פונקציות: רציפות של פונקציה

הבינו את מושג הרציפות, חקרו פונקציות רציפות ופונקציות שאינן רציפות, ותרגלו מציאת נקודות אי-רציפות.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: רציפות של פונקציה

פונקציה f(x)f(x) נקראת רציפה אם הגרף שלה הוא עקומה אחת מחוברת, ללא שברים, חורים או קפיצות. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על פונקציה רציפה ככזו שניתן לצייר את הגרף שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף.

דוגמאות לפונקציות רציפות ולא רציפות

1. פונקציות רציפות

פונקציה היא רציפה אם לגרף שלה אין שברים, חורים או קפיצות. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על הגרף שלה ככזה שניתן לצייר מבלי להרים את העיפרון מהדף.

xyפולינום (רב-איבר)
  • פולינומים: פונקציות כמו f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 או f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 הן רציפות בכל מקום.
xyערך מוחלט
  • ערך מוחלט: הפונקציה f(x)=∣x−2∣f(x) = |x - 2| רציפה בכל מקום.
2. פונקציות שאינן רציפות

פונקציה אינה רציפה אם לגרף שלה יש שברים, קפיצות, חורים או שהיא שואפת לאינסוף.

2.1 אי-רציפות מסוג קפיצה

הפונקציה קופצת מערך אחד לערך אחר בנקודה מסוימת. הגבול מצד שמאל והגבול מצד ימין קיימים אך אינם שווים.

xyאי-רציפות מסוג קפיצה
  • מדרגות מס: דוגמה יומיומית היא אחוזי המס. אחוז המס קופץ (למשל מ-10% ל-20%) ברגע שההכנסה עוברת סף מסוים.
2.2 אי-רציפות סליקה (חור)

הפונקציה מוגדרת ורציפה בכל מקום למעט נקודה בודדת שבה יש נקודה חסרה (חור) בגרף.

xyאי-רציפות סליקה (חור)
  • חורים בפונקציות רציונליות: הפונקציה f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} אינה מוגדרת ויש לה חור בנקודה x=2x = 2, למרות שבכל מקום אחר היא נראית בדיוק כמו הישר y=x+2y = x + 2.
2.3 אי-רציפות אינסופית (אסימפטוטה אנכית)

הפונקציה שואפת מעלה או מטה לעבר האינסוף ככל שהיא מתקרבת לערך מסוים, והגרף מתקרב לאסימפטוטה אנכית.

xyאי־רציפות אינסופית
  • פיצול לא מוגבל: בפונקציה f(x)=1x−3f(x) = \frac{1}{x-3}, ככל ש-xx מתקרב ל-3, חילוק במספר קרוב מאוד לאפס גורם לערך הפונקציה לשאוף לאינסוף חיובי (+∞+\infty) או אינסוף שלילי (−∞-\infty) (כאשר הסמל ∞\infty מייצג אינסוף — גדילה ללא הגבלה). במתמטיקה, קו הגבול האנכי הזה שהגרף מתקרב אליו עוד ועוד אך לעולם אינו נוגע בו, נקרא אסימפטוטה אנכית.
  • בשל הפיצול הזה, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=3x = 3.
נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?
על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-(x,y)(x, y). סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.
מה הופך יחס לפונקציה?
יחס הוא פונקציה אם ורק אם כל ערך קלט משויך לערך פלט אחד ויחיד. אם לקלט בודד יש מספר ערכי פלט שונים, היחס אינו פונקציה.
כיצד מוצאים היכן פונקציה חותכת את ציר ה-$y$?
כדי למצוא היכן פונקציה חותכת את ציר ה-yy, מחשבים את f(0)f(0) על ידי החלפת xx ב-00 בנוסחת הפונקציה. הנקודה המתקבלת על הגרף תהיה (0,f(0))(0, f(0)).
מה קורה אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה?
אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת עבורו. לדוגמה, בפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, הצבת x=0x = 0 תוביל לחלוקה באפס, שאין לה ערך מתמטי מוגדר.
כיצד ניתן לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את תחום ההגדרה מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האופקית לאורך ציר ה-xx. נחפש את הנקודה השמאלית ביותר והימנית ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה ההבדל בין תחום הגדרה לטווח?
תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי הקלט התקינים (בדרך כלל xx) שניתן להציב בפונקציה, בעוד שהטווח הוא קבוצת כל ערכי הפלט (בדרך כלל yy) שהפונקציה מחזירה כתוצאה מכך.
כיצד ניתן לזהות את הטווח של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את הטווח מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האנכית לאורך ציר ה-yy. נחפש את הנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הללו הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה זה אומר שפונקציה רציפה?
באופן אינטואיטיבי, זה אומר שאפשר לצייר את הגרף של הפונקציה בלי להרים את העיפרון מהדף. באופן מדויק יותר, פונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה, והגרף שלה צריך להתחבר בצורה חלקה ללא רווחים, קפיצות או חורים.
כיצד מוצאים נקודות שבהן הפונקציה אינה רציפה?
מחפשים ערכי קלט שבהם הפונקציה אינה מוגדרת (כמו חלוקה באפס). לדוגמה, הפונקציה f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} אינה רציפה ב-x=4x = 4 כי אסור לחלק באפס, מה שיוצר חור בגרף הפונקציה.
כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?
עבור פונקציה קווית f(x)=mx+bf(x) = mx + b, הפונקציה עולה אם השיפוע m>0m > 0 ויורדת אם m<0m < 0. עבור פונקציה ריבועית f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x-h)^2 + k, נבדוק את סימן המקדם aa: אם a>0a > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור x<hx < h ועולה עבור x>hx > h.
מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?
אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-xx.