פונקציות: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

למדו כיצד לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציה מתוך גרף או ביטוי, להגדיר תחומים באמצעות אי-שוויונות ולהבין את ההגדרה הפורמלית של מונוטוניות.

✔️נפתרו: 0

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

פונקציה מתוארת כעולה, יורדת או קבועה בהתאם להתנהגות ערכי הפלט שלה (yy) כאשר ערכי הקלט (xx) מתקדמים משמאל לימין (ככל ש-xx גדל).
  • פונקציה עולה ופונקציה יורדת: פונקציה נקראת פונקציה עולה (או יורדת) אם היא עולה (או יורדת) לאורך כל תחום ההגדרה שלה. לדוגמה, הפונקציה הקווית f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 היא פונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.
xyפונקציה עולה (f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1))
xyפונקציה יורדת (f(x2)<f(x1)f(x_2) < f(x_1))
  • תחומי עלייה וירידה: פונקציות רבות עולות בתחומים מסוימים ויורדות בתחומים אחרים (לדוגמה, פרבולה). עבור פונקציות אלו, אנו מגדירים תחומי עלייה וירידה (חלקים מתוך תחום ההגדרה) שבהם הפונקציה עולה או יורדת.
xyתחומי עלייה וירידה: יורדת עבור x<0x < 0, עולה עבור x>0x > 0

הגדרות פורמליות

יהיו x1x_1 ו-x2x_2 שני ערכי קלט כלשהם בתחום ההגדרה או בקטע של פונקציה:
  • עולה: מתקיים f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) לכל x1<x2x_1 < x_2 בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף עולה.
  • יורדת: מתקיים f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) לכל x1<x2x_1 < x_2 בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף יורד.
  • קבועה: הפונקציה קבועה אם לכל זוג ערכי קלט בתחום הנדון מתקיים f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) (קו אופקי ישר).

הטעות הנפוצה: תחום הגדרה לעומת טווח ערכים

הטעות הנפוצה: כאשר תלמידים מחפשים תחומי עלייה וירידה מתוך גרף, הם נוטים להתמקד בציר האנכי (ערכי ה-y) מכיוון שהם רואים את הגרף עולה או יורד בגובה. דבר זה מוביל לכתיבה שגויה של טווח ערכים כמו y>2y > 2.

הכלל: תחומי עלייה וירידה חייבים להיקבע תמיד על פי הציר האופקי (ערכי ה-x). הגובה האנכי מציין מה קורה לפונקציה (האם היא עולה או יורדת), אך ערכי ה-xx מציינים איפה זה קורה. לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין לנקודה שבה x=5x = 5, התחום הנכון הוא x>5x > 5, ולא y>2y > 2.

כיצד לכתוב תחומי עלייה וירידה

בדומה למה שעשינו בהגדרת תחומי הגדרה, אנו משתמשים בסימוני אי-שוויון כדי להגדיר את תחומי הגרף השונים:
  • מימין לגבול aa: אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הגדולים מ-aa, נכתוב:
    x>ax > a
    לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין ל-x=5x = 5, תחום העלייה שלה הוא x>5x > 5.
  • משמאל לגבול aa: אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הקטנים מ-aa, נכתוב:
    x<ax < a
    לדוגמה, אם פונקציה יורדת משמאל ל-x=−2x = -2, תחום הירידה שלה הוא x<−2x < -2.
  • בין שני גבולות aa ו-bb: אם הפונקציה עולה או יורדת בין שני ערכים aa ו-bb, נכתוב:
    a<x<ba < x < b

ניתוח עקומות בצורת U ובצורת V

כאשר נתונות משוואות מהצורה f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + k, הגרף שלהן יוצר עקומה מעוגלת בצורת U הנקראת פרבולה בעלת נקודת מפנה (קודקוד) בנקודה שבה x=hx = h.

כדי למצוא היכן הפרבולה עולה או יורדת ללא גרף, נסתכל על המקדם aa (המספר המכפיל שלפני הסוגריים):
  • פרבולה מחייכת (a>0a > 0): אם aa חיובי, הגרף נפתח כלפי מעלה ויוצר צורה של פנים מחייכות. נקודת המפנה היא הנקודה הנמוכה ביותר. הגרף יורד תחילה ואז עולה. לכן, הפונקציה יורדת עבור x<hx < h ועולה עבור x>hx > h.
  • פרבולה עצובה (a<0a < 0): אם aa שלילי, הגרף נפתח כלפי מטה ויוצר צורה של פנים עצובות. נקודת המפנה היא הנקודה הגבוהה ביותר. הגרף עולה תחילה ואז יורד. לכן, הפונקציה עולה עבור x<hx < h ויורדת עבור x>hx > h.
xyפרבולה מחייכת (a>0a > 0)
xyפרבולה עצובה (a<0a < 0)
באופן דומה, פונקציות המכילות ערך מוחלט כמו f(x)=a∣x−h∣+kf(x) = a|x - h| + k מתנהגות בדיוק באותו אופן. סימני הערך המוחלט ∣x−h∣|x - h| מודדים את המרחק מהנקודה hh, מה שיוצר צורת V ישרה במקום צורת U מעוגלת. המכפיל aa קובע אם צורת ה-V הזו נפתחת כלפי מעלה (צורת V רגילה) או כלפי מטה (צורת V הפוכה):
  • נפתח כלפי מעלה (a>0a > 0): הגרף הוא צורת V רגילה המגיעה לנקודה הנמוכה ביותר שלה (קודקוד) ב-x=hx = h. הפונקציה יורדת תחילה ואז עולה (בדומה לפרבולה מחייכת).
  • נפתח כלפי מטה (a<0a < 0): הגרף הוא צורת V הפוכה המגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה (קודקוד) ב-x=hx = h. הפונקציה עולה תחילה ואז יורדת (בדומה לפרבולה עצובה).
xyנפתח כלפי מעלה (a>0a > 0)
xyנפתח כלפי מטה (a<0a < 0)
נושאי לימוד

שאלות נפוצות

מדוע שיעור ה-$x$ תמיד מופיע ראשון בזוג סדור?
על פי מוסכמה מתמטית בינלאומית, קואורדינטות נכתבות תמיד בסדר אלפביתי כ-(x,y)(x, y). סדר קבוע זה מבטיח שכל אדם ברחבי העולם יוכל לתקשר, לקרוא ולסמן נקודות במערכת צירים באופן אחיד וללא בלבול.
מה הופך יחס לפונקציה?
יחס הוא פונקציה אם ורק אם כל ערך קלט משויך לערך פלט אחד ויחיד. אם לקלט בודד יש מספר ערכי פלט שונים, היחס אינו פונקציה.
כיצד מוצאים היכן פונקציה חותכת את ציר ה-$y$?
כדי למצוא היכן פונקציה חותכת את ציר ה-yy, מחשבים את f(0)f(0) על ידי החלפת xx ב-00 בנוסחת הפונקציה. הנקודה המתקבלת על הגרף תהיה (0,f(0))(0, f(0)).
מה קורה אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה?
אם מציבים ערך מחוץ לתחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת עבורו. לדוגמה, בפונקציה f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}, הצבת x=0x = 0 תוביל לחלוקה באפס, שאין לה ערך מתמטי מוגדר.
כיצד ניתן לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את תחום ההגדרה מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האופקית לאורך ציר ה-xx. נחפש את הנקודה השמאלית ביותר והימנית ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה ההבדל בין תחום הגדרה לטווח?
תחום ההגדרה הוא קבוצת כל ערכי הקלט התקינים (בדרך כלל xx) שניתן להציב בפונקציה, בעוד שהטווח הוא קבוצת כל ערכי הפלט (בדרך כלל yy) שהפונקציה מחזירה כתוצאה מכך.
כיצד ניתן לזהות את הטווח של פונקציה מתוך הגרף שלה?
כדי למצוא את הטווח מתוך גרף, נבחן את ההתפרסות האנכית לאורך ציר ה-yy. נחפש את הנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר של הגרף, תוך שימת לב האם נקודות הקצה הללו הן מלאות (נכללות) או עיגולים ריקים (אינן נכללות).
מה זה אומר שפונקציה רציפה?
באופן אינטואיטיבי, זה אומר שאפשר לצייר את הגרף של הפונקציה בלי להרים את העיפרון מהדף. באופן מדויק יותר, פונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה, והגרף שלה צריך להתחבר בצורה חלקה ללא רווחים, קפיצות או חורים.
כיצד מוצאים נקודות שבהן הפונקציה אינה רציפה?
מחפשים ערכי קלט שבהם הפונקציה אינה מוגדרת (כמו חלוקה באפס). לדוגמה, הפונקציה f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} אינה רציפה ב-x=4x = 4 כי אסור לחלק באפס, מה שיוצר חור בגרף הפונקציה.
כיצד ניתן לקבוע אם פונקציה עולה או יורדת מתוך הנוסחה שלה?
עבור פונקציה קווית f(x)=mx+bf(x) = mx + b, הפונקציה עולה אם השיפוע m>0m > 0 ויורדת אם m<0m < 0. עבור פונקציה ריבועית f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x-h)^2 + k, נבדוק את סימן המקדם aa: אם a>0a > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה (מינימום), ולכן הפונקציה יורדת עבור x<hx < h ועולה עבור x>hx > h.
מדוע לא ניתן להשתמש בערכי y כדי להגדיר תחומי עלייה וירידה?
אף על פי שאנו מסתכלים על השינוי האנכי בגובה (ערכי ה-y) כדי לזהות אם הגרף עולה או יורד, התחומים עצמם חייבים להגדיר *איפה* זה קורה על פני הציר האופקי. לפי המוסכמה המתמטית, תחומי עלייה וירידה מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה, המיוצג על ידי ציר ה-xx.