דף נוסחאות

עיינו ברשימה המקיפה של נוסחאות מתמטיות, המאורגנות לפי נושאים, הכוללת חיפוש מהיר והסברים אינטראקטיביים לאלגברה, גיאומטריה, אחוזים ועוד.

שלח לי את דף הנוסחאות במייל

נשלח אליך עותק PDF מוכן להדפסה של דף הנוסחאות.

⚠️אנא התחבר כדי לשלוח את דף הנוסחאות למייל שלך.

מספרים שלמים ורציונליים

נוסחת יתרת חשבון בנק
‎יתרה מעודכנת‎= ‎יתרה התחלתית‎+(‎הפקדות‎×‎סכום‎)−‎רכישות‎\begin{aligned} \text{‎יתרה מעודכנת‎} = &\ \text{‎יתרה התחלתית‎} \\ & + (\text{‎הפקדות‎} \times \text{‎סכום‎}) \\ & - \text{‎רכישות‎} \end{aligned}
חישוב יתרה מעודכנת לאחר הפקדות ורכישות.
נוסחת שינוי טמפרטורה בקצב קבוע
‎טמפרטורה סופית‎= ‎טמפרטורה התחלתית‎+(‎זמן‎×‎קצב שעתי‎)\begin{aligned} \text{‎טמפרטורה סופית‎} = &\ \text{‎טמפרטורה התחלתית‎} \\ & + (\text{‎זמן‎} \times \text{‎קצב שעתי‎}) \end{aligned}
חישוב הטמפרטורה הסופית לאחר שינוי בטמפרטורה בקצב קבוע לאורך זמן.

אחוזים

נוסחת האחוז
p=‎חלק‎‎שלם‎×100%p = \frac{\text{‎חלק‎}}{\text{‎שלם‎}} \times 100\%
נוסחת סך הכל
T=A+B+…T = A + B + \dots
נוסחת הגדלה באחוזים
V‎חדש‎=V‎מקורי‎×(1+p100)V_{\text{‎חדש‎}} = V_{\text{‎מקורי‎}} \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)
נוסחת שיעור הגדלה באחוזים
p=(V‎חדש‎V‎מקורי‎−1)×100p = \left(\frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{V_{\text{‎מקורי‎}}} - 1\right) \times 100
נוסחת הקטנה באחוזים
V‎חדש‎=V‎מקורי‎×(1−p100)V_{\text{‎חדש‎}} = V_{\text{‎מקורי‎}} \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)
נוסחת שינוי באחוזים כללית
V‎חדש‎=V‎מקורי‎×(1±p100)V_{\text{‎חדש‎}} = V_{\text{‎מקורי‎}} \times \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)
משתמשים ב-+ עבור עלייה וב-− עבור ירידה.
נוסחת שיעור הקטנה באחוזים
p=(1−V‎חדש‎V‎מקורי‎)×100p = \left(1 - \frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{V_{\text{‎מקורי‎}}}\right) \times 100
נוסחת שיעור שינוי באחוזים כללית
p=∣V‎חדש‎V‎מקורי‎−1∣×100p = \left|\frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{V_{\text{‎מקורי‎}}} - 1\right| \times 100
חישוב ערך מקורי לאחר הגדלה
V‎מקורי‎=V‎חדש‎1+p100V_{\text{‎מקורי‎}} = \frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{1 + \frac{p}{100}}
חישוב ערך מקורי לפי סכום ההגדלה
V‎מקורי‎=V‎עלייה‎(p100)V_{\text{‎מקורי‎}} = \frac{V_{\text{‎עלייה‎}}}{\left(\frac{p}{100}\right)}
חישוב ערך מקורי לאחר הקטנה
V‎מקורי‎=V‎חדש‎1−p100V_{\text{‎מקורי‎}} = \frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{1 - \frac{p}{100}}
נוסחת חישוב ערך מקורי כללית
V‎מקורי‎=V‎חדש‎1±p100V_{\text{‎מקורי‎}} = \frac{V_{\text{‎חדש‎}}}{1 \pm \frac{p}{100}}
משתמשים ב-+ עבור עלייה וב-− עבור ירידה.
חישוב ערך מקורי לפי סכום ההקטנה
V‎מקורי‎=V‎ירידה‎(p100)V_{\text{‎מקורי‎}} = \frac{V_{\text{‎ירידה‎}}}{\left(\frac{p}{100}\right)}
מכפיל כולל
M=(1±p1100)×(1±p2100)×…M = \left(1 \pm \frac{p_1}{100}\right) \times \left(1 \pm \frac{p_2}{100}\right) \times \dots
סכום חדש
V‎חדש‎=V‎מקורי‎×MV_{\text{‎חדש‎}} = V_{\text{‎מקורי‎}} \times M
אחוז נטו
p‎נטו‎=(M−1)×100p_{\text{‎נטו‎}} = (M - 1) \times 100

יסודות הזווית לכיתה ז׳

זווית חדה
זווית חדה היא זווית שגדולה מ-‏0∘0^\circ‏‏ וקטנה מ-‏90∘90^\circ‏.‏
זווית כהה
זווית כהה היא זווית שגדולה מ-‏90∘90^\circ‏‏ וקטנה מ-‏180∘180^\circ‏.‏
משולש
משולש הוא צורה דו-ממדית בעלת שלושה קטעי קו ישרים הנקראים צלעות, ושלושה קודקודים (נקודות הפינה שבהן הצלעות נפגשות).
סכום זוויות במשולש
a+b+c=180∘a + b + c = 180^\circ
כלל ה-Z (זוויות מתחלפות)
כאשר שני קווים מקבילים נחתכים על ידי קו ישר שלישי, הזוויות המתחלפות (היוצרות צורת Z) שוות זו לזו.
כלל ה-F (זוויות מתאימות)
כאשר שני קווים מקבילים נחתכים על ידי קו ישר שלישי, הזוויות מתאימות הנמצאות באותו מיקום יחסי (היוצרות צורת F) שוות זו לזו.
כלל ה-X (זוויות קודקודיות)
כאשר שני קווים ישרים נחתכים, הזוויות הקודקודיות הנמצאות זו מול זו (היוצרות צורת X) שוות זו לזו.

שטח לכיתה ז׳

מלבן
מלבן הוא מרובע בעל ארבע זוויות ישרות (‏90∘90^\circ‏‏) שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
שטח מלבן
A=w×hA = w \times h
ריבוע
ריבוע הוא מרובע בעל ארבע צלעות שוות וארבע זוויות ישרות (‏90∘90^\circ‏‏).
שטח ריבוע
A=s2A = s^2
שטח צורות מורכבות
A‎סך הכל‎=A1+A2+…A_{\text{‎סך הכל‎}} = A_1 + A_2 + \dots
השטח הכולל הוא סכום השטחים של הצורות הבודדות.
שטח גריעות וחורים
A‎נותר‎=A‎חיצוני‎−A‎פנימי‎A_{\text{‎נותר‎}} = A_{\text{‎חיצוני‎}} - A_{\text{‎פנימי‎}}
השטח הנותר הוא השטח החיצוני פחות שטח הגריעה הפנימית.
משולש ישר-זווית
משולש ישר-זווית הוא משולש שבו אחת מהזוויות הפנימיות היא זווית ישרה (‏90∘90^\circ‏‏).
שטח משולש ישר זווית
A=ab2A = \frac{ab}{2}
משולש חד-זווית
משולש חד-זווית הוא משולש שבו כל שלוש הזוויות הפנימיות הן זוויות חדות (כל אחת קטנה מ-‏90∘90^\circ‏‏).
משולש כהה-זווית
משולש כהה-זווית הוא משולש שבו אחת מהזוויות הפנימיות היא זווית כהה (גדולה מ-‏90∘90^\circ‏‏).
גובה משולש
גובה המשולש ביחס לבסיס הוא המרחק המאונך מאותו בסיס (או מהמשכו) לקודקוד הנגדי.
שטח משולש
A=b×h2A = \frac{b \times h}{2}
מעגל
מעגל הוא צורה דו-ממדית עגולה שבה כל הנקודות על ההיקף נמצאות במרחק שווה מהמרכז.
שטח עיגול
A=πr2A = \pi r^2
גזרת עיגול
גזרת עיגול היא חלק מעיגול המוגבל על ידי שני רדיוסים וקשת.
שטח גזרת מעגל (ברדיאנים)
A=12r2θA = \frac{1}{2} r^2 \theta
מחושב לפי זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ ברדיאנים.
שטח גזרת מעגל (במעלות)
A=θ360∘×πr2A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
מחושב לפי זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ במעלות.
זווית גזרת מעגל (ברדיאנים)
θ=2Ar2\theta = \frac{2A}{r^2}
מחושב לפי שטח A ורדיוס r ברדיאנים.
זווית גזרת מעגל (במעלות)
θ=360∘×Aπr2\theta = \frac{360^\circ \times A}{\pi r^2}
מחושב לפי שטח A ורדיוס r במעלות.
המרות יחידות אורך אמריקאיות
1 mi=1,760 yd1 yd=3 ft1 ft=12‎במשולש‎1\text{ mi} = 1{,}760\text{ yd} \\ 1\text{ yd} = 3\text{ ft} \\ 1\text{ ft} = 12\text{‎במשולש‎}
המרות יחידות אורך מטריות
1 m=10 dm1 dm=10 cm1 cm=10 mm1\text{ m} = 10\text{ dm} \\ 1\text{ dm} = 10\text{ cm} \\ 1\text{ cm} = 10\text{ mm}
המרות בין יחידות אורך אמריקאיות למטריות
1‎במשולש‎=2.54 cm1 ft=30.48 cm1 mi≈1.609 km\begin{aligned} 1\text{‎במשולש‎} &= 2.54\text{ cm} \\ 1\text{ ft} &= 30.48\text{ cm} \\ 1\text{ mi} &\approx 1.609\text{ km} \end{aligned}
המרה בין יחידות אורך אמריקאיות למטריות
כלל המרת יחידות שטח
‎אם‎ 1 ‎יחידה‎=k ‎יחידות משנה‎‎אז‎ 1 ‎יחידה‎2=k2 ‎יחידות משנה‎2\text{‎אם‎}\ 1\ \text{‎יחידה‎} = k\ \text{‎יחידות משנה‎} \\ \text{‎אז‎}\ 1\ \text{‎יחידה‎}^2 = k^2\ \text{‎יחידות משנה‎}^2
המרות יחידות שטח מטריות
1 m2=100 dm21 dm2=100 cm21 cm2=100 mm21\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 \\ 1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 \\ 1\text{ cm}^2 = 100\text{ mm}^2
המרות יחידות שטח אמריקאיות
1 mi2=3,097,600 yd21 yd2=9 ft21 ft2=144‎במשולש‎21\text{ mi}^2 = 3{,}097{,}600\text{ yd}^2 \\ 1\text{ yd}^2 = 9\text{ ft}^2 \\ 1\text{ ft}^2 = 144\text{‎במשולש‎}^2

היקף

היקף כולל (עם חורים)
P‎סך הכל‎=P‎חיצוני‎+P‎פנימי‎P_{\text{‎סך הכל‎}} = P_{\text{‎חיצוני‎}} + P_{\text{‎פנימי‎}}
היקף מלבן
P=2(w+h)P = 2(w + h)
היקף ריבוע
P=4sP = 4s
היקף משולש ישר זווית
P=a+b+a2+b2P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}
היקף מצולע
P=s1+s2+⋯+snP = s_1 + s_2 + \dots + s_n
היקף משולש
P=a+b+cP = a + b + c
היקף מעגל
P=2πr=πdP = 2\pi r = \pi d
כאשר ‏rr‏‏ הוא הרדיוס, ‏dd‏‏ הוא הקוטר (‏d=2rd = 2r‏‏), ו-‏π≈3.14159\pi \approx 3.14159‏.‏
היקף גזרת מעגל (ברדיאנים)
P=2r+θrP = 2r + \theta r
מחושב לפי זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ ברדיאנים.
היקף גזרת מעגל (במעלות)
P=2r+θ360∘×2πrP = 2r + \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
מחושב לפי זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ במעלות.
תכונת אלכסוני המלבן
1. במלבן, האלכסונים שווים זה לזה.
2. ולהפך, אם במרובע הצלעות הנגדיות שוות והאלכסונים שווים, זהו מלבן.

סטטיסטיקה והסתברות

נוסחת ההסתברות התאורטית
P(A)=‎מספר התוצאות הרצויות‎‎מספר כל התוצאות האפשריות‎P(A) = \frac{\text{‎מספר התוצאות הרצויות‎}}{\text{‎מספר כל התוצאות האפשריות‎}}
נוסחת המאורע המשלים
P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)
‏A‾\overline{A}‏‏ = לא ‏AA‏‏
נוסחת הממוצע החשבוני
‎ממוצע‎=‎סכום כל הערכים‎‎מספר הערכים‎\text{‎ממוצע‎} = \frac{\text{‎סכום כל הערכים‎}}{\text{‎מספר הערכים‎}}
נוסחת הסכום הכולל
‎סכום כולל‎=‎כמות כוללת‎×‎ממוצע‎\text{‎סכום כולל‎} = \text{‎כמות כוללת‎} \times \text{‎ממוצע‎}
נוסחת ערך חסר בממוצע
x=‎סכום כולל‎−‎סכום ידוע‎=‎כמות כוללת‎×‎ממוצע מבוקש‎−‎סכום ידוע‎\begin{aligned} x &= \text{‎סכום כולל‎} - \text{‎סכום ידוע‎} \\ &= \text{‎כמות כוללת‎} \times \text{‎ממוצע מבוקש‎} - \text{‎סכום ידוע‎} \end{aligned}
נוסחת ממוצע מטבלת שכיחויות
‎ממוצע‎=‎סכום המכפלות (ערך‎×‎שכיחות)‎‎כמות כוללת‎=‎סכום כולל‎‎כמות כוללת‎\text{‎ממוצע‎} = \frac{\text{‎סכום המכפלות (ערך‎} \times \text{‎שכיחות)‎}}{\text{‎כמות כוללת‎}} = \frac{\text{‎סכום כולל‎}}{\text{‎כמות כוללת‎}}
מספר = שכיחות (מספר הפעמים שכל ערך מופיע).
מספר כולל = מספר הנתונים הכולל.
הגדרת החציון
החציון הוא הערך האמצעי בקבוצת נתונים ממוינת, או הממוצע של שני הערכים האמצעיים כאשר מספר הנתונים זוגי.
נוסחת החציון עבור מספר אי-זוגי של נתונים
‎חציון (אי-זוגי n)‎=xn+12\text{‎חציון (אי-זוגי n)‎} = x_{\frac{n+1}{2}}
‏nn‏‏ הוא מספר הערכים בקבוצת הנתונים.
נוסחת החציון עבור מספר זוגי של נתונים
‎חציון (זוגי n)‎=xn/2+x(n/2)+12\text{‎חציון (זוגי n)‎} = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
‏nn‏‏ הוא מספר הערכים בקבוצת הנתונים.
הגדרת השכיח
השכיח הוא הערך (או הערכים) המופיע במספר הפעמים הגדול ביותר בקבוצת הנתונים. ייתכן שכיח יחיד, מספר שכיחים, או שאין שכיח כלל.
נוסחת הטווח (פיזור נתונים)
‎טווח‎=‎מקסימום‎−‎מינימום‎=xmax⁡−xmin⁡\text{‎טווח‎} = \text{‎מקסימום‎} - \text{‎מינימום‎} = x_{\max} - x_{\min}

אלגברה לכיתה ח׳

כפל בינומים (חוק הפילוג המורחב)
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
ריבוע הסכום
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
ריבוע ההפרש
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
הפרש ריבועים
(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
הוצאת גורם משותף
ax+ay=a(x+y)ax + ay = a(x + y)
פירוק לפי הפרש ריבועים
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
פירוק טרינום ריבועי מושלם (חיבור)
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
פירוק טרינום ריבועי מושלם (חיסור)
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
פירוק טרינום ריבועי
x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)
‏p+q=b,p⋅q=cp + q = b, \quad p \cdot q = c‏‏

חזקות

חוק כפל חזקות בעלות בסיסים שווים
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
חוק חילוק חזקות בעלות בסיסים שווים
aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
חוק חזקה של חזקה
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
חוק חזקה של מכפלה
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
חוק חזקה של מנה
(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
חוק חזקת אפס
a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)
חוק חזקה עם מעריך שלילי
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)
חוק המעריך −1
a−1=1a(a≠0)a^{-1} = \frac{1}{a} \quad (a \neq 0)
חוק חזקה שלילית על שבר
(ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
הגדרת שורש ריבועי
x2=a  ⟺  x=±a(a≥0)x^2 = a \iff x = \pm\sqrt{a} \quad (a \ge 0)
הגדרת שורש שלישי
x3=a  ⟺  x=a3x^3 = a \iff x = \sqrt[3]{a}
הגדרת כתיב מדעי
a×10k(1≤a<10,  k∈Z)a \times 10^k \quad (1 \le a < 10,\; k \in \mathbb{Z})
כפל בכתיב מדעי
(a×10m)×(b×10n)=(a⋅b)×10m+n(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \cdot b) \times 10^{m+n}
חילוק בכתיב מדעי
a×10mb×10n=(ab)×10m−n\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \left(\frac{a}{b}\right) \times 10^{m-n}
תחיליות מטריות
‎טרה‎ (T)=1012‎גיגה‎ (G)=109‎מגה‎ (M)=106‎קילו‎ (k)=103‎סנטי‎ (c)=10−2‎מילי‎ (m)=10−3‎מיקרו‎ (μ)=10−6‎נאנו‎ (n)=10−9‎פיקו‎ (p)=10−12\begin{aligned} \text{‎טרה‎}\text{ (T)} &= 10^{12} \\ \text{‎גיגה‎}\text{ (G)} &= 10^9 \\ \text{‎מגה‎}\text{ (M)} &= 10^6 \\ \text{‎קילו‎}\text{ (k)} &= 10^3 \\ \text{‎סנטי‎}\text{ (c)} &= 10^{-2} \\ \text{‎מילי‎}\text{ (m)} &= 10^{-3} \\ \text{‎מיקרו‎}\text{ (}\mu\text{)} &= 10^{-6} \\ \text{‎נאנו‎}\text{ (n)} &= 10^{-9} \\ \text{‎פיקו‎}\text{ (p)} &= 10^{-12} \end{aligned}
גורמי קנה מידה ביחס ליחידת הבסיס

פונקציות

קואורדינטות של נקודה
(x,y)(x, y)
x: מיקום אופקי
y: מיקום אנכי
נקודת האמצע של קטע
M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
A: (x₁, y₁), B: (x₂, y₂)
מרחק בין שתי נקודות
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
d: מרחק, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)
רציפות של פונקציה
פונקציה ‏f(x)f(x)‏‏ רציפה בנקודה ‏x=ax = a‏‏ אם:
1. ‏f(a)f(a)‏‏ מוגדרת.
2. הגרף מתקרב לאותו ערך של ‏yy‏‏ משני צדי הנקודה ‏aa‏.‏
3. ערך הפונקציה בנקודה ‏aa‏‏ שווה לערך זה (אין קפיצות או חורים).
פונקציות עולות ויורדות
פונקציה ‏ff‏‏ היא:
  • עולה אם לכל ‏x1<x2x_1 < x_2‏‏ בתחום ההגדרה שלה מתקיים ‏f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)‏‏ (עולה תמיד משמאל לימין).
  • יורדת אם לכל ‏x1<x2x_1 < x_2‏‏ בתחום ההגדרה שלה מתקיים ‏f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)‏‏ (יורדת תמיד משמאל לימין).
תחומי עלייה וירידה
פונקציה עולה או יורדת בתחום מסוים ‏II‏‏ אם היחס מתקיים לכל ערכי הקלט ב-‏II‏‏:
  • עולה ב-‏II‏‏: ‏f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)‏‏ לכל ‏x1<x2x_1 < x_2‏‏ ב-‏II‏.‏
  • יורדת ב-‏II‏‏: ‏f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)‏‏ לכל ‏x1<x2x_1 < x_2‏‏ ב-‏II‏.‏

משוואת הישר

משוואת הישר (צורה מפורשת)
y=ax+by = ax + b
משוואת הישר בצורה מפורשת, כאשר ‏aa‏‏ הוא השיפוע של הישר ו-‏bb‏‏ הוא ערך החיתוך עם ציר ה-‏yy‏.‏
שיפוע של ישר
a=ΔyΔx=y2−y1x2−x1a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
מחושב בעזרת שתי נקודות ‏(x1,y1)(x_1, y_1)‏‏ ו-‏(x2,y2)(x_2, y_2)‏‏ שעל הישר.
תכונת הישרים המקבילים
הגרפים של שתי פונקציות קוויות מקבילים אם ורק אם יש להן אותו שיפוע: ‏a1=a2a_1 = a_2‏‏ (וערכי חיתוך שונים עם ציר ה-y: ‏b1≠b2b_1 \neq b_2‏‏).

חפיפת משולשים לכיתה ח׳

הגדרת משולשים חופפים
ΔABC≅ΔDEF  ⟺  {AB=DE,BC=EF,AC=DF∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F\Delta ABC \cong \Delta DEF \iff \begin{cases} AB = DE, & BC = EF, & AC = DF \\ \angle A = \angle D, & \angle B = \angle E, & \angle C = \angle F \end{cases}
משפט חפיפה צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ)
AB=DE,  ∠B=∠E,  BC=EF  ⟹  ΔABC≅ΔDEFAB = DE,\; \angle B = \angle E,\; BC = EF \implies \Delta ABC \cong \Delta DEF
משפט חפיפה זווית-צלע-זווית (ז.צ.ז)
∠A=∠D,  AB=DE,  ∠B=∠E  ⟹  ΔABC≅ΔDEF\angle A = \angle D,\; AB = DE,\; \angle B = \angle E \implies \Delta ABC \cong \Delta DEF
משפט חפיפה צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ)
AB=DE,  BC=EF,  AC=DF  ⟹  ΔABC≅ΔDEFAB = DE,\; BC = EF,\; AC = DF \implies \Delta ABC \cong \Delta DEF
משפט חפיפה צלע-צלע-זווית מול הצלע הגדולה מבין השתיים (צ.צ.ז) / משפט יתר-ניצב
AB=DE,  BC=EF,  ∠C=∠F=90∘  ⟹  ΔABC≅ΔDEFAB = DE,\; BC = EF,\; \angle C = \angle F = 90^\circ \implies \Delta ABC \cong \Delta DEF
הגדרה ותכונות התיכון במשולש
‎במשולש‎  ΔABC (D  ‎על‎  BC):AD  ‎הוא תיכון‎  ⟺  BD=DC=12BC\begin{gathered} \text{‎במשולש‎}\; \Delta ABC \ (D\; \text{‎על‎}\; BC): \\ AD\; \text{‎הוא תיכון‎} \iff BD = DC = \frac{1}{2} BC \end{gathered}
הגדרה ותכונות הגובה במשולש
‎במשולש‎  ΔABC (H  ‎על (או על המשך הצלע)‎  BC):AH  ‎הוא גובה‎  ⟺  AH⊥BC  (∠AHB=90∘)\begin{gathered} \text{‎במשולש‎}\; \Delta ABC \ (H\; \text{‎על (או על המשך הצלע)‎}\; BC): \\ AH\; \text{‎הוא גובה‎} \iff AH \perp BC \; (\angle AHB = 90^\circ) \end{gathered}
הגדרה ותכונות חוצה הזווית במשולש
‎במשולש‎  ΔABC (D  ‎על‎  BC):AD  ‎חוצה את‎  ∠BAC  ⟺  ∠BAD=∠CAD=12∠BAC\begin{gathered} \text{‎במשולש‎}\; \Delta ABC \ (D\; \text{‎על‎}\; BC): \\ AD\; \text{‎חוצה את‎}\; \angle BAC \iff \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC \end{gathered}
משפט קטע אמצעים במשולש
‎במשולש‎  ΔABC (M  ‎על‎  AB,  N  ‎על‎  AC):MN  ‎הוא קטע אמצעים‎  ⟺  MN∥BC,  MN=12BC\begin{gathered} \text{‎במשולש‎}\; \Delta ABC \ (M\; \text{‎על‎}\; AB,\; N\; \text{‎על‎}\; AC): \\ MN\; \text{‎הוא קטע אמצעים‎} \iff MN \parallel BC,\; MN = \frac{1}{2} BC \end{gathered}
משפט זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים והמשפט ההפוך
AB=AC  ⟺  ∠B=∠CAB = AC \iff \angle B = \angle C
הקטע המיוחד במשולש שווה שוקיים (חוצה זווית הראש = תיכון = גובה לבסיס)
‎במשולש שווה-שוקיים‎  ΔABC (AB=AC):‎חוצה זווית‎  ⟺  ‎חציון‎  ⟺  ‎גובה‎\begin{gathered} \text{‎במשולש שווה-שוקיים‎}\; \Delta ABC \ (AB=AC): \\ \text{‎חוצה זווית‎} \iff \text{‎חציון‎} \iff \text{‎גובה‎} \end{gathered}
איזומטריה (שימור מרחק וחפיפה בהעתקה קשיחה)
d(A′,B′)=d(A,B)  ⟹  ΔABC≅ΔA′B′C′d(A', B') = d(A, B) \implies \Delta ABC \cong \Delta A'B'C'
הזזה (וקטור העתקה)
(x,y)→(x+a,y+b)(x, y) \to (x + a, y + b)
שיקוף ביחס לציר ה-x
(x,y)→‎שיקוף ציר x‎(x,−y)(x, y) \xrightarrow{\text{‎שיקוף ציר x‎}} (x, -y)
שיקוף ביחס לציר ה-y
(x,y)→‎שיקוף ציר y‎(−x,y)(x, y) \xrightarrow{\text{‎שיקוף ציר y‎}} (-x, y)
שיקוף ביחס לישר y = x
(x,y)→‎שיקוף y = x‎(y,x)(x, y) \xrightarrow{\text{‎שיקוף y = x‎}} (y, x)
סיבוב ב-90° נגד כיוון השעון סביב ראשית הצירים
(x,y)→R(O,90∘‎נגד השעון‎)(−y,x)(x, y) \xrightarrow{R_{(O, 90^\circ \text{‎נגד השעון‎})}} (-y, x)
סיבוב ב-180° סביב ראשית הצירים
(x,y)→R(O,180∘)(−x,−y)(x, y) \xrightarrow{R_{(O, 180^\circ)}} (-x, -y)
סיבוב ב-270° נגד כיוון השעון (90° עם כיוון השעון)
(x,y)→R(O,270∘‎נגד השעון‎)(y,−x)(x, y) \xrightarrow{R_{(O, 270^\circ \text{‎נגד השעון‎})}} (y, -x)
הגדרת משולשים דומים (~)
ΔABC∼ΔDEF  ⟺  {∠A=∠D,  ∠B=∠E,  ∠C=∠FABDE=BCEF=ACDF=k\Delta ABC \sim \Delta DEF \iff \begin{cases} \angle A = \angle D, \; \angle B = \angle E, \; \angle C = \angle F \\[4pt] \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k \end{cases}
הומוטטיה ומתיחה במישור (מקדם דמיון k)
(x,y)→dilation k(k⋅x,k⋅y)(x, y) \xrightarrow{\text{dilation } k} (k \cdot x, k \cdot y)
משפט דמיון זווית-זווית (ז.ז)
∠A=∠D,  ∠B=∠E  ⟹  ΔABC∼ΔDEF\angle A = \angle D, \; \angle B = \angle E \implies \Delta ABC \sim \Delta DEF
משפט דמיון צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ בדמיון)
ABDE=ACDF=k,  ∠A=∠D  ⟹  ΔABC∼ΔDEF\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k, \; \angle A = \angle D \implies \Delta ABC \sim \Delta DEF
משפט דמיון צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ בדמיון)
ABDE=BCEF=ACDF=k  ⟹  ΔABC∼ΔDEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k \implies \Delta ABC \sim \Delta DEF
משפט חלוקת קטעים על ידי ישר מקביל במשולש (פרופורציה במשולש)
DE∥BC  ⟹  ADAB=AEAC=DEBCDE \parallel BC \implies \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
יחס היקפים ויחס שטחים במשולשים דומים
P1P2=k,S1S2=k2\frac{P_1}{P_2} = k, \quad \frac{S_1}{S_2} = k^2

סטטיסטיקה וניתוח נתונים לכיתה ח׳

שיפוע קו המגמה
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
‏mm‏‏ הוא השיפוע / קצב השינוי, ו-‏(x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2)‏‏ הן נקודות על הקו
משוואת קו המגמה
y=mx+by = mx + b
‏mm‏‏ הוא קצב השינוי, ו-‏bb‏‏ הוא הערך ההתחלתי / נקודת החיתוך עם ציר ה-y
שכיחות יחסית בטבלת שכיחות דו-ממדית
‎שכיחות יחסית‎=‎שכיחות משותפת‎Total\text{‎שכיחות יחסית‎} = \frac{\text{‎שכיחות משותפת‎}}{\text{Total}}
סיכום חמשת המספרים
‎Summary‎={‎מינימום‎, Q1, ‎חציון‎, Q3, ‎מקסימום‎}\text{‎Summary‎} = \{\text{‎מינימום‎},\, Q_1,\, \text{‎חציון‎},\, Q_3,\, \text{‎מקסימום‎}\}
‏מינימום\text{מינימום}‏‏ הוא המינימום, ‏Q1Q_1‏‏ הוא הרבעון התחתון, ‏חציון\text{חציון}‏‏ הוא החציון, ‏Q3Q_3‏‏ הוא הרבעון העליון, ו-‏מקסימום\text{מקסימום}‏‏ הוא המקסימום
טווח בין-רבעוני (IQR)
IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1
‏Q1Q_1‏‏ הוא הרבעון הראשון, ו-‏Q3Q_3‏‏ הוא הרבעון השלישי
כלל זיהוי חריגים (כלל 1.5 × IQR)
‎Outlier‎<Q1−1.5×IQR‎or‎‎Outlier‎>Q3+1.5×IQR\begin{gathered} \text{‎Outlier‎} < Q_1 - 1.5 \times \text{IQR} \\[4pt] \text{‎or‎} \\[4pt] \text{‎Outlier‎} > Q_3 + 1.5 \times \text{IQR} \end{gathered}

שטח ומשפט פיתגורס לכיתה ח׳

משפט פיתגורס
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
במשולש ישר זווית: ריבוע היתר (c) שווה לסכום ריבועי הניצבים (a ו-b).
גובה במשולש שווה שוקיים
h=b2−(a2)2h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
חוק משולש שווה צלעות
1. אם משולש הוא שווה צלעות, כל הזוויות שלו הן ‏60∘60^\circ‏.‏
2. ולהפך, אם כל הזוויות במשולש הן ‏60∘60^\circ‏,‏ המשולש הוא שווה צלעות.
גובה במשולש שווה צלעות
h=a32h = a \frac{\sqrt{3}}{2}
שטח משולש שווה צלעות
A=a234A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}
חוק משולש 30-60-90
בכל משולש 30-60-90, הניצב מול זווית ‏30∘30^\circ‏‏ (הניצב הקצר) שווה תמיד לחצי מאורך היתר: ‏a=c2a = \frac{c}{2}‏‏ (או ‏c=2ac = 2a‏‏).
שטח משולש 30-60-90
A=a232A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}
כאשר a הוא הניצב הקצר.
יחס שטח ריבוע חסום למעגל
AsquareAcircle=2π\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2}{\pi}
יחס שטח מעגל חסום לריבוע
AcircleAsquare=π4\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi}{4}

נפח ושטח פנים

תיבה (מנסרה מלבנית)
תיבה (מנסרה מלבנית) היא גוף תלת-ממדי בעל שש פאות מלבניות, כאשר פאות נגדיות שוות ומקבילות זו לזו.
נפח תיבה
V=l×w×hV = l \times w \times h
קובייה
קובייה היא גוף תלת-ממדי המוגבל על ידי שש פאות ריבועיות שוות.
נפח קובייה
V=s3V = s^3
נפח גופים מורכבים
V‎סך הכל‎=V1+V2+…V_{\text{‎סך הכל‎}} = V_1 + V_2 + \dots
כאשר תיבות צמודות זו לזו או מונחות זו על גבי זו, הנפח הכולל הוא סכום הנפחים של התיבות הבודדות.
נפח גריעות וחורים
V‎נותר‎=V‎חיצוני‎−V‎פנימי‎V_{\text{‎נותר‎}} = V_{\text{‎חיצוני‎}} - V_{\text{‎פנימי‎}}
אם נגרעת תיבה קטנה מתוך תיבה גדולה, הנפח הנותר הוא נפח התיבה החיצונית פחות נפח הגריעה הפנימית.
שטח פנים של תיבה
A=2(l×w+l×h+w×h)A = 2(l \times w + l \times h + w \times h)
שטח פנים של קובייה
A=6s2A = 6s^2
שטח פנים של גופים מורכבים
A‎סך הכל‎=A1+A2−2×A‎חפיפה‎A_{\text{‎סך הכל‎}} = A_1 + A_2 - 2 \times A_{\text{‎חפיפה‎}}
כאשר תיבות חולקות פאה, החסירו פעמיים את שטח המגע החופף מסכום שטחי הפנים הבודדים שלהן.
שטח פנים עם גריעה (חיתוך)
A‎נותר‎=A‎חיצוני‎−2(w‎פנימי‎×h‎פנימי‎)+2(l‎חיצוני‎×h‎פנימי‎)\begin{aligned} A_{\text{‎נותר‎}} &= A_{\text{‎חיצוני‎}} - 2(w_{\text{‎פנימי‎}} \times h_{\text{‎פנימי‎}}) \\ &\quad + 2(l_{\text{‎חיצוני‎}} \times h_{\text{‎פנימי‎}}) \end{aligned}
שטח הפנים של תיבה עם גריעה הוא שטח הפנים החיצוני פחות פעמיים שטח המגרעת הקדמית/אחורית פלוס פעמיים שטח קירות הצד הפנימיים החדשים.
גליל
גליל הוא גוף תלת-ממדי בעל שני בסיסים מעגליים חופפים ומקבילים המחוברים על ידי משטח מעוקל.
נפח גליל
V=πr2hV = \pi r^2 h
גזרת גליל (פלח גליל)
מנסרת גזרת גליל (פלח גליל) היא חלק מגליל שלם.
נפח גזרת גליל
V=θ360∘πr2hV = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2 h
מחושב לפי רדיוס ‏rr‏,‏ זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ במעלות, וגובה ‏hh‏.‏
שטח פנים של גליל
A=2πr2+2πrhA = 2\pi r^2 + 2\pi r h
שטח פנים של גזרת גליל
A=2×(θ360∘πr2)+2rh+θ180∘πrhA = 2 \times \left(\frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2\right) + 2 r h + \frac{\theta}{180^\circ} \pi r h
מחושב לפי רדיוס הבסיס ‏rr‏,‏ זווית מרכזית ‏θ\theta‏‏ במעלות, וגובה ‏hh‏.‏
מנסרה
מנסרה היא גוף תלת-ממדי בעל חתך קבוע (בסיס).
נפח מנסרה כללית
V=‎שטח בסיס‎×‎גובה‎V = \text{‎שטח בסיס‎} \times \text{‎גובה‎}
מנסרה היא גוף תלת-ממדי בעל חתך קבוע (בסיס). הנפח של כל מנסרה מחושב על ידי מכפלת שטח הבסיס שלה בגובה שלה.
שטח פנים של מנסרה כללית
A=2×‎שטח בסיס‎+‎היקף‎×‎גובה‎A = 2 \times \text{‎שטח בסיס‎} + \text{‎היקף‎} \times \text{‎גובה‎}
כדור
כדור הוא גוף תלת-ממדי עגול לחלוטין שבו כל נקודה על פני השטח נמצאת במרחק שווה מהמרכז.
נפח כדור
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3
קליפה כדורית
קליפה כדורית היא גוף תלת-ממדי המוגבל על ידי שני כדורים בעלי מרכז משותף ורדיוסים שונים.
נפח קליפה כדורית
V=43π(R3−r3)V = \frac{4}{3} \pi \left(R^3 - r^3\right)
מחושב לפי רדיוס חיצוני ‏RR‏‏ ורדיוס פנימי ‏rr‏.‏
שטח פנים של כדור
A=4πr2A = 4 \pi r^2
שטח פנים של קליפה כדורית
A=4π(R2+r2)A = 4 \pi \left(R^2 + r^2\right)
מחושב כסכום שטחי הפנים החיצוני והפנימי לפי רדיוס חיצוני ‏RR‏‏ ורדיוס פנימי ‏rr‏.‏
פירמידה
פירמידה היא גוף תלת-ממדי בעל בסיס מצולע ופאות צדדיות משולשות שנפגשות בנקודה אחת הנקראת קודקוד הפירמידה.
פירמידה ישרה
פירמידה שבה קודקוד הפירמידה נמצא על האנך המורם ממרכז הכובד של הבסיס (בדיוק מעל מרכז הבסיס).
פירמידה נטויה
פירמידה שבה קודקוד הפירמידה מוסט ואינו נמצא מעל מרכז הבסיס. הגובה האנכי יורד אל מישור הבסיס מחוץ למרכזו.
נפח פירמידה (ריבועית)
V=13s2hV = \frac{1}{3} s^2 h
פירמידה היא גוף תלת-ממדי בעל בסיס מצולע ופאות צדדיות משולשות שנפגשות בנקודה אחת הנקראת קודקוד הפירמידה.
חרוט
חרוט הוא גוף תלת-ממדי בעל בסיס מעגלי המתחדד בצורה חלקה לנקודה אחת הנקראת קודקוד.
נפח חרוט
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h
נפח פירמידה או חרוט (כללי)
V=13BhV = \frac{1}{3} B h
לפירמידה וחרוט יש אותה נוסחת נפח כללית: שליש משטח הבסיס כפול הגובה.
שטח פנים של פירמידה ריבועית
A=s2+2slA = s^2 + 2 s l
כאשר ‏ss‏‏ הוא אורך צלע הבסיס ו-‏ll‏‏ הוא הגובה השיפועי.
גובה פאה (גובה שיפועי) של פירמידה
l=h2+(s2)2l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2}
כאשר ‏hh‏‏ הוא הגובה האנכי ו-‏ss‏‏ הוא אורך צלע הבסיס.
שטח פנים של חרוט
A=πr2+πrlA = \pi r^2 + \pi r l
כאשר ‏rr‏‏ הוא רדיוס הבסיס ו-‏ll‏‏ הוא הגובה השיפועי (הקו היוצר).
קו יוצר (גובה שיפועי) של חרוט
l=h2+r2l = \sqrt{h^2 + r^2}
כאשר ‏rr‏‏ הוא רדיוס הבסיס ו-‏hh‏‏ הוא הגובה האנכי.
כלל המרת יחידות נפח
‎אם‎ 1 ‎יחידה‎=k ‎יחידות משנה‎  ⟹  1 ‎יחידה‎3=k3 ‎יחידות משנה‎3\text{‎אם‎}\ 1\ \text{‎יחידה‎} = k\ \text{‎יחידות משנה‎} \implies 1\ \text{‎יחידה‎}^3 = k^3\ \text{‎יחידות משנה‎}^3
המרות יחידות נפח מטריות
1 m3=1,000 dm31 dm3=1,000 cm31 cm3=1,000 mm31\text{ m}^3 = 1{,}000\text{ dm}^3 \\ 1\text{ dm}^3 = 1{,}000\text{ cm}^3 \\ 1\text{ cm}^3 = 1{,}000\text{ mm}^3
המרות יחידות נפח אמריקאיות
1 yd3=27 ft31 ft3=1,728‎במשולש‎31\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3 \\ 1\text{ ft}^3 = 1{,}728\text{‎במשולש‎}^3
כללי שינוי קנה מידה של ממדים
ממד ליניארי (1D) מוכפל ב-‏kk‏‏
שטח (2D) מוכפל ב-‏k2k^2‏‏
נפח (3D) מוכפל ב-‏k3k^3‏‏