📌 מספרים שלמים ורציונליים

1. ציר המספרים

• ראשית הצירים (‏$0$‏‏): נקודת ההתייחסות המרכזית על הציר.
• מספרים חיוביים (‏$> 0$‏‏): נמצאים מימין לאפס (‏$1, 2, 3, \dots$‏‏). ככל שנעים ימינה, המספרים גדלים.
• מספרים שליליים (‏$< 0$‏‏): נמצאים משמאל לאפס (‏$-1, -2, -3, \dots$‏‏). ככל שנעים שמאלה, המספרים קטנים.

• כלל המספר הנגדי: לכל מספר ‏$p$‏,‏ המספר הנגדי לו הוא ‏$-p$‏,‏ וסכומם תמיד שווה לאפס:
  
  $$p + (-p) = 0$$
• דוגמה מהחיים: רווח של $50 יחד עם הפסד של $50 מביאים לשינוי נטו של $0.
  
• ייצוג על ציר המספרים: הביטוי ‏$p + q$‏‏ מייצג התחלה בנקודה ‏$p$‏‏ ותזוזה של ‏$|q|$‏‏ יחידות:
  - ימינה אם ‏$q > 0$‏‏ (כיוון חיובי).
  - שמאלה אם ‏$q < 0$‏‏ (כיוון שלילי).

• סימון: ערך מוחלט נכתב באמצעות קווים אנכיים סביב המספר: ‏$|x|$‏.‏
• תכונת המספרים הנגדיים: למספרים נגדיים יש בדיוק אותו מרחק מאפס, ולכן הערכים המוחלטים שלהם שווים:
  
  $$|-a| = |a|$$
  
  דוגמאות: ‏$|-5| = 5$‏‏ וכן ‏$|+5| = 5$‏.‏
  
• חישוב ביטויים עם ערך מוחלט:
  התייחסו לקווי הערך המוחלט ‏$| \dots |$‏‏ כמו לסוגריים. תחילה מחשבים את הביטוי בתוך הקווים, ואז לוקחים את הערך המוחלט הלא-שלילי:
  דוגמה: חשבו את ‏$|-18 + 7| - |-5|$‏‏:
  1. מחשבים בתוך הקווים תחילה: ‏$-18 + 7 = -11$‏.‏
  2. לוקחים ערך מוחלט: ‏$|-11| = 11$‏‏ וכן ‏$|-5| = 5$‏.‏
  3. מחסירים: ‏$11 - 5 = 6$‏.‏

• כלל החיסור:
  
  $$p - q = p + (-q)$$
• מרחק על ציר המספרים:
  המרחק בין שני מספרים ‏$p$‏‏ ו-‏$q$‏‏ הוא הערך המוחלט של ההפרש ביניהם:
  
  $$\text{מרחק} = |p - q|$$
  
  דוגמה: המרחק בין ‏$-5$‏‏ ל-‏$3$‏‏ הוא ‏$|-5 - 3| = |-8| = 8$‏‏ יחידות.

• חוק החילוף בחיבור: ‏$a + b = b + a$‏.‏ שינוי סדר האיברים אינו משנה את הסכום.
• חוק הקיבוץ בחיבור: ‏$(a + b) + c = a + (b + c)$‏.‏ שינוי קיבוץ האיברים אינו משנה את הסכום.

1. כללי הסימנים לכפל וחילוק

• כללי הסימנים לכפל:
  ◦ ‏$\text{חיובי} \times \text{חיובי} = \text{חיובי}$‏‏ (‏$(+) \times (+) = +$‏‏)
  ◦ ‏$\text{חיובי} \times \text{שלילי} = \text{שלילי}$‏‏ (‏$(+) \times (-) = -$‏‏)
  ◦ ‏$\text{שלילי} \times \text{שלילי} = \text{חיובי}$‏‏ (‏$(-) \times (-) = +$‏‏)
  
• פיתוח באמצעות חוק הפילוג:
  מדוע ‏$(-1)(-1) = 1$‏?‏ מכיוון ש-‏$1 + (-1) = 0$‏,‏ הכפלה ב-‏$(-1)$‏‏ נותנת:
  ‏$(-1)(1 + (-1)) = (-1)(1) + (-1)(-1)$‏‏
  ‏$0 = -1 + (-1)(-1)$‏‏
  ‏$\implies (-1)(-1) = 1$‏‏
  
• כללי הסימנים לחילוק:◦ ‏$\dfrac{\text{חיובי}}{\text{חיובי}} = \text{חיובי}$‏‏ (‏$(+) \div (+) = +$‏‏)◦ ‏$\dfrac{\text{שלילי}}{\text{שלילי}} = \text{חיובי}$‏‏ (‏$(-) \div (-) = +$‏‏)◦ ‏$\dfrac{\text{חיובי}}{\text{שלילי}} = \text{שלילי}$‏‏ (‏$(+) \div (-) = -$‏‏)◦ ‏$\dfrac{\text{שלילי}}{\text{חיובי}} = \text{שלילי}$‏‏ (‏$(-) \div (+) = -$‏‏)

• חילוק באפס: חילוק באפס אינו מוגדר (‏$\frac{p}{0}$‏‏ אינו מוגדר).
  
• מספרים רציונליים: כל מנה של מספרים שלמים ‏$\frac{p}{q}$‏‏ (כאשר ‏$q \neq 0$‏‏) היא מספר רציונלי.
  
• צורות שקולות של שברים שליליים: ניתן למקם את סימן המינוס במונה, במכנה, או לפני השבר כולו:
  
  $$-\frac{p}{q} = \frac{-p}{q} = \frac{p}{-q}$$
  
  דוגמה: ‏$\frac{-12}{4} = \frac{12}{-4} = -\frac{12}{4} = -3$‏.‏

3. המרת מספרים רציונליים למספרים עשרוניים

• מספר עשרוני סופי: תהליך החילוק הארוך מסתיים בשארית ‏$0$‏.‏
  דוגמה: ‏$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$‏.‏
  
• מספר עשרוני מחזורי ואיך מוצאים אותו:
  בעת חילוק ‏$p \div q$‏,‏ עוקבים אחר השארית בכל שלב. ברגע ששארית חוזרת על עצמה, ספרות המנה העוקבות יחזרו על עצמן באותו סדר בדיוק לנצח!
  
  דוגמה שלב-אחר-שלב: מציאת ‏$\frac{5}{11}$‏‏ כמספר עשרוני מחזורי:
  1. מחלקים ‏$5.0$‏‏ ב-‏$11$‏‏: ‏$50 \div 11 = \mathbf{4}$‏‏ עם שארית ‏$6$‏‏ (‏$50 - 44 = 6$‏‏).
  2. מורידים ‏$0 \rightarrow 60$‏‏: ‏$60 \div 11 = \mathbf{5}$‏‏ עם שארית ‏$\mathbf{5}$‏‏ (‏$60 - 55 = 5$‏‏).
  3. זיהוי שארית מחזורית: השארית ‏$5$‏‏ זהה למספר ‏$5$‏‏ שהתחלנו איתו! המשך החילוק הארוך ייתן שאריות של ‏$6, 5, 6, 5\dots$‏‏ לנצח.
  4. כתיבה בסימון קו עליון (Overline): רצף הספרות ‏$45$‏‏ חוזר על עצמו ללא סוף:
  
  $$\frac{5}{11} = 0.4545\dots = 0.\overline{45}$$
  
  
  💡 קיצור דרך (גורמים ראשוניים של המכנה):
  לכל שבר מצומצם ‏$\frac{p}{q}$‏‏:
• אם הגורמים הראשוניים של המכנה ‏$q$‏‏ מכילים רק ‏$2$‏‏ ו/או ‏$5$‏‏ (למשל ‏$8 = 2^3$‏,‏ ‏$20 = 2^2 \times 5$‏‏), השבר יהיה תמיד מספר עשרוני סופי.
• אם למכנה ‏$q$‏‏ יש גורמים ראשוניים אחרים (כמו ‏$3, 7, 11$‏‏), השבר יהיה תמיד מספר עשרוני מחזורי (למשל ‏$\frac{5}{11} = 0.\overline{45}$‏‏).

• סימון קו עליון (Overline): הקלידו ‏\overline‏ מעל הספרות המחזוריות (למשל ‏0.\overline{45}‏ או ‏0.1\overline{6}‏).
• כתיבה עשרונית מפורשת: הקלידו ספרות מחזוריות (למשל ‏0.4545‏ או ‏0.4545...‏).
• צורת שבר: הזינו את השבר המדויק (למשל ‏5/11‏ או ‏\frac{5}{11}‏).

4. פתרון בעיות מילוליות רב-שלביות מהחיים