שטח: משפט פיתגורס

למדו ותרגלו את משפט פיתגורס: מצאו יתרים, צלעות חסרות ואלכסונים של ריבועים ומלבנים עם תרגילים שלב-אחר-שלב.

משפט פיתגורס

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. משפט פיתגורס ושטחי הריבועים

נתון משולש ישר-זווית עם ניצבים aa (בסיס) ו-bb (גובה) ויתר cc.

בנו ריבוע על כל צלע: לריבוע על הניצב aa שטח a2a^2, לריבוע על הניצב bb שטח b2b^2, ולריבוע על היתר שטח c2c^2.

משפט פיתגורס קובע ששטח הריבוע שעל היתר שווה בדיוק לסכום שטחי שני הריבועים שעל הניצבים. מכיוון שהשטח קשור לצלע², נוכל למצוא את אורך כל צלע אם ידועות שתי הצלעות האחרות.
b²a²c²bac
שטח כל ריבוע שווה לריבוע הצלע המתאימה: a2a^2 (כחול), b2b^2 (אדום), c2c^2 (סגול).

2. הנוסחה

משפט פיתגורס קובע:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

כאשר aa ו-bb הם שני הניצבים ו-cc הוא היתר (הצלע שמול הזווית הישרה — תמיד הצלע הארוכה ביותר).

ניתן לסדר מחדש כדי לפתור עבור כל צלע:
• מציאת היתר: c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}
• מציאת ניצב חסר: a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2} או b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

3. הוכחת המשפט

התחילו עם משולש ישר-זווית בעל ניצבים aa ו-bb ויתר cc. סדרו 4 העתקים חופפים של המשולש הזה סביב ריבוע פנימי נטוי. התוצאה היא ריבוע חיצוני גדול עם צלע (a+b)(a+b).

ניתן לחשב את השטח הכולל בשתי דרכים:

• ישירות: Abig=(a+b)2=a2+2ab+b2A_{\text{big}} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• על ידי חלקים: Abig=4×ab2+c2=2ab+c2A_{\text{big}} = 4 \times \dfrac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2
abbabaabc²(a+b)²
לריבוע הגדול צלע (a+b)(a+b). ארבעת המשולשים הירוקים חופפים למשולש המקורי. לריבוע הסגול הפנימי צלע cc.
השוואת שני הביטויים:
a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2

חיסור 2ab2ab משני הצדדים:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

זה מוכיח את משפט פיתגורס! ✓

4. מקרה מיוחד: משולש ישר-שווה-שוקיים (a=ba = b)

aac = a√245°45°
שני הניצבים שווים: a = b
כאשר שני הניצבים שווים (a=ba = b), נציב במשפט:
c2=a2+a2=2a2⇒c=a2c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}


• אם a=b=3a = b = 3: c=32≈4.24c = 3\sqrt{2} \approx 4.24
• אם a=b=5a = b = 5: c=52≈7.07c = 5\sqrt{2} \approx 7.07

האלכסון של ריבוע עם צלע ss: d=s2d = s\sqrt{2}.

שליטה ב-SealMath: הזנת שורשים ריבועיים

תשובות רבות כוללות שורשים ריבועיים כמו 50\sqrt{50} או 525\sqrt{2}.
• קיצור מקלדת: הקלידו sqrt — MathLive יצור מיד □\sqrt{\square}.
• מקלדת וירטואלית: לחצו על ⌨️, לשונית 123, כפתור √□.

שאלות נפוצות

מהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס קובע כי במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (a² + b² = c²). משתמשים בו כדי למצוא אורך צלע חסרה כאשר שתי הצלעות האחרות ידועות.

כיצד מחשבים שטח של משולש ישר זווית?

שטח של משולש ישר זווית מחושב כמחצית מכפלת הניצבים שלו (A = ab / 2). זאת משום שמשולש ישר זווית מהווה בדיוק חצי ממלבן בעל רוחב וגובה זהים.

תרגול משפט פיתגורס | SealMath | SealMath