מרכז למידה ומדריך יחסים ופרופורציות

1. בדיקת טבלאות ליחס ישר

חשבו את היחס (y/x) עבור כל זוג ערכים. אם כל היחסים שווים לערך קבוע k, הקשר הוא יחס ישר.

2. בדיקת גרפים ליחס ישר

גרף מייצג יחס ישר אם ורק אם הוא מקיים שני תנאים:
1. הוא קו ישר.
2. הוא עובר דרך ראשית הצירים (0,0).

💡 איך קובעים איזה גודל הוא x ואיזה הוא y?

• כלל מיקום בטבלה: בטבלאות, העמודה הראשונה (או השורה העליונה) היא תמיד הקלט הבלתי תלוי ($x$), והעמודה השנייה (או השורה התחתונה) היא התוצאה התלויה ($y$).
• כלל תלות בעולם האמיתי: שואלים "איזה גודל תלוי בשני?" התוצאה ($y$) תלויה בקלט ($x$). למשל, המחיר הכולל ($c$) תלוי בכמות ($n$), ולכן $c = y$ ו-$n = x$.

1. דוגמת טבלה

✓ טבלה: k = y/x

יחסים: $12/1 = 24/2 = 36/3 = 12$. הקבוע הוא $k = 12$ ($y = 12x$).

2. דוגמת גרף

ישר העובר ב-(0,0) וב-(1, 4)

הנקודה (1, 4) נותנת $k = 4/1 = 4$ ($y = 4x$).

3. דוגמת משוואה

במשוואה $y = 5x$, קבוע הפרופורציה הוא $k = 5$.

4. דיאגרמת ציר מספרים כפול

השנתות התואמות $x = 1$ ו-$y = 6$ מראות $k = 6/1 = 6$.

5. דוגמת בעיה מילולית

מכונית נוסעת 150 ק״מ ב-3 שעות במהירות קבועה. מהו k בק״מ לשעה?

קצב יחידה: $k = 150 \div 3 = 50$ ק״מ לשעה.

💡 איך קובעים איזה גודל הוא x ואיזה הוא y?

• כלל מיקום בטבלה: בטבלאות, העמודה הראשונה (או השורה העליונה) היא תמיד הקלט הבלתי תלוי ($x$), והעמודה השנייה (או השורה התחתונה) היא התוצאה התלויה ($y$).
• כלל תלות בעולם האמיתי: שואלים "איזה גודל תלוי בשני?" התוצאה ($y$) תלויה בקלט ($x$). למשל, המחיר הכולל ($c$) תלוי בכמות ($n$), ולכן $c = y$ ו-$n = x$.

החלפת y ו-x באותיות ייצוגיות של הגדלים

בבעיות מהחיים, המשתנים הסטנדרטיים $y$ (הגודל המתקבל/תלוי) ו-$x$ (הגודל הנכנס/בלתי תלוי) מוחלפים באותיות מייצגות:

• איך מזהים את x ו-y? המשתנה הנכנס ($x$) הוא הגורם הבסיסי (כמו זמן, כמות, שעות) — בטבלאות הוא העמודה הראשונה (או השורה העליונה). המשתנה התלוי ($y$) הוא התוצאה/הסך הכל (כמו מרחק, מחיר, שכר) — בטבלאות הוא העמודה השנייה (או השורה התחתונה).
• מרחק ($d$) וזמן ($t$): d = kt (למשל $d = 60t$)
• מחיר כולל ($c$) וכמות ($n$): c = kn (למשל $c = 3.50n$)
• שכר כולל ($p$) ושעות עבודה ($h$): p = kh (למשל $p = 15h$)
• נפח ($v$) וזמן ($t$): v = kt (למשל $v = 2.5t$)
• משקל כולל ($w$) וארגזים ($b$): w = kb (למשל $w = 4b$)

1. כתיבת משוואה מתוך טבלה

נתונה טבלה עם זמן $t$ (שעות) ומרחק $d$ (ק"מ):

• קצב קבוע: $k = \frac{45}{1} = 45$.
• משוואה עם אותיות הגדלים: d = 45t.

2. כתיבת משוואה מתוך גרף

נתון ישר בגרף שבו ציר x הוא זמן $t$ (שעות) וציר y הוא מרחק $d$ (ק"מ) העובר דרך (0,0) ו-(1, 60):

• קצב יחידה / שיפוע: $k = 60$.
• משוואה עם אותיות הגדלים: d = 60t.

3. כתיבת משוואה מתוך בעיה מילולית

• משתנה תלוי: $p$, משתנה בלתי תלוי: $h$, קצב יחידה: $k = 25$.
• משוואה עם אותיות הגדלים: p = 25h.

1. מה משמעותה של נקודה כללית (x, y)?

הנקודה $(x, y)$ מצביעה על כך ש-x יחידות של הגודל האופקי מתאימות ל-y יחידות של הגודל האנכי.

2. נקודה מיוחדת: (0, 0) (ראשית הצירים)

הנקודה $(0, 0)$ מראה שכאשר הקלט $x = 0$, הפלט $y = 0$. למשל, 0 שעות עבודה מניבות ₪0.

3. נקודה מיוחדת: (1, r) (קצב היחידה)

הנקודה $(1, r)$ חושפת בצורה ישירה את קצב היחידה r. למשל, הנקודה $(1, 90)$ אומרת שנסיעה של שעה אחת עוברת 90 ק״מ (מהירות של 90 ק״מ לשעה).