שטח

הבינו את מושג השטח באמצעות רשת של 1x1, למדו את הנוסחאות ותרגלו חישוב שטחים של צורות.

מדריך למידה: שטח

הבינו את מושג השטח באמצעות רשת של 1x1, למדו את הנוסחאות ותרגלו חישוב שטחים של צורות.

נושאי תרגול בחישוב שטחים

1. ריבוע ומלבן

למדו ותרגלו חישוב שטח של ריבועים, מלבנים, צורות מורכבות וצורות עם חורים.

2. משולש ישר זווית

למדו כיצד משולש ישר זווית מהווה חצי ממלבן ותרגלו חישוב של השטח שלו.

3. משולש

למדו כיצד לחשב שטח של כל משולש בעזרת גובה ובסיס, ותרגלו בעזרת מגוון שאלות דינמיות.

4. מעגל

למדו ותרגלו חישוב שטח של מעגלים, גזרות מעגל, צורות מורכבות וצורות עם חיתוכי מעגל.

5. ממדים ויחידות

הבינו ממדים ויחידות של שטח. המירו בין יחידות מטריות (מ"מ², ס"מ², מ'²) ויחידות אמריקאיות (in², ft², yd²), ותרגלו שאלות יחס עם צורות מורכבות.

מדריך למידה

1. ריבוע ומלבן

השטח של צורה הוא כמות המרחב הדו-ממדי שבתוך הגבולות שלה. הוא נמדד ביחידות ריבועיות, המייצגות כמה ריבועי יחידה בגודל 1 על 1 יכולים להיכנס בתוך הצורה.

1. מהם מלבן וריבוע?

2. שטח באמצעות רשת 1 × 1

דמיינו שאתם מציירים רשת של ריבועים בגודל 1 על 1 מעל צורה. ספירת סך כל ריבועי הרשת נותנת את השטח. עבור מלבן ברוחב 5 יחידות וגובה 6 יחידות, ניתן לצייר רשת של 5 עמודות ו-6 שורות. ספירתן תניב בדיוק 30 ריבועים, ולכן השטח הוא 30 יחידות שטח.
561 × 1 ריבוע יחידה30 יחידות ריבועיות

3. שטח רציונלי ואי-רציונלי

אורכי הצלעות של צורה יכולים להיות כל מספר ממשי: או רציונלי (כמו מספרים שלמים, שברים או שברים עשרוניים) או אי-רציונלי (כמו שורשים ריבועיים, למשל 2\sqrt{2}). אם אורכי הצלעות הם אי-רציונליים, השטח עצמו יכול להיות אי-רציונלי או רציונלי. כדי לקרוא עוד על סיווגים של מספרים שלמים, רציונליים, ממשיים או מורכבים, עיינו בנושא מערכות מספרים: ממשיים ומורכבים.

4. נוסחאות שטח

במקום לספור ריבועי רשת, אנו משתמשים בנוסחאות מתמטיות:
• מלבן: השטח הוא מכפלת הרוחב בגובה: A = w × h.
• ריבוע: מכיוון שריבוע הוא מלבן שבו w = h = s, נציב בנוסחת המלבן ונקבל: A = s × s = s².
whA = w × h
מלבן
ssA = s²
ריבוע

5. צורות מורכבות וגריעות

כדי לחשב שטח של צורות מורכבות יותר, נשתמש בפעולות חיבור וחיסור:

שליטה ב-SealMath: הזנת שורש ריבועי

כדי להזין שורש ריבועי (כמו 10\sqrt{10}) בקלט המתמטי, יש לכם שתי אפשרויות:
• קיצור מקלדת: הקלידו sqrt בתיבת הקלט. MathLive ייצור מיד את סמל השורש □\sqrt{\square} עם הסמן בפנים — ואז פשוט הקלידו את המספר.
• מקלדת וירטואלית: לחצו על סמל המקלדת ⌨️ בתוך תיבת הקלט לפתיחת המקלדת שעל המסך, ואז לחצו על הכפתור √□ הנמצא בלשונית 123 (שורה שנייה, בצד ימין קיצוני)

2. משולש ישר זווית

1. משולש ישר זווית

השלמה למלבן וחפיפה

αβαβabab
השלמה למלבן
אם ניקח משולש ישר זווית כלשהו עם ניצבים a ו-b ונעתיק אותו, נוכל להפוך את ההעתק ולהניח אותו לצד המשולש המקורי כדי ליצור מלבן שלם עם אורכי צלע a ו-b.
הגדרה: משולשים חופפים
משולשים הם חופפים כאשר הם זהים בצורתם ובגודלם, כלומר כל הצלעות והזוויות המתאימות שלהם שוות בהתאמה.
מכיוון שהמשולש המקורי שלנו והעתק ההפוך שלו חולקים את התכונות הזהות הללו, שני המשולשים הללו חופפים.

נוכל להראות זאת כאן באמצעות כלל ה-Z (זוויות מתחלפות) שלמדנו בעבר:
• אם הזווית התחתונה של המשולש המקורי שלנו היא α\alpha והזווית העליונה היא β\beta (כאשר α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ), כלל ה-Z מראה שהזוויות הנגדיות במשולש המשלים חייבות להיות גם הן α\alpha ו-β\beta.
• מכיוון ששני המשולשים יחד יוצרים מלבן שכל זוויותיו הן 90 מעלות, הצלעות הנגדיות במלבן שוות, ולכן צלעות שני המשולשים זהות בהתאמה.

מכיוון ששני המשולשים חופפים, הם מכסים בדיוק את אותה כמות שטח ויש להם אותו שטח. לכן, השטח של המשולש ישר הזווית הוא בדיוק חצי משטח המלבן:
A=a×b2=ab2A = \frac{a \times b}{2} = \frac{ab}{2}

2. נוסחאות שטח

abA = ab2
משולש ישר-זווית

3. משולש

1. בסיס וגובה במשולש

כדי לחשב שטח של משולש כלשהו, אנו זקוקים לשני נתונים מרכזיים:
• בסיס (b): כל אחת משלוש הצלעות של המשולש.
• גובה (h): קטע ישר היוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו (הבסיס) או להמשכה. הגובה תמיד יוצר זווית של 90° עם הבסיס.

משולש חד-זווית

משולש חד-זווית הוא משולש שבו כל שלוש הזוויות הפנימיות הן זוויות חדות (כל אחת קטנה מ-90∘90^\circ).
bh
משולש חד-זווית (גובה פנימי)

במשולש חד-זווית (שבו כל הזוויות קטנות מ-90°), הגובה אל הבסיס נופל בתוך המשולש.

משולש כהה-זווית

משולש כהה-זווית הוא משולש שבו אחת מהזוויות הפנימיות היא זווית כהה (גדולה מ-90∘90^\circ).
bh
משולש קהה-זווית (גובה חיצוני)

במשולש קהה-זווית (שבו זווית אחת גדולה מ-90°), הגובה אל הצלע (הבסיס) יכול ליפול מחוץ למשולש. כדי למדוד אותו, אנו ממשיכים את קו הבסיס החוצה.

2. מפגש הגבהים (אורתוסנטר)

לכל משולש יש שלושה גבהים (גובה אחד לכל אחת משלוש הצלעות שלו). תכונה גיאומטרית מופלאה היא שכל שלושת הגבהים (או המשכיהם) נפגשים בדיוק בנקודה אחת. נקודת מפגש זו נקראת נקודת מפגש הגבהים (האורתוסנטר).
ABCמפגש גבהים

3. נוסחת שטח משולש

מכיוון שכל משולש הוא בדיוק חצי ממקבילית (או מלבן) בעלת אותו בסיס וגובה, השטח שלו מחושב על ידי הכפלת הבסיס בגובה וחלוקה ב-2:
A=b×h2A = \frac{b \times h}{2}

כאשר:
• bb הוא אורך הבסיס (הצלע שממול).
• hh הוא הגובה המאונך לאותו בסיס.

4. מעגל

1. מהם מעגל, רדיוס וקוטר?

rd
מעגל: רדיוס וקוטר

2. נוסחת שטח מעגל

שטח של מעגל שלם מחושב באמצעות הרדיוס שלו והקבוע π\pi (פאי, שערכו המקורב הוא 3.141593.14159). שימו לב ש-π\pi הוא מספר אי-רציונלי (π∈R\pi \in \mathbb{R} ו-π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}), כלומר לא ניתן לכתוב אותו כשבר פשוט ויש לו אינסוף ספרות אחרי הנקודה שאינן מחזוריות. כדי ללמוד עוד על סיווג זה, עיינו בנושא מערכות מספרים: ממשיים ומורכבים.

3. שטח של גזרת מעגל

• זוויות נפוצות: 180∘180^\circ (חצי מעגל) ו-90∘90^\circ (רבע מעגל).
180°חצי מעגל
90°רבע מעגל

4. מציאת הזווית לפי השטח

אם נתון לנו שטח הגזרה AA והרדיוס שלה rr, נוכל לעבוד בכיוון ההפוך כדי למצוא את הזווית θ\theta באמצעות הנוסחאות המבודדות:

שליטה ב-SealMath: הזנת פאי (π\pi)

כדי להזין את סמל הפאי (π\pi) בקלט המתמטי, יש לכם שלוש אפשרויות:
• קיצור מקלדת: הקלידו pi בתיבת הקלט. הוא יומר באופן מיידי ל-π\pi.
• קלט LaTeX: הקלידו \pi ולחצו על Enter (או לחצו על הצעת הפופאפ) כדי לקבל את הסמל π\pi.
• מקלדת וירטואלית: לחצו על סמל המקלדת ⌨️ בתוך תיבת הקלט לפתיחת המקלדת שעל המסך, עברו ללשונית greek (יוונית), ולחצו על הכפתור π\pi.

5. ממדים ויחידות

1. מהו ממד?

ממד מגדיר כמה כיוונים עצמאיים נדרשים למדידת צורה.
• קו הוא חד-ממדי (1D) — מדידה אחת בלבד: האורך.
• משטח שטוח (כמו מלבן או מעגל) הוא דו-ממדי (2D) — נדרשות שתי מדידות: רוחב וגובה. לכן מודדים שטח ביחידות מרובעות.
• גוף מוצק (כמו קובייה) הוא תלת-ממדי (3D).
2. יחידות אמריקאיות של אורך
השיטה האמריקאית משמשת בעיקר בארצות הברית. שלא כמו השיטה המטרית, היא אינה מבוססת על חזקות של 10:

יחידות (מקטן לגדול):
• אינץ': בערך רוחב אגודל — 12 אינץ' = רגל אחת
• רגל (ft): בערך גובה אריח תקרה — 1 רגל = 12 אינץ'
• יארד (yd): בערך צעד גדול אחד — 1 יארד = 3 רגל = 36 אינץ'
• מייל (mi): בערך 20 דקות הליכה — 1 מייל = 1,760 יארד = 5,280 רגל

המרות יחידות אורך אמריקאיות

1 mi=1,760 yd1 yd=3 ft1 ft=12 in1\text{ mi} = 1{,}760\text{ yd} \\ 1\text{ yd} = 3\text{ ft} \\ 1\text{ ft} = 12\text{ in}
3. יחידות מטריות של אורך
השיטה המטרית משמשת ברוב מדינות העולם. היא מבוססת על חזקות של 10:

יחידות (מקטן לגדול):
• מ"מ (מילימטר): בערך רוחב גרפיט של עיפרון
• ס"מ (סנטימטר): בערך רוחב ציפורן — 1 ס"מ = 10 מ"מ
• ד"מ (דצימטר): 1 ד"מ = 10 ס"מ = 100 מ"מ
• מ' (מטר): בערך גובה דלת — 1 מ' = 100 ס"מ = 1,000 מ"מ
• ק"מ (קילומטר): בערך 10 דקות הליכה — 1 ק"מ = 1,000 מ'

4. המרה בין יחידות אורך

כדי להמיר יחידת אורך, מכפילים כשעוברים מיחידה גדולה לקטנה, ומחלקים כשעוברים מיחידה קטנה לגדולה:

אמריקאי:
• רגל → אינץ': מכפילים ב-12 (למשל, 2 רגל = 24 אינץ')
• אינץ' → רגל: מחלקים ב-12
• יארד → רגל: מכפילים ב-3
• רגל → יארד: מחלקים ב-3

מטרי:
• ס"מ → מ"מ: מכפילים ב-10 (למשל, 5 ס"מ = 50 מ"מ)
• מ"מ → ס"מ: מחלקים ב-10 (למשל, 30 מ"מ = 3 ס"מ)
• מ' → ס"מ: מכפילים ב-100
• ס"מ → מ': מחלקים ב-100

תחיליות מטריות

טרה (T)=1012גיגה (G)=109מגה (M)=106קילו (k)=103סנטי (c)=10−2מילי (m)=10−3מיקרו (μ)=10−6נאנו (n)=10−9פיקו (p)=10−12\begin{aligned} \text{טרה}\text{ (T)} &= 10^{12} \\ \text{גיגה}\text{ (G)} &= 10^9 \\ \text{מגה}\text{ (M)} &= 10^6 \\ \text{קילו}\text{ (k)} &= 10^3 \\ \text{סנטי}\text{ (c)} &= 10^{-2} \\ \text{מילי}\text{ (m)} &= 10^{-3} \\ \text{מיקרו}\text{ (}\mu\text{)} &= 10^{-6} \\ \text{נאנו}\text{ (n)} &= 10^{-9} \\ \text{פיקו}\text{ (p)} &= 10^{-12} \end{aligned}
גורמי קנה מידה ביחס ליחידת הבסיס

5. המרה בין יחידות אמריקאיות ומטריות

לעתים עלינו להמיר מידות בין השיטה האמריקאית לשיטה המטרית. להלן גורמי המרת האורך הנפוצים ביותר:

• אינץ' לס"מ: מכפילים ב-2.54 (למשל, 2 אינץ' = 5.08 ס"מ)
• רגל לס"מ: מכפילים ב-30.48
• מייל לק"מ: מכפילים ב-1.609 (למשל, 10 מייל ≈ 16.09 ק"מ)

כדי לעבור בכיוון ההפוך (ממטרי לאמריקאי), פשוט מחלקים בגורמי המרה אלה במקום להכפיל.

6. יחידות שטח

מכיוון שהשטח הוא אורך × אורך, יחידת השטח היא ריבוע של יחידת האורך:

יחידות שטח מטריות: מ"מ², ס"מ², ד"מ², מ'², ק"מ²
יחידות שטח אמריקאיות: in², ft², yd², mi²

לדוגמה, 1 ס"מ² פירושו ריבוע אחד ברוחב 1 ס"מ וגובה 1 ס"מ. מלבן ברוחב 3 ס"מ וגובה 5 ס"מ יש לו שטח של 15 ס"מ².

7. המרת יחידות שטח — התובנה המרכזית

⚠️ המרת שטחים שונה מהמרת אורכים!

מכיוון ששטח = אורך × אורך, כאשר ממירים את יחידת האורך, יש להחיל את גורם ההמרה פעמיים.

דוגמה: 1 ס"מ² למ"מ²
1 ס"מ = 10 מ"מ, לכן:
1 ס"מ² = 1 ס"מ × 1 ס"מ = 10 מ"מ × 10 מ"מ = 100 מ"מ²

1 ס"מ² = 100 מ"מ² (ולא 10!)

חשבו על זה כך: ריבוע של 1 ס"מ × 1 ס"מ ניתן לחלוקה לרשת של 10 × 10 ריבועים של 1 מ"מ × 1 מ"מ — סך הכל 100 ריבועים קטנים.
1 cm1 cm1 cm²1 cm = 10 mm= 100 mm²

8. יחס שטחים — אותם ממדים ויחידות

יחס משווה שתי כמויות מאותו סוג ואותה יחידה. כאשר לשני השטחים יש אותה יחידה, היחס הוא מספר טהור — היחידות מתבטלות.

דוגמה: לחלק A שטח של 12 ס"מ². לחלק B שטח של 8 ס"מ².
יחס A ל-B = 12/8 = 3/2, נכתב כ: 3:2 (מצומצם).

חשוב: אם שני השטחים ביחידות שונות, יש להמיר לאותה יחידה תחילה, ואז לקחת את היחס.

הזינו את תשובת היחס בפורמט a:b (למשל 3:2), מצומצם לחלוטין.

שליטה ב-SealMath: יחס ויחידות

לשאלות יחס: הזינו את התשובה בפורמט a:b — למשל 3:2. ודאו שהיחס מצומצם לחלוטין.

לשאלות חישוב שטח: הזינו את התשובה המספרית עם A = ערך כרגיל. היחידה מוצגת בשאלה.
נושאי לימוד

שאלות נפוצות

כיצד מוגדר שטח של צורה?

השטח של צורה מוגדר על ידי מספר ריבועי היחידה בגודל 1 על 1 שנכנסים בתוכה. לדוגמה, אם מלבן ניתן לחלוקה מדויקת ל-30 ריבועים של 1 על 1, השטח שלו הוא 30.

כיצד מחשבים שטח של מלבן וריבוע?

השטח של מלבן מחושב כרוחב × גובה (A = w × h). ריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן שבו כל הצלעות שוות (w = h = s). לכן, השטח של ריבוע הוא צלע × צלע, או צלע בריבוע (A = s²).

כיצד מחשבים שטח של משולש ישר זווית?

שטח של משולש ישר זווית מחושב כמחצית מכפלת הניצבים שלו (A = ab / 2). זאת משום שמשולש ישר זווית מהווה בדיוק חצי ממלבן בעל רוחב וגובה זהים.

כיצד מחשבים שטח של משולש כללי?

שטח של משולש כללי מחושב כמחצית המכפלה של הבסיס בגובה (A = (1/2) × b × h או A = bh/2), כאשר הגובה הוא המרחק האנכי מהבסיס לקודקוד הנגדי.

כיצד מחשבים שטח של מעגל?

שטח של מעגל מחושב כ-π כפול הרדיוס בריבוע (A = πr²). מכיוון ש-π הוא מספר אי-רציונלי, שטח המעגל עבור רדיוס רציונלי יהיה תמיד מספר אי-רציונלי.

מהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס קובע כי במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (a² + b² = c²). משתמשים בו כדי למצוא אורך צלע חסרה כאשר שתי הצלעות האחרות ידועות.

מהו יחס השטחים בין צורות חסומות?

עבור ריבוע החסום במעגל, יחס השטח בין הריבוע למעגל הוא תמיד בדיוק 2/π ≈ 0.637. עבור מעגל החסום בריבוע, יחס השטח בין המעגל לריבוע הוא תמיד בדיוק π/4 ≈ 0.785. יחסים אלו קבועים ללא קשר לגודל הפיזי של הצורות.

האם שטח של צורה יכול להיות מספר אי-רציונלי?

כן, אם אורכי הצלעות הם מספרים אי-רציונליים (כמו √2), השטח שיתקבל יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי. תוכל ללמוד עוד על סיווגים אלה בנושא קבוצות מספרים - ממשיים ומורכבים.

מהם סוגי המשולשים המיוחדים העיקריים?

שלושת הסוגים העיקריים הם: משולש שווה שוקיים (שתי שוקיים שוות ושתי זוויות בסיס שוות), משולש שווה צלעות (כל הצלעות והזוויות שוות — כל זווית היא 60°), ומשולש 30-60-90 (יחסי צלעות קבועים של 1 : √3 : 2).

מדוע 1 ס"מ² שווה 100 מ"מ² ולא 10 מ"מ²?

מכיוון שהשטח הוא דו-ממדי (אורך × אורך), גורם ההמרה חייב להיות מוחל פעמיים. מאחר ש-1 ס"מ = 10 מ"מ, מקבלים 1 ס"מ² = 10 מ"מ × 10 מ"מ = 100 מ"מ². בכלל: אם יחידה אחת = k יחידות משנה, אז יחידה² אחת = k² יחידות משנה².