שטח: משולשים מיוחדים

למדו על משולש שווה שוקיים, משולש שווה צלעות ומשולש 30-60-90. תרגלו חישוב שטח, גובה או צלעות בעזרת משפט פיתגורס וכלל חפיפה HL / RHS.

משולשים מיוחדים

השתמש באזור העבודה. כתוב משוואות כמו A = 30 כדי לפתור את השטח.

נושאי לימוד

📖 מדריך למידה: שטח

1. משפט חפיפת יתר-ניצב במשולשים ישרי זווית

שני משולשים ישרי זווית הם חופפים (זהים לחלוטין בגודלם ובצורתם) אם הם מקיימים את משפט חפיפת יתר-ניצב:

• חפיפת יתר-ניצב:
- היתר בשני המשולשים שווה באורכו.
- אחד הניצבים שווה באורכו.

משפט זה מאפשר לנו להוכיח תכונות של משולשים אחרים על ידי חלוקתם לשני חצאים ישרי זווית.

2. משולש שווה שוקיים (חציית הבסיס על ידי הגובה)

משולש שווה שוקיים הוא משולש שבו שתי השוקיים שוות באורכן (

b

). בסרטוטים גיאומטריים, צלעות שוות מסומנות לעיתים קרובות באמצעות סימוני שוויון תואמים (קווים אלכסוניים קטנים). לדוגמה, אם מופיע קו סימון יחיד על שתי צלעות, המשמעות היא שאורכן זהה.

אם נוריד גובה (

h

) מקודקוד הראש אל הבסיס

a

, הוא יחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית:
• שני החצאים משתפים את הגובה

h

כצלע (ניצב) משותפת.
• לשני החצאים יש יתרים שווים (השוקיים השוות באורך

b

).

לפי משפט חפיפת יתר-ניצב, שני חצאים אלה חופפים! המשמעות היא שהגובה חוצה את הבסיס

a

לשני חצאים שווים באורך

\frac{a}{2}

נוסחת גובה משולש שווה שוקיים

הפעלת משפט פיתגורס על אחד מחצאי המשולש:

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = b^2

מכאן נוכל לחשב את הגובה

h

אם ידועים הבסיס

a

והשוק

b

, או לחשב את הבסיס

a

a = 2\sqrt{b^2 - h^2}

גובה במשולש שווה שוקיים

h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}

3. משולש שווה צלעות (מקרה פרטי של שווה שוקיים)

משולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של משולש שווה שוקיים שבו כל שלוש הצלעות שוות לאורך

a

.

מכיוון שהוא שווה שוקיים, נוכל להוריד גובה

h

מקודקוד הראש שיחצה את הבסיס לשני חצאים שווים באורך

\frac{a}{2}

. היתר הוא אורך הצלע

a

חוק משולש שווה צלעות

1. אם משולש הוא שווה צלעות, כל הזוויות שלו הן

60^\circ

.
2. ולהפך, אם כל הזוויות במשולש הן

60^\circ

, המשולש הוא שווה צלעות.

נוסחת גובה משולש שווה צלעות

הפעלת משפט פיתגורס על אחד החצאים:

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \implies \frac{a^2}{4} + h^2 = a^2

h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}

גובה במשולש שווה צלעות

h = a \frac{\sqrt{3}}{2}

נוסחת שטח משולש שווה צלעות

כעת נוכל לחשב את שטח משולש שווה הצלעות באמצעות הבסיס

a

והגובה שפיתחנו

h

\text{שטח} = \frac{\text{בסיס} \times \text{גובה}}{2} = \frac{a \times \left(a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}

שטח משולש שווה צלעות

A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}

4. משולש ישר זווית 30-60-90

אם נחצה משולש שווה צלעות (בעל צלע

c

) באמצעות הגובה שלו, נקבל משולש ישר זווית עם זוויות של $30^\circ$ , $60^\circ$ ו- $90^\circ$ .

במשולש זה, היתר הוא אורך הצלע המקורית

c

, והניצב הקצר

a

שווה בדיוק לחצי מ-

c

(כפי שהוכחנו קודם לכן בחציית המשולש על ידי הגובה).

חוק משולש 30-60-90

בכל משולש 30-60-90, הניצב מול זווית

30^\circ

(הניצב הקצר) שווה תמיד לחצי מאורך היתר:

a = \frac{c}{2}

(או

c = 2a

נוסחת שטח משולש 30-60-90

לפי פיתגורס, הניצב הארוך יותר (מול

60^\circ

) הוא

b = a\sqrt{3}

. שטח המשולש הוא:

\text{שטח} = \frac{a \times (a\sqrt{3})}{2}

שטח משולש 30-60-90

A = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}

כאשר a הוא הניצב הקצר.

הערה על שורש רביעי

כאשר פותרים בעיות מסוימות (כגון מציאת גובה של משולש שווה שוקיים משטח ויחס צלע לגובה), עלולה להתקבל משוואה מהצורה $h^4 = x$ . כדי למצוא את $h$ , יש לחשב את השורש הרביעי של שני האגפים: $h = \sqrt[4]{x}$ . למשל, אם $h^4 = 625$ , אז $h = \sqrt[4]{625} = 5$ .

שליטה ב-SealMath: הזנת שורשים מסדר גבוה

כדי להזין שורש שלישי, שורש רביעי או כל שורש מסדר גבוה אחר, יש לכם מספר אפשרויות:

קיצור דרך במקלדת: הקלידו root או nthroot בתיבת הקלט. המערכת תייצר מיד תבנית של שורש $\sqrt[\scriptstyle\square]{\square}$ עם סמן בתוך תיבת סדר השורש (האינדקס) — הקלידו את סדר השורש (למשל 4), ואז לחצו על מקש החץ ימינה כדי לעבור לבסיס השורש והקלידו את המספר.
מקלדת וירטואלית: לחצו על סמל המקלדת ⌨️ בתוך תיבת הקלט, פתחו את הלשונית של מתמטיקה או סימנים, ולחצו על הכפתור $\sqrt[\scriptstyle y]{x}$ .
במחשבון המדעי: השתמשו בפונקציה nrt(index, value). למשל, לחישוב השורש הרביעי של 16 הקלידו nrt(4, 16). לחלופין, תוכלו להשתמש בחזקה שבירה: 16^(1/4). כמו כן, הדבקה של LaTeX כגון \sqrt[4]{16} לתוך המחשבון תעבוד ישירות. קיים גם כפתור ייעודי: לחצו על Shift, ולאחר מכן בחרו את הכפתור השלישי מימין בשורה השנייה במחשבון.

שאלות נפוצות

מהם סוגי המשולשים המיוחדים העיקריים?

שלושת הסוגים העיקריים הם: משולש שווה שוקיים (שתי שוקיים שוות ושתי זוויות בסיס שוות), משולש שווה צלעות (כל הצלעות והזוויות שוות — כל זווית היא 60°), ומשולש 30-60-90 (יחסי צלעות קבועים של 1 : √3 : 2).

מהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס קובע כי במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (a² + b² = c²). משתמשים בו כדי למצוא אורך צלע חסרה כאשר שתי הצלעות האחרות ידועות.