שטח

הבינו את מושג השטח באמצעות רשת של 1x1, למדו את הנוסחאות ותרגלו חישוב שטחים של צורות.

מדריך למידה: שטח

הבינו את מושג השטח באמצעות רשת של 1x1, למדו את הנוסחאות ותרגלו חישוב שטחים של צורות.

נושאי תרגול בחישוב שטחים

1. משפט פיתגורס

למדו ותרגלו את משפט פיתגורס: מצאו יתרים, צלעות חסרות ואלכסונים של ריבועים ומלבנים עם תרגילים שלב-אחר-שלב.

2. משולשים מיוחדים

למדו על משולש שווה שוקיים, משולש שווה צלעות ומשולש 30-60-90. תרגלו חישוב שטח, גובה או צלעות בעזרת משפט פיתגורס וכלל חפיפה HL / RHS.

3. מעגלים וריבועים חסומים

למדו על ריבוע החסום במעגל ומעגל החסום בריבוע. הבינו מדוע יחס השטחים ביניהם הוא קבוע ותרגלו שאלות חישוב הפרש שטחים.

מדריך למידה

1. משפט פיתגורס

1. משפט פיתגורס ושטחי הריבועים

נתון משולש ישר-זווית עם ניצבים aa (בסיס) ו-bb (גובה) ויתר cc.

בנו ריבוע על כל צלע: לריבוע על הניצב aa שטח a2a^2, לריבוע על הניצב bb שטח b2b^2, ולריבוע על היתר שטח c2c^2.

משפט פיתגורס קובע ששטח הריבוע שעל היתר שווה בדיוק לסכום שטחי שני הריבועים שעל הניצבים. מכיוון שהשטח קשור לצלע², נוכל למצוא את אורך כל צלע אם ידועות שתי הצלעות האחרות.
b²a²c²bac
שטח כל ריבוע שווה לריבוע הצלע המתאימה: a2a^2 (כחול), b2b^2 (אדום), c2c^2 (סגול).

2. הנוסחה

משפט פיתגורס קובע:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

כאשר aa ו-bb הם שני הניצבים ו-cc הוא היתר (הצלע שמול הזווית הישרה — תמיד הצלע הארוכה ביותר).

ניתן לסדר מחדש כדי לפתור עבור כל צלע:
• מציאת היתר: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
• מציאת ניצב חסר: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} או b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. הוכחת המשפט

התחילו עם משולש ישר-זווית בעל ניצבים aa ו-bb ויתר cc. סדרו 4 העתקים חופפים של המשולש הזה סביב ריבוע פנימי נטוי. התוצאה היא ריבוע חיצוני גדול עם צלע (a+b)(a+b).

ניתן לחשב את השטח הכולל בשתי דרכים:

• ישירות: Abig=(a+b)2=a2+2ab+b2A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• על ידי חלקים: Abig=4×ab2+c2=2ab+c2A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2
abbabaabc²(a+b)²
לריבוע הגדול צלע (a+b)(a+b). ארבעת המשולשים הירוקים חופפים למשולש המקורי. לריבוע הסגול הפנימי צלע cc.
השוואת שני הביטויים:
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

חיסור 2ab2ab משני הצדדים:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

זה מוכיח את משפט פיתגורס! ✓

4. מקרה מיוחד: משולש ישר-שווה-שוקיים (a=ba = b)

aac = a√245°45°
שני הניצבים שווים: a = b
כאשר שני הניצבים שווים (a=ba = b), נציב במשפט:
c2=a2+a2=2a2⇒c=a2c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}


• אם a=b=3a = b = 3: c=32≈4.24c = 3\sqrt{2} \approx 4.24
• אם a=b=5a = b = 5: c=52≈7.07c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

האלכסון של ריבוע עם צלע ss: d=s2d = s\sqrt{2}.

שליטה ב-SealMath: הזנת שורשים ריבועיים

תשובות רבות כוללות שורשים ריבועיים כמו 50\sqrt{50} או 525\sqrt{2}.
• קיצור מקלדת: הקלידו sqrt — MathLive יצור מיד □\sqrt{\square}.
• מקלדת וירטואלית: לחצו על ⌨️, לשונית 123, כפתור √□.

2. משולשים מיוחדים

1. משפט חפיפת יתר-ניצב במשולשים ישרי זווית

שני משולשים ישרי זווית הם חופפים (זהים לחלוטין בגודלם ובצורתם) אם הם מקיימים את משפט חפיפת יתר-ניצב:

• חפיפת יתר-ניצב:
- היתר בשני המשולשים שווה באורכו.
- אחד הניצבים שווה באורכו.

משפט זה מאפשר לנו להוכיח תכונות של משולשים אחרים על ידי חלוקתם לשני חצאים ישרי זווית.

2. משולש שווה שוקיים (חציית הבסיס על ידי הגובה)

bba2a2h
משולש שווה שוקיים הוא משולש שבו שתי השוקיים שוות באורכן (bb). בסרטוטים גיאומטריים, צלעות שוות מסומנות לעיתים קרובות באמצעות סימוני שוויון תואמים (קווים אלכסוניים קטנים). לדוגמה, אם מופיע קו סימון יחיד על שתי צלעות, המשמעות היא שאורכן זהה.

אם נוריד גובה (hh) מקודקוד הראש אל הבסיס aa, הוא יחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית:
• שני החצאים משתפים את הגובה hh כצלע (ניצב) משותפת.
• לשני החצאים יש יתרים שווים (השוקיים השוות באורך bb).

לפי משפט חפיפת יתר-ניצב, שני חצאים אלה חופפים! המשמעות היא שהגובה חוצה את הבסיס aa לשני חצאים שווים באורך a2\frac{a}{2}.
נוסחת גובה משולש שווה שוקיים
הפעלת משפט פיתגורס על אחד מחצאי המשולש:
(a2)2+h2=b2\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = b^2

מכאן נוכל לחשב את הגובה hh אם ידועים הבסיס aa והשוק bb, או לחשב את הבסיס aa: a=2b2−h2a = 2\sqrt{b^2 - h^2}.

3. משולש שווה צלעות (מקרה פרטי של שווה שוקיים)

aaah60°
משולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של משולש שווה שוקיים שבו כל שלוש הצלעות שוות לאורך aa.

מכיוון שהוא שווה שוקיים, נוכל להוריד גובה hh מקודקוד הראש שיחצה את הבסיס לשני חצאים שווים באורך a2\frac{a}{2}. היתר הוא אורך הצלע aa.
נוסחת גובה משולש שווה צלעות
הפעלת משפט פיתגורס על אחד החצאים:
(a2)2+h2=a2  ⟹  a24+h2=a2\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \implies \frac{a^2}{4} + h^2 = a^2

h2=a2−a24=3a24h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
נוסחת שטח משולש שווה צלעות
כעת נוכל לחשב את שטח משולש שווה הצלעות באמצעות הבסיס aa והגובה שפיתחנו hh:
שטח=בסיס×גובה2=a×(a32)2\text{שטח} = \frac{\text{בסיס} \times \text{גובה}}{2} = \frac{a \times \left(a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}

4. משולש ישר זווית 30-60-90

b = a√3ac = 2a60°30°
אם נחצה משולש שווה צלעות (בעל צלע cc) באמצעות הגובה שלו, נקבל משולש ישר זווית עם זוויות של 30∘30^\circ, 60∘60^\circ ו-90∘90^\circ.

במשולש זה, היתר הוא אורך הצלע המקורית cc, והניצב הקצר aa שווה בדיוק לחצי מ-cc (כפי שהוכחנו קודם לכן בחציית המשולש על ידי הגובה).
נוסחת שטח משולש 30-60-90
לפי פיתגורס, הניצב הארוך יותר (מול 60∘60^\circ) הוא b=a3b = a\sqrt{3}. שטח המשולש הוא:
שטח=a×(a3)2\text{שטח} = \frac{a \times (a\sqrt{3})}{2}

הערה על שורש רביעי

כאשר פותרים בעיות מסוימות (כגון מציאת גובה של משולש שווה שוקיים משטח ויחס צלע לגובה), עלולה להתקבל משוואה מהצורה h4=xh^4 = x. כדי למצוא את hh, יש לחשב את השורש הרביעי של שני האגפים: h=x4h = \sqrt[4]{x}. למשל, אם h4=625h^4 = 625, אז h=6254=5h = \sqrt[4]{625} = 5.

שליטה ב-SealMath: הזנת שורשים מסדר גבוה

כדי להזין שורש שלישי, שורש רביעי או כל שורש מסדר גבוה אחר, יש לכם מספר אפשרויות:
  • קיצור דרך במקלדת: הקלידו root או nthroot בתיבת הקלט. המערכת תייצר מיד תבנית של שורש □□\sqrt[\scriptstyle\square]{\square} עם סמן בתוך תיבת סדר השורש (האינדקס) — הקלידו את סדר השורש (למשל 4), ואז לחצו על מקש החץ ימינה כדי לעבור לבסיס השורש והקלידו את המספר.
  • מקלדת וירטואלית: לחצו על סמל המקלדת ⌨️ בתוך תיבת הקלט, פתחו את הלשונית של מתמטיקה או סימנים, ולחצו על הכפתור xy\sqrt[\scriptstyle y]{x}.
  • במחשבון המדעי: השתמשו בפונקציה nrt(index, value). למשל, לחישוב השורש הרביעי של 16 הקלידו nrt(4, 16). לחלופין, תוכלו להשתמש בחזקה שבירה: 16^(1/4). כמו כן, הדבקה של LaTeX כגון \sqrt[4]{16} לתוך המחשבון תעבוד ישירות. קיים גם כפתור ייעודי: לחצו על Shift, ולאחר מכן בחרו את הכפתור השלישי מימין בשורה השנייה במחשבון.

3. מעגלים וריבועים חסומים

1. צורות חסומות ויחסים

צורה חסומה היא צורה גיאומטרית המשורטטת בתוך צורה אחרת, כך שהגבולות שלהן נוגעים זה בזה.
נחקור שני מבנים חסומים בסיסיים:
• ריבוע החסום במעגל (קודקודי הריבוע נמצאים על המעגל).
• מעגל החסום בריבוע (המעגל משיק לארבע צלעות הריבוע).

2. ריבוע החסום במעגל

rad = 2r
ריבוע חסום במעגל: אלכסון d=2rd = 2r, צלע aa. יחס השטחים הוא בדיוק 2/π.
נתון מעגל ברדיוס rr. הריבוע החסום בתוכו נוגע במעגל בקודקודיו.

אלכסון הריבוע שווה לקוטר המעגל: d=2rd = 2r.
לפי משפט פיתגורס עבור אורך צלע הריבוע aa:
a2+a2=d2  ⟹  2a2=(2r)2=4r2  ⟹  a2=2r2a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = (2r)^2 = 4r^2 \implies a^2 = 2r^2

• שטח הריבוע: Asquare=a2=2r2A_{\text{square}} = a^2 = 2r^2
• שטח המעגל: Acircle=πr2A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין הריבוע למעגל הוא קבוע:
AsquareAcircle=2r2πr2=2π≈0.637\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637

שימו לב שהרדיוס בריבוע r2r^2 מצטמצם לחלוטין! היחס תמיד שווה בדיוק ל-2π\frac{2}{\pi} ללא קשר לגודל הצורות.

3. מעגל החסום בריבוע

ra = 2r
מעגל חסום בריבוע: אורך צלע a=2ra = 2r. יחס השטחים הוא בדיוק π/4.
נתון מעגל ברדיוס rr החסום בריבוע באורך צלע aa. המעגל משיק לכל ארבע הצלעות.

קוטר המעגל שווה לאורך צלע הריבוע: d=a=2rd = a = 2r.
• שטח הריבוע: Asquare=a2=(2r)2=4r2A_{\text{square}} = a^2 = (2r)^2 = 4r^2
• שטח המעגל: Acircle=πr2A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין המעגל לריבוע הוא קבוע:
AcircleAsquare=πr24r2=π4≈0.785\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785

שוב, הרדיוס r2r^2 מצטמצם! היחס תמיד שווה בדיוק ל-π4\frac{\pi}{4} ללא קשר לגודל הצורות.
נושאי לימוד