פונקציות: מערכת צירים

למדו על שני הצירים של הרשת, ראשית הצירים, וכיצד לכתוב ולסמן נקודות.

✔️נפתרו: null

מדריך למידה: מערכת צירים

הצירים וראשית הצירים

הרשת מורכבת משני צירים נחתכים:

ציר ה- $x$ : הציר האופקי. הערכים בו גדלים ככל שנעים ימינה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים שמאלה (הכיוון השלילי).
ציר ה- $y$ : הציר האנכי. הערכים בו גדלים ככל שנעים למעלה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים למטה (הכיוון השלילי).
נקודת החיתוך: שני הצירים מאונכים זה לזה (נחתכים בזווית של 90 מעלות). נקודת המפגש של הצירים נקראת ראשית הצירים, ושיעוריה הם $(0, 0)$ .

איור 1: מערכת צירים המציגה את ציר ה-

x

, ציר ה-

y

, ראשית הצירים, ארבעת הרביעים, ונקודה מסומנת בשיעורים (3, 2).

כתיבת נקודות כזוג סדור

כל נקודה במערכת הצירים מיוצגת על ידי זוג סדור הנכתב בפורמט הבא:

(x, y)

המספר הראשון ( $x$ ) הוא שיעור ה- $x$ (קואורדינטת ה- $x$ ). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אופקית מראשית הצירים (ימינה אם חיובי, שמאלה אם שלילי).
המספר השני ( $y$ ) הוא שיעור ה- $y$ (קואורדינטת ה- $y$ ). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אנכית מראשית הצירים (למעלה אם חיובי, למטה אם שלילי).

קואורדינטות של נקודה

(x, y)

x: מיקום אופקי
y: מיקום אנכי

ארבעת הרביעים

שני הצירים מחלקים את מערכת הצירים ל-ארבעה אזורים הנקראים רביעים. הרביעים ממוספרים נגד כיוון השעון, החל מהפינה הימנית העליונה:

רביע ראשון (I): האזור הימני העליון. שיעורי ה- $x$ וה- $y$ חיוביים ( $x > 0, y > 0$ ). דוגמה: $(2, 3)$ .
רביע שני (II): האזור השמאלי העליון. שיעור ה- $x$ שלילי ושיעור ה- $y$ חיובי ( $x < 0, y > 0$ ). דוגמה: $(-4, 1)$ .
רביע שלישי (III): האזור השמאלי התחתון. שיעורי ה- $x$ וה- $y$ שליליים ( $x < 0, y < 0$ ). דוגמה: $(-2, -3)$ .
רביע רביעי (IV): האזור הימני התחתון. שיעור ה- $x$ חיובי ושיעור ה- $y$ שלילי ( $x > 0, y < 0$ ). דוגמה: $(3, -5)$ .

הערה: נקודות הנמצאות ישירות על ציר ה-

x

או על ציר ה-

y

(כמו

(0, 4)

או

(-3, 0)

) או בראשית הצירים

(0, 0)

אינן משתייכות לאף אחד מארבעת הרביעים.

נקודת האמצע של קטע

נקודת האמצע

M

של קטע המחבר בין הנקודות

A(x_1, y_1)

ו-

B(x_2, y_2)

היא הנקודה שנמצאת בדיוק באמצע הדרך ביניהן. הקואורדינטות של נקודת האמצע מופיעות בכרטיס הנוסחה שלמטה:

נקודת האמצע של קטע

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

A: (x₁, y₁), B: (x₂, y₂)

פיתוח מתמטי ודוגמה:
כדי להבין מדוע הנוסחה נכונה, נטיל את הקטע

AB

ואת נקודת האמצע שלו

M

על צירי הקואורדינטות. היטל זה מחלק הן את המרווח האופקי והן את המרווח האנכי לשני חלקים שווים:

1. היטל אופקי (ציר ה- $x$ ):
המרווח האופקי נפרש מ-

x_1

ל-

x_2

. בגרף שלנו, הוא נע מ-

x_1 = -3

ל-

x_2 = 5

(מרחק כולל של

8

יחידות). נקודת האמצע

M

מוטלת ל-

x_M = 1

. מכיוון שהמרחק מ-

x_1

ל-

x_M

חייב להיות שווה למרחק מ-

x_M

ל-

x_2

x_M - x_1 = x_2 - x_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:

1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור

x_M

2x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:

x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. היטל אנכי (ציר ה- $y$ ):
המרווח האנכי נפרש מ-

y_1

ל-

y_2

. בגרף שלנו, הוא נע מ-

y_1 = -2

ל-

y_2 = 4

(מרחק כולל של

6

יחידות). נקודת האמצע

M

מוטלת ל-

y_M = 1

. השוואת המרחקים:

y_M - y_1 = y_2 - y_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:

1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור

y_M

2y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:

y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

שילוב רכיבים אלו נותן את הקואורדינטות המדויקות של נקודת האמצע:

M(1, 1)

הגרף מראה שהיטל הקטע על צירי ה-

x

וה-

y

מחלק את המרווח בין הקואורדינטות לשני חלקים שווים:

x_M - x_1 = x_2 - x_M

ו-

y_M - y_1 = y_2 - y_M

מרחק בין שתי נקודות

המרחק

d

בין שתי נקודות

A(x_1, y_1)

ו-

B(x_2, y_2)

הוא אורך הקטע הישר המחבר ביניהן. נוסחת המרחק מופיעה בכרטיס הנוסחה שלמטה:

מרחק בין שתי נקודות

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

d: מרחק, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)

קשר למשפט פיתגורס:
על ידי היטל של הקטע

AB

על הצירים, אנו בונים משולש ישר זווית

ACB

עם ניצב אופקי

AC

(באורך

|x_2 - x_1|

) וניצב אנכי

CB

(באורך

|y_2 - y_1|

).
לפי משפט פיתגורס (

a^2 + b^2 = c^2

), היתר

d

מקיים:

d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

לדוגמה, עבור הנקודות

A(-3, -2)

ו-

B(5, 4)

בגרף:
- המרחק האופקי הוא

x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8

.
- המרחק האנכי הוא

y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6

.
- הפעלת המשפט נותנת:

d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

הגרף מציג את המשולש ישר הזווית

ACB

שנוצר על ידי היטל הקטע

AB

על הצירים, ומדגים כיצד נוסחת המרחק נגזרת ישירות ממשפט פיתגורס.

נושאי לימוד