Por convención matemática, las coordenadas se escriben siempre en orden alfabético como

(x, y)

. Este orden estandarizado garantiza que cualquier persona en el mundo pueda comunicar y localizar puntos en el plano cartesiano de forma consistente y sin ambigüedades.

¿Qué significa que una función sea continua?

Intuitivamente, significa que puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz. De manera más formal, una función debe estar definida en el punto, y su gráfica debe conectarse suavemente sin espacios, saltos ni huecos.

¿Cómo se encuentran los puntos donde una función no es continua?

Busca los valores de entrada que hacen que la función no esté definida (como la división por cero). Por ejemplo,

f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}

es discontinua en

x = 4

porque no se puede dividir por cero, creando un hueco en la gráfica.