Volumen y área superficial: Área superficial de una caja

El área superficial de una forma 3D es el área total de todas sus caras exteriores. Imagina cubrir toda la forma con calcomanías sin superposiciones. El área total de todas las calcomanías necesarias para cubrir la forma es su área superficial.

Una caja (prisma rectangular) tiene 6 caras rectangulares. Estas caras vienen en 3 pares iguales (frente/atrás, arriba/abajo, izquierda/derecha). Encontramos el área superficial sumando las áreas de las 6 caras:

Un cubo es un caso especial de una caja donde las 6 caras son cuadrados idénticos de longitud de lado $s$. El área de cada cara cuadrada es $s^2$, por lo que el área superficial total es:

Cuando dos cajas se unen para formar un cuerpo compuesto, comparten un área de contacto superpuesta. Debido a que esta área superpuesta está dentro del cuerpo, ya no es parte de la superficie exterior.

Por lo tanto, el área superficial del cuerpo compuesto es la suma de las áreas superficiales individuales menos dos veces el área superpuesta (ya que la superposición cubre una cara en ambas cajas):

Cuando se corta un canal rectangular de una caja desde arriba a lo largo de toda su profundidad:
• La cara superior pierde un área de $w_{\text{inner}} \times l_{\text{outer}}$, pero esta es reemplazada exactamente por el fondo del canal cortado.
• Las caras frontal y trasera pierden cada una una muesca de tamaño $w_{\text{inner}} \times h_{\text{inner}}$, lo que reduce el área superficial en $2 \times (w_{\text{inner}} \times h_{\text{inner}})$.
• Dentro del canal, quedan expuestas dos nuevas caras de paredes laterales, cada una de área $l_{\text{outer}} \times h_{\text{inner}}$, lo que aumenta el área superficial en $2 \times (l_{\text{outer}} \times h_{\text{inner}})$.

Por lo tanto, el área superficial restante es: