שטח: ממדים ויחידות

הבינו ממדים ויחידות של שטח. המירו בין יחידות מטריות (מ"מ², ס"מ², מ'²) ויחידות אמריקאיות (in², ft², yd²), ותרגלו שאלות יחס עם צורות מורכבות.

ממדים ויחידות

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. מהו ממד?

ממד מגדיר כמה כיוונים עצמאיים נדרשים למדידת צורה.
• קו הוא חד-ממדי (1D) — מדידה אחת בלבד: האורך.
• משטח שטוח (כמו מלבן או מעגל) הוא דו-ממדי (2D) — נדרשות שתי מדידות: רוחב וגובה. לכן מודדים שטח ביחידות מרובעות.
• גוף מוצק (כמו קובייה) הוא תלת-ממדי (3D).

2. יחידות אמריקאיות של אורך

השיטה האמריקאית משמשת בעיקר בארצות הברית. שלא כמו השיטה המטרית, היא אינה מבוססת על חזקות של 10:

יחידות (מקטן לגדול):
• אינץ': בערך רוחב אגודל — 12 אינץ' = רגל אחת
• רגל (ft): בערך גובה אריח תקרה — 1 רגל = 12 אינץ'
• יארד (yd): בערך צעד גדול אחד — 1 יארד = 3 רגל = 36 אינץ'
• מייל (mi): בערך 20 דקות הליכה — 1 מייל = 1,760 יארד = 5,280 רגל

המרות יחידות אורך אמריקאיות

1\text{ mi} = 1{,}760\text{ yd} \\ 1\text{ yd} = 3\text{ ft} \\ 1\text{ ft} = 12\text{ in}

3. יחידות מטריות של אורך

השיטה המטרית משמשת ברוב מדינות העולם. היא מבוססת על חזקות של 10:

יחידות (מקטן לגדול):
• מ"מ (מילימטר): בערך רוחב גרפיט של עיפרון
• ס"מ (סנטימטר): בערך רוחב ציפורן — 1 ס"מ = 10 מ"מ
• ד"מ (דצימטר): 1 ד"מ = 10 ס"מ = 100 מ"מ
• מ' (מטר): בערך גובה דלת — 1 מ' = 100 ס"מ = 1,000 מ"מ
• ק"מ (קילומטר): בערך 10 דקות הליכה — 1 ק"מ = 1,000 מ'

המרות יחידות אורך מטריות

1\text{ m} = 10\text{ dm} \\ 1\text{ dm} = 10\text{ cm} \\ 1\text{ cm} = 10\text{ mm}

4. המרה בין יחידות אורך

כדי להמיר יחידת אורך, מכפילים כשעוברים מיחידה גדולה לקטנה, ומחלקים כשעוברים מיחידה קטנה לגדולה:

אמריקאי:
• רגל → אינץ': מכפילים ב-12 (למשל, 2 רגל = 24 אינץ')
• אינץ' → רגל: מחלקים ב-12
• יארד → רגל: מכפילים ב-3
• רגל → יארד: מחלקים ב-3

מטרי:
• ס"מ → מ"מ: מכפילים ב-10 (למשל, 5 ס"מ = 50 מ"מ)
• מ"מ → ס"מ: מחלקים ב-10 (למשל, 30 מ"מ = 3 ס"מ)
• מ' → ס"מ: מכפילים ב-100
• ס"מ → מ': מחלקים ב-100

תחיליות מטריות

\begin{aligned} \text{טרה}\text{ (T)} &= 10^{12} \\ \text{גיגה}\text{ (G)} &= 10^9 \\ \text{מגה}\text{ (M)} &= 10^6 \\ \text{קילו}\text{ (k)} &= 10^3 \\ \text{סנטי}\text{ (c)} &= 10^{-2} \\ \text{מילי}\text{ (m)} &= 10^{-3} \\ \text{מיקרו}\text{ (}\mu\text{)} &= 10^{-6} \\ \text{נאנו}\text{ (n)} &= 10^{-9} \\ \text{פיקו}\text{ (p)} &= 10^{-12} \end{aligned}

גורמי קנה מידה ביחס ליחידת הבסיס

5. המרה בין יחידות אמריקאיות ומטריות

לעתים עלינו להמיר מידות בין השיטה האמריקאית לשיטה המטרית. להלן גורמי המרת האורך הנפוצים ביותר:

• אינץ' לס"מ: מכפילים ב-2.54 (למשל, 2 אינץ' = 5.08 ס"מ)
• רגל לס"מ: מכפילים ב-30.48
• מייל לק"מ: מכפילים ב-1.609 (למשל, 10 מייל ≈ 16.09 ק"מ)

כדי לעבור בכיוון ההפוך (ממטרי לאמריקאי), פשוט מחלקים בגורמי המרה אלה במקום להכפיל.

המרות בין יחידות אורך אמריקאיות למטריות

\begin{aligned} 1\text{ in} &= 2.54\text{ cm} \\ 1\text{ ft} &= 30.48\text{ cm} \\ 1\text{ mi} &\approx 1.609\text{ km} \end{aligned}

המרה בין יחידות אורך אמריקאיות למטריות

6. יחידות שטח

מכיוון שהשטח הוא אורך × אורך, יחידת השטח היא ריבוע של יחידת האורך:

יחידות שטח מטריות: מ"מ², ס"מ², ד"מ², מ'², ק"מ²
יחידות שטח אמריקאיות: in², ft², yd², mi²

לדוגמה, 1 ס"מ² פירושו ריבוע אחד ברוחב 1 ס"מ וגובה 1 ס"מ. מלבן ברוחב 3 ס"מ וגובה 5 ס"מ יש לו שטח של 15 ס"מ².

7. המרת יחידות שטח — התובנה המרכזית

⚠️ המרת שטחים שונה מהמרת אורכים!

מכיוון ששטח = אורך × אורך, כאשר ממירים את יחידת האורך, יש להחיל את גורם ההמרה פעמיים.

דוגמה: 1 ס"מ² למ"מ²
1 ס"מ = 10 מ"מ, לכן:
1 ס"מ² = 1 ס"מ × 1 ס"מ = 10 מ"מ × 10 מ"מ = 100 מ"מ²

1 ס"מ² = 100 מ"מ² (ולא 10!)

חשבו על זה כך: ריבוע של 1 ס"מ × 1 ס"מ ניתן לחלוקה לרשת של 10 × 10 ריבועים של 1 מ"מ × 1 מ"מ — סך הכל 100 ריבועים קטנים.

כלל המרת יחידות שטח

\text{אם}\ 1\ \text{יחידה} = k\ \text{יחידות משנה} \\ \text{אז}\ 1\ \text{יחידה}^2 = k^2\ \text{יחידות משנה}^2

המרות יחידות שטח מטריות

1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 \\ 1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 \\ 1\text{ cm}^2 = 100\text{ mm}^2

המרות יחידות שטח אמריקאיות

1\text{ mi}^2 = 3{,}097{,}600\text{ yd}^2 \\ 1\text{ yd}^2 = 9\text{ ft}^2 \\ 1\text{ ft}^2 = 144\text{ in}^2

8. יחס שטחים — אותם ממדים ויחידות

יחס משווה שתי כמויות מאותו סוג ואותה יחידה. כאשר לשני השטחים יש אותה יחידה, היחס הוא מספר טהור — היחידות מתבטלות.

דוגמה: לחלק A שטח של 12 ס"מ². לחלק B שטח של 8 ס"מ².
יחס A ל-B = 12/8 = 3/2, נכתב כ: 3:2 (מצומצם).

חשוב: אם שני השטחים ביחידות שונות, יש להמיר לאותה יחידה תחילה, ואז לקחת את היחס.

הזינו את תשובת היחס בפורמט a:b (למשל 3:2), מצומצם לחלוטין.

שליטה ב-SealMath: יחס ויחידות

לשאלות יחס: הזינו את התשובה בפורמט a:b — למשל 3:2. ודאו שהיחס מצומצם לחלוטין.

לשאלות חישוב שטח: הזינו את התשובה המספרית עם A = ערך כרגיל. היחידה מוצגת בשאלה.

שאלות נפוצות

מדוע 1 ס"מ² שווה 100 מ"מ² ולא 10 מ"מ²?

מכיוון שהשטח הוא דו-ממדי (אורך × אורך), גורם ההמרה חייב להיות מוחל פעמיים. מאחר ש-1 ס"מ = 10 מ"מ, מקבלים 1 ס"מ² = 10 מ"מ × 10 מ"מ = 100 מ"מ². בכלל: אם יחידה אחת = k יחידות משנה, אז יחידה² אחת = k² יחידות משנה².

כיצד מוגדר שטח של צורה?

השטח של צורה מוגדר על ידי מספר ריבועי היחידה בגודל 1 על 1 שנכנסים בתוכה. לדוגמה, אם מלבן ניתן לחלוקה מדויקת ל-30 ריבועים של 1 על 1, השטח שלו הוא 30.