שטח: מעגלים וריבועים חסומים

למדו על ריבוע החסום במעגל ומעגל החסום בריבוע. הבינו מדוע יחס השטחים ביניהם הוא קבוע ותרגלו שאלות חישוב הפרש שטחים.

מעגלים וריבועים חסומים

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. צורות חסומות ויחסים

צורה חסומה היא צורה גיאומטרית המשורטטת בתוך צורה אחרת, כך שהגבולות שלהן נוגעים זה בזה.
נחקור שני מבנים חסומים בסיסיים:
• ריבוע החסום במעגל (קודקודי הריבוע נמצאים על המעגל).
• מעגל החסום בריבוע (המעגל משיק לארבע צלעות הריבוע).

2. ריבוע החסום במעגל

ריבוע חסום במעגל: אלכסון

d = 2r

, צלע

a

. יחס השטחים הוא בדיוק 2/π.

נתון מעגל ברדיוס

r

. הריבוע החסום בתוכו נוגע במעגל בקודקודיו.

אלכסון הריבוע שווה לקוטר המעגל:

d = 2r

.
לפי משפט פיתגורס עבור אורך צלע הריבוע

a

a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = (2r)^2 = 4r^2 \implies a^2 = 2r^2

• שטח הריבוע:

A_{\text{square}} = a^2 = 2r^2

• שטח המעגל:

A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין הריבוע למעגל הוא קבוע:

\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637

שימו לב שהרדיוס בריבוע

r^2

מצטמצם לחלוטין! היחס תמיד שווה בדיוק ל-

\frac{2}{\pi}

ללא קשר לגודל הצורות.

יחס שטח ריבוע חסום למעגל

\frac{A_{\text{square}}}{A_{\text{circle}}} = \frac{2}{\pi}

3. מעגל החסום בריבוע

מעגל חסום בריבוע: אורך צלע

a = 2r

. יחס השטחים הוא בדיוק π/4.

נתון מעגל ברדיוס

r

החסום בריבוע באורך צלע

a

. המעגל משיק לכל ארבע הצלעות.

קוטר המעגל שווה לאורך צלע הריבוע:

d = a = 2r

.
• שטח הריבוע:

A_{\text{square}} = a^2 = (2r)^2 = 4r^2

• שטח המעגל:

A_{\text{circle}} = \pi r^2

יחס השטחים בין המעגל לריבוע הוא קבוע:

\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785

שוב, הרדיוס

r^2

מצטמצם! היחס תמיד שווה בדיוק ל-

\frac{\pi}{4}

ללא קשר לגודל הצורות.

יחס שטח מעגל חסום לריבוע

\frac{A_{\text{circle}}}{A_{\text{square}}} = \frac{\pi}{4}

שאלות נפוצות

מהו יחס השטחים בין צורות חסומות?

עבור ריבוע החסום במעגל, יחס השטח בין הריבוע למעגל הוא תמיד בדיוק 2/π ≈ 0.637. עבור מעגל החסום בריבוע, יחס השטח בין המעגל לריבוע הוא תמיד בדיוק π/4 ≈ 0.785. יחסים אלו קבועים ללא קשר לגודל הפיזי של הצורות.

כיצד מחשבים שטח של מעגל?

שטח של מעגל מחושב כ-π כפול הרדיוס בריבוע (A = πr²). מכיוון ש-π הוא מספר אי-רציונלי, שטח המעגל עבור רדיוס רציונלי יהיה תמיד מספר אי-רציונלי.