פונקציות: מערכת צירים

הכירו את מערכת הצירים הקרטזית: למדו על ציר ה-X וציר ה-Y, הרביעים, ראשית הצירים ומיקום נקודות בעזרת תרגול אינטראקטיבי מודרך לכיתה ח׳.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

הצירים וראשית הצירים

הרשת מורכבת משני צירים נחתכים:
  • ציר ה-xx: הציר האופקי. הערכים בו גדלים ככל שנעים ימינה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים שמאלה (הכיוון השלילי).
  • ציר ה-yy: הציר האנכי. הערכים בו גדלים ככל שנעים למעלה (הכיוון החיובי) וקטנים ככל שנעים למטה (הכיוון השלילי).
  • נקודת החיתוך: שני הצירים מאונכים זה לזה (נחתכים בזווית של 90 מעלות). נקודת המפגש של הצירים נקראת ראשית הצירים, ושיעוריה הם (0,0)(0, 0).
IIIIIIIV−5−5−4−4−3−3−2−2−1−111223344550xyאיור 1: מערכת צירים המציגה את ציר ה-xx, ציר ה-yy, ראשית הצירים, ארבעת הרביעים, ונקודה מסומנת בשיעורים (3, 2).

כתיבת נקודות כזוג סדור

כל נקודה במערכת הצירים מיוצגת על ידי זוג סדור הנכתב בפורמט הבא:
(x,y)(x, y)
  • המספר הראשון (xx) הוא שיעור ה-xx (קואורדינטת ה-xx). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אופקית מראשית הצירים (ימינה אם חיובי, שמאלה אם שלילי).
  • המספר השני (yy) הוא שיעור ה-yy (קואורדינטת ה-yy). הוא מציין כמה יחידות יש לנוע אנכית מראשית הצירים (למעלה אם חיובי, למטה אם שלילי).

ארבעת הרביעים

שני הצירים מחלקים את מערכת הצירים ל-ארבעה אזורים הנקראים רביעים. הרביעים ממוספרים נגד כיוון השעון, החל מהפינה הימנית העליונה:
  • רביע ראשון (I): האזור הימני העליון. שיעורי ה-xx וה-yy חיוביים (x>0,y>0x > 0, y > 0). דוגמה: (2,3)(2, 3).
  • רביע שני (II): האזור השמאלי העליון. שיעור ה-xx שלילי ושיעור ה-yy חיובי (x<0,y>0x < 0, y > 0). דוגמה: (−4,1)(-4, 1).
  • רביע שלישי (III): האזור השמאלי התחתון. שיעורי ה-xx וה-yy שליליים (x<0,y<0x < 0, y < 0). דוגמה: (−2,−3)(-2, -3).
  • רביע רביעי (IV): האזור הימני התחתון. שיעור ה-xx חיובי ושיעור ה-yy שלילי (x>0,y<0x > 0, y < 0). דוגמה: (3,−5)(3, -5).


הערה: נקודות הנמצאות ישירות על ציר ה-xx או על ציר ה-yy (כמו (0,4)(0, 4) או (−3,0)(-3, 0)) או בראשית הצירים (0,0)(0, 0) אינן משתייכות לאף אחד מארבעת הרביעים.

נקודת האמצע של קטע

נקודת האמצע MM של קטע המחבר בין הנקודות A(x1,y1)A(x_1, y_1) ו-B(x2,y2)B(x_2, y_2) היא הנקודה שנמצאת בדיוק באמצע הדרך ביניהן. הקואורדינטות של נקודת האמצע מופיעות בכרטיס הנוסחה שלמטה:
פיתוח מתמטי ודוגמה:
כדי להבין מדוע הנוסחה נכונה, נטיל את הקטע ABAB ואת נקודת האמצע שלו MM על צירי הקואורדינטות. היטל זה מחלק הן את המרווח האופקי והן את המרווח האנכי לשני חלקים שווים:

1. היטל אופקי (ציר ה-xx):
המרווח האופקי נפרש מ-x1x_1 ל-x2x_2. בגרף שלנו, הוא נע מ-x1=−3x_1 = -3 ל-x2=5x_2 = 5 (מרחק כולל של 88 יחידות). נקודת האמצע MM מוטלת ל-xM=1x_M = 1. מכיוון שהמרחק מ-x1x_1 ל-xMx_M חייב להיות שווה למרחק מ-xMx_M ל-x2x_2:
xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:
1−(−3)=5−1=4 יחידות1 - (-3) = 5 - 1 = 4\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור xMx_M:
2xM=x1+x2  ⟹  xM=x1+x222x_M = x_1 + x_2 \implies x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:
xM=−3+52=22=1x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1

2. היטל אנכי (ציר ה-yy):
המרווח האנכי נפרש מ-y1y_1 ל-y2y_2. בגרף שלנו, הוא נע מ-y1=−2y_1 = -2 ל-y2=4y_2 = 4 (מרחק כולל של 66 יחידות). נקודת האמצע MM מוטלת ל-yM=1y_M = 1. השוואת המרחקים:
yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M

באמצעות קואורדינטות הגרף שלנו:
1−(−2)=4−1=3 יחידות1 - (-2) = 4 - 1 = 3\text{ יחידות}

פתרון אלגברי עבור yMy_M:
2yM=y1+y2  ⟹  yM=y1+y222y_M = y_1 + y_2 \implies y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

הצבת הערכים נותנת:
yM=−2+42=22=1y_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

שילוב רכיבים אלו נותן את הקואורדינטות המדויקות של נקודת האמצע: M(1,1)M(1, 1).
xy0A(-3, -2)B(5, 4)M(1, 1)x1 = -3xM = 1x2 = 5y1 = -2yM = 1y2 = 44433
הגרף מראה שהיטל הקטע על צירי ה-xx וה-yy מחלק את המרווח בין הקואורדינטות לשני חלקים שווים: xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = x_2 - x_M ו-yM−y1=y2−yMy_M - y_1 = y_2 - y_M.

מרחק בין שתי נקודות

המרחק dd בין שתי נקודות A(x1,y1)A(x_1, y_1) ו-B(x2,y2)B(x_2, y_2) הוא אורך הקטע הישר המחבר ביניהן. נוסחת המרחק מופיעה בכרטיס הנוסחה שלמטה:
קשר למשפט פיתגורס:
על ידי היטל של הקטע ABAB על הצירים, אנו בונים משולש ישר זווית ACBACB עם ניצב אופקי ACAC (באורך ∣x2−x1∣|x_2 - x_1|) וניצב אנכי CBCB (באורך ∣y2−y1∣|y_2 - y_1|).
לפי משפט פיתגורס (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2), היתר dd מקיים:
d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2  ⟹  d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \implies d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

לדוגמה, עבור הנקודות A(−3,−2)A(-3, -2) ו-B(5,4)B(5, 4) בגרף:
- המרחק האופקי הוא x2−x1=5−(−3)=8x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8.
- המרחק האנכי הוא y2−y1=4−(−2)=6y_2 - y_1 = 4 - (-2) = 6.
- הפעלת המשפט נותנת:
d=82+62=64+36=100=10d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
xy0A(-3, -2)B(5, 4)C(5, -2)|x2 - x1| = 8|y2 - y1| = 6d = 10
הגרף מציג את המשולש ישר הזווית ACBACB שנוצר על ידי היטל הקטע ABAB על הצירים, ומדגים כיצד נוסחת המרחק נגזרת ישירות ממשפט פיתגורס.
נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?
על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-(x,y)(x, y). סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.
מה הופך יחס לפונקציה?
יחס הוא פונקציה אם ורק אם כל ערך קלט משויך לערך פלט אחד ויחיד. אם לקלט בודד יש מספר ערכי פלט שונים, היחס אינו פונקציה.
כיצד מוצאים היכן פונקציה חותכת את ציר ה-$y$?
כדי למצוא היכן פונקציה חותכת את ציר ה-yy, מחשבים את f(0)f(0) על ידי החלפת xx ב-00 בנוסחת הפונקציה. הנקודה המתקבלת על הגרף תהיה (0,f(0))(0, f(0)).
מה קורה אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה?
אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת עבורו. לדוגמה, בפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, הצבת x=0x = 0 תוביל לחלוקה באפס, שאין לה ערך מתמטי מוגדר.
כיצד ניתן לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את תחום ההגדרה מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האופקית לאורך ציר ה-xx. נחפש את הנקודה השמאלית ביותר והימנית ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה ההבדל בין תחום הגדרה לטווח?
תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי הקלט התקינים (בדרך כלל xx) שניתן להציב בפונקציה, בעוד שהטווח הוא קבוצת כל ערכי הפלט (בדרך כלל yy) שהפונקציה מחזירה כתוצאה מכך.
כיצד ניתן לזהות את הטווח של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את הטווח מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האנכית לאורך ציר ה-yy. נחפש את הנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הללו הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה זה אומר שפונקציה רציפה?
באופן אינטואיטיבי, זה אומר שאפשר לצייר את הגרף של הפונקציה בלי להרים את העיפרון מהדף. באופן מדויק יותר, פונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה, והגרף שלה צריך להתחבר בצורה חלקה ללא רווחים, קפיצות או חורים.
כיצד מוצאים נקודות שבהן הפונקציה אינה רציפה?
מחפשים ערכי קלט שבהם הפונקציה אינה מוגדרת (כמו חלוקה באפס). לדוגמה, הפונקציה f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} אינה רציפה ב-x=4x = 4 כי אסור לחלק באפס, מה שיוצר חור בגרף הפונקציה.
כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?
עבור פונקציה קווית f(x)=mx+bf(x) = mx + b, הפונקציה עולה אם השיפוע m>0m > 0 ויורדת אם m<0m < 0. עבור פונקציה ריבועית f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x-h)^2 + k, נבדוק את סימן המקדם aa: אם a>0a > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור x<hx < h ועולה עבור x>hx > h.
מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?
אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-xx.