פונקציות

הבינו את היסודות של מערכת צירים, קריאה וכתיבה של קואורדינטות נקודה, זיהוי רביעים וחקירת גרפים של פונקציות.

מדריך למידה: מערכת צירים

מערכת צירים היא רשת דו-ממדית המשמשת לתיאור המיקום המדויק של נקודות על גבי מישור. היא נוצרת על ידי שני צירי מספרים החותכים זה את זה.

נושאי תרגול

1. מערכת צירים

למדו על שני הצירים של הרשת, ראשית הצירים, וכיצד לכתוב ולסמן נקודות.

2. מבוא לפונקציות

הבינו מהי פונקציה, חקרו דוגמאות מחיי היומיום, שלטו בסימון הפונקציה f(x), ולמדו לזהות נקודות ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

3. תחום הגדרה

הבינו מהו תחום הגדרה של פונקציה, למדו על מגבלות קלט מהעולם האמיתי (כמו רדיוס ומדרגות מס), וראו כיצד תחומי הגדרה מיוצגים בגרפים.

4. טווח

הבינו מהו טווח של פונקציה, למדו על טווחים מיוחדים (כמו פונקציות שורש, ריבועיות ומחזוריות), ותרגלו קריאת טווחים מתוך גרפים.

5. רציפות של פונקציה

הבינו את מושג הרציפות, חקרו פונקציות רציפות ופונקציות שאינן רציפות, ותרגלו מציאת נקודות אי-רציפות.

6. פונקציה עולה ופונקציה יורדת

למדו כיצד לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציה מתוך גרף או ביטוי, להגדיר תחומים באמצעות אי-שוויונות ולהבין את ההגדרה הפורמלית של מונוטוניות.

מדריך למידה

1. מערכת צירים

הצירים וראשית הצירים

הרשת מורכבת משני צירים נחתכים:

ציר ה- $x$ : הציר האופקי. הערכים בו גדלים ככל שנעים ימינה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים שמאלה (הכיוון השלילי).
ציר ה- $y$ : הציר האנכי. הערכים בו גדלים ככל שנעים למעלה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים למטה (הכיוון השלילי).
נקודת החיתוך: שני הצירים מאונכים זה לזה (נחתכים בזווית של 90 מעלות). נקודת המפגש של הצירים נקראת ראשית הצירים, ושיעוריה הם $(0, 0)$ .

איור 1: מערכת צירים המציגה את ציר ה-

x

, ציר ה-

y

, ראשית הצירים, ארבעת הרביעים, ונקודה מסומנת בשיעורים (3, 2).

כתיבת נקודות כזוג סדור

כל נקודה במערכת הצירים מיוצגת על ידי זוג סדור הנכתב בפורמט הבא:

(x, y)

המספר הראשון ( $x$ ) הוא שיעור ה- $x$ (קואורדינטת ה- $x$ ). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אופקית מראשית הצירים (ימינה אם חיובי, שמאלה אם שלילי).
המספר השני ( $y$ ) הוא שיעור ה- $y$ (קואורדינטת ה- $y$ ). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אנכית מראשית הצירים (למעלה אם חיובי, למטה אם שלילי).

קואורדינטות של נקודה

(x, y)

x: מיקום אופקי
y: מיקום אנכי

ארבעת הרביעים

שני הצירים מחלקים את מערכת הצירים ל-ארבעה אזורים הנקראים רביעים. הרביעים ממוספרים נגד כיוון השעון, החל מהפינה הימנית העליונה:

רביע ראשון (I): האזור הימני העליון. שיעורי ה- $x$ וה- $y$ חיוביים ( $x > 0, y > 0$ ). דוגמה: $(2, 3)$ .
רביע שני (II): האזור השמאלי העליון. שיעור ה- $x$ שלילי ושיעור ה- $y$ חיובי ( $x < 0, y > 0$ ). דוגמה: $(-4, 1)$ .
רביע שלישי (III): האזור השמאלי התחתון. שיעורי ה- $x$ וה- $y$ שליליים ( $x < 0, y < 0$ ). דוגמה: $(-2, -3)$ .
רביע רביעי (IV): האזור הימני התחתון. שיעור ה- $x$ חיובי ושיעור ה- $y$ שלילי ( $x > 0, y < 0$ ). דוגמה: $(3, -5)$ .

הערה: נקודות הנמצאות ישירות על ציר ה-

x

או על ציר ה-

y

(כמו

(0, 4)

או

(-3, 0)

) או בראשית הצירים

(0, 0)

אינן משתייכות לאף אחד מארבעת הרביעים.

נקודת האמצע של קטע

נקודת האמצע

M

של קטע המחבר בין הנקודות

A(x_1, y_1)

ו-

B(x_2, y_2)

היא הנקודה שנמצאת בדיוק באמצע הדרך ביניהן. הקואורדינטות של נקודת האמצע מופיעות בכרטיס הנוסחה שלמטה:

נקודת האמצע של קטע

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

A: (x₁, y₁), B: (x₂, y₂)

פיתוח מתמטי ודוגמה:
כדי להבין מדוע הנוסחה נכונה, נטיל את הקטע

AB

ואת נקודת האמצע שלו

M

על צירי הקואורדינטות. היטל זה מחלק הן את המרווח האופקי והן את המרווח האנכי לשני חלקים שווים:

1. היטל אופקי (ציר ה- $x$ ):
המרווח האופקי נפרש מ-

x_1

ל-

x_2

. בגרף שלנו, הוא נע מ-

x_1 = -3

ל-

x_2 = 5

(מרחק כולל של

8

יחידות). נקודת האמצע

M

מוטלת ל-

x_M = 1

. מכיוון שהמרחק מ-

x_1

ל-

x_M

חייב להיות שווה למרחק מ-

x_M

ל-

x_2

x_M - x_1 = x_2 - x_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:

1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור

x_M

2x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:

x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. היטל אנכי (ציר ה- $y$ ):
המרווח האנכי נפרש מ-

y_1

ל-

y_2

. בגרף שלנו, הוא נע מ-

y_1 = -2

ל-

y_2 = 4

(מרחק כולל של

6

יחידות). נקודת האמצע

M

מוטלת ל-

y_M = 1

. השוואת המרחקים:

y_M - y_1 = y_2 - y_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:

1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור

y_M

2y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:

y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

שילוב רכיבים אלו נותן את הקואורדינטות המדויקות של נקודת האמצע:

M(1, 1)

הגרף מראה שהיטל הקטע על צירי ה-

x

וה-

y

מחלק את המרווח בין הקואורדינטות לשני חלקים שווים:

x_M - x_1 = x_2 - x_M

ו-

y_M - y_1 = y_2 - y_M

מרחק בין שתי נקודות

המרחק

d

בין שתי נקודות

A(x_1, y_1)

ו-

B(x_2, y_2)

הוא אורך הקטע הישר המחבר ביניהן. נוסחת המרחק מופיעה בכרטיס הנוסחה שלמטה:

מרחק בין שתי נקודות

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

d: מרחק, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)

קשר למשפט פיתגורס:
על ידי היטל של הקטע

AB

על הצירים, אנו בונים משולש ישר זווית

ACB

עם ניצב אופקי

AC

(באורך

|x_2 - x_1|

) וניצב אנכי

CB

(באורך

|y_2 - y_1|

).
לפי משפט פיתגורס (

a^2 + b^2 = c^2

), היתר

d

מקיים:

d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

לדוגמה, עבור הנקודות

A(-3, -2)

ו-

B(5, 4)

בגרף:
- המרחק האופקי הוא

x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8

.
- המרחק האנכי הוא

y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6

.
- הפעלת המשפט נותנת:

d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

הגרף מציג את המשולש ישר הזווית

ACB

שנוצר על ידי היטל הקטע

AB

על הצירים, ומדגים כיצד נוסחת המרחק נגזרת ישירות ממשפט פיתגורס.

2. מבוא לפונקציות

מדריך למידה: מבוא לפונקציות

פונקציה היא כלל מתמטי או קשר המחבר בין ערכי קלט לערכי פלט. עבור כל קלט, הפונקציה משייכת פלט אחד ויחיד.

דוגמאות מהעולם האמיתי

מכונת חטיפים: אתם מקישים קוד (קלט, למשל $A1$ ), והמכונה מוציאה חטיף אחד ויחיד (פלט, למשל צ'יפס). אם קוד אחד היה מוציא חטיפים שונים באקראי, זה לא היה עובד כמו פונקציה!
טמפרטורה לאורך זמן: עבור כל שעה ספציפית ביום (קלט), יש בדיוק טמפרטורה אחת ויחידה (פלט).
מחיר תפוחים: אם תפוחים עולים $3$ שקלים לקילוגרם, המחיר הכולל (פלט) תלוי במשקל (קלט). נוכל לכתוב כלל זה כך: $מחיר = 3 \cdot משקל$ .

סימון פונקציה $f(x)$

אנו כותבים פונקציות באמצעות סימון מיוחד:

f(x) = \text{ביטוי}

$f$ הוא שם הפונקציה.
$x$ הוא משתנה הקלט.
$f(x)$ מייצג את ערך הפלט (תוצאת הכלל המופעל על $x$ ).

לדוגמה, אם $f(x) = 2x + 1$ :
אם נציב קלט $3$ , נחליף את $x$ ב- $3$ : $f(3) = 2(3) + 1 = 7$ . הקלט $3$ נותן את הפלט $7$ .
אם נציב קלט $0$ , נחליף את $x$ ב- $0$ : $f(0) = 2(0) + 1 = 1$ .

משוואות שאינן פונקציות

חשוב להבין שישנן משוואות מתמטיות תקינות לחלוטין שאינן פונקציות. אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר לכך היא

x = 1

(או

x = c

עבור כל קבוע

c

). למרות ש-

x = 1

היא משוואה מתמטית תקינה ובעלת משמעות רבה (המתארת ישר אנכי), היא אינה פונקציה מכיוון שהקלט

x = 1

מתאים לאינסוף ערכי פלט של

y

. אין לבלבל בין העובדה שמשוואה מתמטית היא תקינה לבין השאלה האם היא מגדירה פונקציה.

איור 1ב: הישר האנכי

x = 1

מוגדר על ידי משוואה מתמטית תקינה אך אינו פונקציה, מכיוון שהקלט

x = 1

מתאים למספר ערכי פלט שונים (כגון

y = 2

ו-

y = -2

פונקציות וגרפים

כאשר אנו משרטטים פונקציה במערכת צירים, הקלט (

x

) מתאים למיקום האופקי, והפלט (

f(x)

או

y

) מתאים למיקום האנכי. כל זוג קלט-פלט נותן לנו נקודה על הגרף:

אם $f(3) = 5$ , זה מתאים לנקודה $(3, 5)$ על הגרף.
אם $f(0) = 2$ , זה מתאים לנקודה $(0, 2)$ על הגרף.

הבחנה בין פונקציות וחיתוך עם ציר ה- $y$

לעיתים קרובות אנו יכולים להבחין בין פונקציות שונות על ידי התבוננות בנקודת החיתוך שלהן עם ציר ה-

y

האנכי. נקודה זו נקראת נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ . מוצאים אותה תמיד על ידי הצבת קלט

0

, מה שנותן את הנקודה

(0, f(0))

.

לדוגמה, התבוננו בשני הישרים בגרף למטה:

הישר הכחול המייצג את $f(x) = x + 1$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ , מכיוון ש- $f(0) = 1$ .
הישר האדום המייצג את $g(x) = -x + 3$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 3)$ , מכיוון ש- $g(0) = 3$ .
מכיוון ש- $f(0) \neq g(0)$ , הם חותכים את הציר האנכי בגבהים שונים, מה שעוזר לנו להבחין ביניהם!

איור 1: שתי פונקציות

f(x) = x + 1

(בכחול) ו-

g(x) = -x + 3

(באדום), החותכות את ציר ה-

y

ב-

f(0) = 1

וב-

g(0) = 3

בהתאמה.

3. תחום הגדרה

מדריך למידה: תחום הגדרה של פונקציה

תחום הגדרה של פונקציה הוא קבוצת כל ערכי הקלט האפשריים (בדרך כלל ערכי

x

) שעבורם הפונקציה מוגדרת ומחזירה ערך אמיתי תקין.

מגבלות נפוצות על תחום ההגדרה

מגבלות על תחום ההגדרה יכולות לנבוע ממציאות פיזיקלית, חוקים מוגדרים מראש, או מפעולות מתמטיות שאינן מוגדרות עבור מספרים ממשיים:

שטח עיגול (מגבלות פיזיות): שטח עיגול כפונקציה של הרדיוס שלו הוא $A(r) = \pi r^2$ . מכיוון שרדיוס אינו יכול להיות שלילי, תחום ההגדרה מוגבל ל- $r \ge 0$ .
מדרגות מס (הגדרה לפי קטעים): במערכות מס הכנסה, שיעורי המס מוגדרים לפי מדרגות מס (מרווחי הכנסה). לדוגמה: 10% מס על הכנסה של עד 5,000 ש"ח ( $0 \le x \le 5000$ ), ו-15% מס על הכנסה מעל 5,000 ש"ח ( $x > 5000$ ). כל מדרגה כזו מייצגת חלק אחר של תחום ההגדרה.
פונקציות רציונליות (חלוקה באפס): עבור הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ , חילוק באפס אינו מוגדר. מכיוון שהמכנה אינו יכול להיות $0$ , נדרוש $x - 3 \neq 0$ , כלומר תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל- $x = 3$ .
פונקציות שורש (שורש ריבועי): עבור הפונקציה $g(x) = \sqrt{x - 2}$ , לא ניתן לחשב שורש ריבועי של מספר שלילי במספרים ממשיים. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי, ולכן נדרוש $x - 2 \ge 0$ , כלומר תחום ההגדרה הוא $x \ge 2$ .

תחומי הגדרה בגרפים וגבולות

ניתן לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה על ידי התבוננות בטווח האופקי של הגרף שלה. כאשר הגרף מתחיל או מסתיים בגבול מסוים, אופן הסימון של נקודת הקצה תלוי בשאלה האם נקודת הגבול נכללת בתחום:

עיגול ריק (נקודה ריקה): משמש לציון אי-שוויונות חזקים ( $>$ או $<$ ) שבהם נקודת הגבול עצמה אינה נכללת. לדוגמה, אם תחום ההגדרה הוא $x > 5$ , הנקודה שבה $x = 5$ תצויר כעיגול קטן וריק.
נקודה מלאה: משמשת כאשר נקודת הגבול נכללת ( $\ge$ או $\le$ ).

איור 2: השוואה בין סגנונות של נקודות קצה בגרף. עיגול ריק מוציא את נקודת הקצה, בעוד שנקודה מלאה כוללת אותה.

4. טווח

מדריך למידה: טווח של פונקציה

הטווח של פונקציה הוא קבוצת כל ערכי הפלט האפשריים (בדרך כלל ערכי

y

) שהפונקציה יכולה להחזיר כאשר מציבים את כל ערכי הקלט האפשריים מתחום ההגדרה.

טווח של פונקציות שורש

עבור פונקציית השורש הריבועי הממשית

f(x) = \sqrt{x}

, הפלט מוגדר כערך השורש הריבועי האי-שלילי. מכיוון שלא ניתן לקבל מספר שלילי מפעולת שורש ריבועי ממשית, הטווח מוגבל למספרים אי-שליליים בלבד:

y \ge 0

(או

[0, \infty)

ברישום קטעים).

איור 3א: פונקציית השורש

f(x) = \sqrt{x}

מחזירה פלטים אי-שליליים (

y \ge 0

הטווח של הפונקציה $f(x) = x^2$

פונקציה ריבועית כמו

f(x) = x^2

לוקחת כל קלט וכופלת אותו בעצמו. מכיוון שהמכפלה של כל מספר ממשי בעצמו אינה שלילית לעולם (למשל,

(-3)^2 = 9

ו-

0^2 = 0

), תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים (

\mathbb{R}

), אך הפלטים תמיד אי-שליליים. לכן, הטווח שלה הוא

y \ge 0

(או

[0, \infty)

איור 3ב: הפונקציה הריבועית

f(x) = x^2

מחזירה פלטים אי-שליליים (

y \ge 0

טווח של פונקציות מחזוריות

פונקציות מחזוריות חוזרות על הערכים שלהן במחזורים קבועים. עבור פונקציות אלו, ערכי הפלט נעים בין ערך מינימום קבוע לערך מקסימום קבוע, כך שהטווח שלהן חסום ומיוצג כקטע סגור:

[y_{\text{min}}, y_{\text{max}}]

(או

y_{\text{min}} \le y \le y_{\text{max}}

איור 3ג: הגל המחזורי מתנודד בין גבול מינימום לגבול מקסימום.

שליטה ב-SealMath

בעת מענה על שאלות טווח, תוכלו להזין אי-שוויונים ישירות באמצעות קיצורי מקלדת. העורך ממיר אותם אוטומטית לסימנים מתמטיים:

To Write	Type on Keyboard	Math Display
Greater than or equal to	`>=`	$\ge$
Less than or equal to	`<=`	$\le$
Greater than	`>`	$>$
Less than	`<`	$<$

5. רציפות של פונקציה

מדריך למידה: רציפות של פונקציה

פונקציה

f(x)

נקראת רציפה אם הגרף שלה הוא עקומה אחת מחוברת, ללא שברים, חורים או קפיצות. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על פונקציה רציפה ככזו שניתן לצייר את הגרף שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף.

רציפות של פונקציה

פונקציה

f(x)

רציפה בנקודה

x = a

אם:
1.

f(a)

מוגדרת.
2. הגרף מתקרב לאותו ערך של

y

משני צדי הנקודה

a

.
3. ערך הפונקציה בנקודה

a

שווה לערך זה (אין קפיצות או חורים).

דוגמאות לפונקציות רציפות ולא רציפות

1. פונקציות רציפות

פונקציה היא רציפה אם לגרף שלה אין שברים, חורים או קפיצות. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על הגרף שלה ככזה שניתן לצייר מבלי להרים את העיפרון מהדף.

פולינום (רב-איבר)

פולינומים: פונקציות כמו $f(x) = x^2 - 3$ או $f(x) = 2x + 1$ הן רציפות בכל מקום.

ערך מוחלט

ערך מוחלט: הפונקציה $f(x) = |x - 2|$ רציפה בכל מקום.

2. פונקציות שאינן רציפות

פונקציה אינה רציפה אם לגרף שלה יש שברים, קפיצות, חורים או שהיא שואפת לאינסוף.

2.1 אי-רציפות מסוג קפיצה

הפונקציה קופצת מערך אחד לערך אחר בנקודה מסוימת. הגבול מצד שמאל והגבול מצד ימין קיימים אך אינם שווים.

אי-רציפות מסוג קפיצה

מדרגות מס: דוגמה יומיומית היא אחוזי המס. אחוז המס קופץ (למשל מ-10% ל-20%) ברגע שההכנסה עוברת סף מסוים.

2.2 אי-רציפות סליקה (חור)

הפונקציה מוגדרת ורציפה בכל מקום למעט נקודה בודדת שבה יש נקודה חסרה (חור) בגרף.

אי-רציפות סליקה (חור)

חורים בפונקציות רציונליות: הפונקציה $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ אינה מוגדרת ויש לה חור בנקודה $x = 2$ , למרות שבכל מקום אחר היא נראית בדיוק כמו הישר $y = x + 2$ .

2.3 אי-רציפות אינסופית (אסימפטוטה אנכית)

הפונקציה שואפת מעלה או מטה לעבר האינסוף ככל שהיא מתקרבת לערך מסוים, והגרף מתקרב לאסימפטוטה אנכית.

אי־רציפות אינסופית

פיצול לא מוגבל: בפונקציה $f(x) = \frac{1}{x-3}$ , ככל ש- $x$ מתקרב ל-3, חילוק במספר קרוב מאוד לאפס גורם לערך הפונקציה לשאוף לאינסוף חיובי ( $+\infty$ ) או אינסוף שלילי ( $-\infty$ ) (כאשר הסמל $\infty$ מייצג אינסוף — גדילה ללא הגבלה). במתמטיקה, קו הגבול האנכי הזה שהגרף מתקרב אליו עוד ועוד אך לעולם אינו נוגע בו, נקרא אסימפטוטה אנכית.
בשל הפיצול הזה, הפונקציה אינה רציפה בנקודה $x = 3$ .

6. פונקציה עולה ופונקציה יורדת

מדריך למידה: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

פונקציה מתוארת כעולה, יורדת או קבועה בהתאם להתנהגות ערכי הפלט שלה (

y

) כאשר ערכי הקלט (

x

) מתקדמים משמאל לימין (ככל ש-

x

גדל).

פונקציה עולה ופונקציה יורדת: פונקציה נקראת פונקציה עולה (או יורדת) אם היא עולה (או יורדת) לאורך כל תחום ההגדרה שלה. לדוגמה, הפונקציה הקווית $f(x) = 3x + 1$ היא פונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

פונקציה עולה (

f(x_2) > f(x_1)

)

פונקציה יורדת (

f(x_2) < f(x_1)

)

תחומי עלייה וירידה: פונקציות רבות עולות בתחומים מסוימים ויורדות בתחומים אחרים (לדוגמה, פרבולה). עבור פונקציות אלו, אנו מגדירים תחומי עלייה וירידה (חלקים מתוך תחום ההגדרה) שבהם הפונקציה עולה או יורדת.

תחומי עלייה וירידה: יורדת עבור

x < 0

, עולה עבור

x > 0

הגדרות פורמליות

יהיו

x_1

ו-

x_2

שני ערכי קלט כלשהם בתחום ההגדרה או בקטע של פונקציה:

עולה: מתקיים $f(x_1) < f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף עולה.
יורדת: מתקיים $f(x_1) > f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף יורד.
קבועה: הפונקציה קבועה אם לכל זוג ערכי קלט בתחום הנדון מתקיים $f(x_1) = f(x_2)$ (קו אופקי ישר).

הגדרה עבור פונקציה עולה או יורדת (לאורך כל תחום ההגדרה):

פונקציות עולות ויורדות

פונקציה

f

היא:
• עולה אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) < f(x_2)

(עולה תמיד משמאל לימין).
• יורדת אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) > f(x_2)

(יורדת תמיד משמאל לימין).

הגדרה עבור תחומי עלייה וירידה (בתחומים מסוימים):

תחומי עלייה וירידה

פונקציה עולה או יורדת בתחום מסוים

I

אם היחס מתקיים לכל ערכי הקלט ב-

I

:
• עולה ב- $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

.
• יורדת ב- $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

הטעות הנפוצה: תחום הגדרה לעומת טווח ערכים

הטעות הנפוצה: כאשר תלמידים מחפשים תחומי עלייה וירידה מתוך גרף, הם נוטים להתמקד בציר האנכי (ערכי ה-y) מכיוון שהם רואים את הגרף עולה או יורד בגובה. דבר זה מוביל לכתיבה שגויה של טווח ערכים כמו

y > 2

.

הכלל: תחומי עלייה וירידה חייבים להיקבע תמיד על פי הציר האופקי (ערכי ה-x). הגובה האנכי מציין מה קורה לפונקציה (האם היא עולה או יורדת), אך ערכי ה-

x

מציינים איפה זה קורה. לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין לנקודה שבה

x = 5

, התחום הנכון הוא

x > 5

, ולא

y > 2

כיצד לכתוב תחומי עלייה וירידה

בדומה למה שעשינו בהגדרת תחומי הגדרה, אנו משתמשים בסימוני אי-שוויון כדי להגדיר את תחומי הגרף השונים:

מימין לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הגדולים מ- $a$ , נכתוב:
$x > a$
לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין ל- $x = 5$ , תחום העלייה שלה הוא $x > 5$ .
משמאל לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הקטנים מ- $a$ , נכתוב:
$x < a$
לדוגמה, אם פונקציה יורדת משמאל ל- $x = -2$ , תחום הירידה שלה הוא $x < -2$ .
בין שני גבולות $a$ ו- $b$ : אם הפונקציה עולה או יורדת בין שני ערכים $a$ ו- $b$ , נכתוב:
$a < x < b$

ניתוח עקומות בצורת U ובצורת V

כאשר נתונות משוואות מהצורה

f(x) = a(x - h)^2 + k

, הגרף שלהן יוצר עקומה מעוגלת בצורת U הנקראת פרבולה בעלת נקודת מפנה (קודקוד) בנקודה שבה

x = h

.

כדי למצוא היכן הפרבולה עולה או יורדת ללא גרף, נסתכל על המקדם

a

(המספר המכפיל שלפני הסוגריים):

פרבולה מחייכת ( $a > 0$ ): אם $a$ חיובי, הגרף נפתח כלפי מעלה ויוצר צורה של פנים מחייכות. נקודת המפנה היא הנקודה הנמוכה ביותר. הגרף יורד תחילה ואז עולה. לכן, הפונקציה יורדת עבור $x < h$ ועולה עבור $x > h$ .
פרבולה עצובה ( $a < 0$ ): אם $a$ שלילי, הגרף נפתח כלפי מטה ויוצר צורה של פנים עצובות. נקודת המפנה היא הנקודה הגבוהה ביותר. הגרף עולה תחילה ואז יורד. לכן, הפונקציה עולה עבור $x < h$ ויורדת עבור $x > h$ .

פרבולה מחייכת (

a > 0

)

פרבולה עצובה (

a < 0

)

באופן דומה, פונקציות המכילות ערך מוחלט כמו

f(x) = a|x - h| + k

מתנהגות בדיוק באותו אופן. סימני הערך המוחלט

|x - h|

מודדים את המרחק מהנקודה

h

, מה שיוצר צורת V ישרה במקום צורת U מעוגלת. המכפיל

a

קובע אם צורת ה-V הזו נפתחת כלפי מעלה (צורת V רגילה) או כלפי מטה (צורת V הפוכה):

נפתח כלפי מעלה ( $a > 0$ ): הגרף הוא צורת V רגילה המגיעה לנקודה הנמוכה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה יורדת תחילה ואז עולה (בדומה לפרבולה מחייכת).
נפתח כלפי מטה ( $a < 0$ ): הגרף הוא צורת V הפוכה המגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה עולה תחילה ואז יורדת (בדומה לפרבולה עצובה).

נפתח כלפי מעלה (

a > 0

)

נפתח כלפי מטה (

a < 0

)

נושאי לימוד

מדריך למידה: מערכת צירים

נושאי תרגול

1. מערכת צירים

2. מבוא לפונקציות

3. תחום הגדרה

4. טווח

5. רציפות של פונקציה

6. פונקציה עולה ופונקציה יורדת

מדריך למידה

1. מערכת צירים

הצירים וראשית הצירים

כתיבת נקודות כזוג סדור

קואורדינטות של נקודה

ארבעת הרביעים

נקודת האמצע של קטע

נקודת האמצע של קטע

מרחק בין שתי נקודות

מרחק בין שתי נקודות

2. מבוא לפונקציות

מדריך למידה: מבוא לפונקציות

דוגמאות מהעולם האמיתי

סימון פונקציה f(x)f(x)f(x)

משוואות שאינן פונקציות

פונקציות וגרפים

הבחנה בין פונקציות וחיתוך עם ציר ה-yyy

3. תחום הגדרה

מדריך למידה: תחום הגדרה של פונקציה

מגבלות נפוצות על תחום ההגדרה

תחומי הגדרה בגרפים וגבולות

4. טווח

מדריך למידה: טווח של פונקציה

טווח של פונקציות שורש

הטווח של הפונקציה f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

טווח של פונקציות מחזוריות

שליטה ב-SealMath

5. רציפות של פונקציה

מדריך למידה: רציפות של פונקציה

רציפות של פונקציה

דוגמאות לפונקציות רציפות ולא רציפות

1. פונקציות רציפות

2. פונקציות שאינן רציפות

6. פונקציה עולה ופונקציה יורדת

מדריך למידה: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

הגדרות פורמליות

פונקציות עולות ויורדות

תחומי עלייה וירידה

הטעות הנפוצה: תחום הגדרה לעומת טווח ערכים

כיצד לכתוב תחומי עלייה וירידה

ניתוח עקומות בצורת U ובצורת V

סימון פונקציה $f(x)$

הבחנה בין פונקציות וחיתוך עם ציר ה- $y$

הטווח של הפונקציה $f(x) = x^2$