פונקציות: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

למדו כיצד לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציה מתוך גרף או ביטוי, להגדיר תחומים באמצעות אי-שוויונות ולהבין את ההגדרה הפורמלית של מונוטוניות.

✔️נפתרו: null

מדריך למידה: מערכת צירים

מדריך למידה: פונקציה עולה ופונקציה יורדת

פונקציה מתוארת כעולה, יורדת או קבועה בהתאם להתנהגות ערכי הפלט שלה (

y

) כאשר ערכי הקלט (

x

) מתקדמים משמאל לימין (ככל ש-

x

גדל).

פונקציה עולה ופונקציה יורדת: פונקציה נקראת פונקציה עולה (או יורדת) אם היא עולה (או יורדת) לאורך כל תחום ההגדרה שלה. לדוגמה, הפונקציה הקווית $f(x) = 3x + 1$ היא פונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

פונקציה עולה (

f(x_2) > f(x_1)

)

פונקציה יורדת (

f(x_2) < f(x_1)

)

תחומי עלייה וירידה: פונקציות רבות עולות בתחומים מסוימים ויורדות בתחומים אחרים (לדוגמה, פרבולה). עבור פונקציות אלו, אנו מגדירים תחומי עלייה וירידה (חלקים מתוך תחום ההגדרה) שבהם הפונקציה עולה או יורדת.

תחומי עלייה וירידה: יורדת עבור

x < 0

, עולה עבור

x > 0

הגדרות פורמליות

יהיו

x_1

ו-

x_2

שני ערכי קלט כלשהם בתחום ההגדרה או בקטע של פונקציה:

עולה: מתקיים $f(x_1) < f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף עולה.
יורדת: מתקיים $f(x_1) > f(x_2)$ לכל $x_1 < x_2$ בתחום הנדון. במילים פשוטות, כאשר נעים לאורך הגרף משמאל לימין, הגרף יורד.
קבועה: הפונקציה קבועה אם לכל זוג ערכי קלט בתחום הנדון מתקיים $f(x_1) = f(x_2)$ (קו אופקי ישר).

הגדרה עבור פונקציה עולה או יורדת (לאורך כל תחום ההגדרה):

פונקציות עולות ויורדות

פונקציה

f

היא:
• עולה אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) < f(x_2)

(עולה תמיד משמאל לימין).
• יורדת אם לכל

x_1 < x_2

בתחום ההגדרה שלה מתקיים

f(x_1) > f(x_2)

(יורדת תמיד משמאל לימין).

הגדרה עבור תחומי עלייה וירידה (בתחומים מסוימים):

תחומי עלייה וירידה

פונקציה עולה או יורדת בתחום מסוים

I

אם היחס מתקיים לכל ערכי הקלט ב-

I

:
• עולה ב- $I$ :

f(x_1) < f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

.
• יורדת ב- $I$ :

f(x_1) > f(x_2)

לכל

x_1 < x_2

ב-

I

הטעות הנפוצה: תחום הגדרה לעומת טווח ערכים

הטעות הנפוצה: כאשר תלמידים מחפשים תחומי עלייה וירידה מתוך גרף, הם נוטים להתמקד בציר האנכי (ערכי ה-y) מכיוון שהם רואים את הגרף עולה או יורד בגובה. דבר זה מוביל לכתיבה שגויה של טווח ערכים כמו

y > 2

.

הכלל: תחומי עלייה וירידה חייבים להיקבע תמיד על פי הציר האופקי (ערכי ה-x). הגובה האנכי מציין מה קורה לפונקציה (האם היא עולה או יורדת), אך ערכי ה-

x

מציינים איפה זה קורה. לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין לנקודה שבה

x = 5

, התחום הנכון הוא

x > 5

, ולא

y > 2

כיצד לכתוב תחומי עלייה וירידה

בדומה למה שעשינו בהגדרת תחומי הגדרה, אנו משתמשים בסימוני אי-שוויון כדי להגדיר את תחומי הגרף השונים:

מימין לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הגדולים מ- $a$ , נכתוב:
$x > a$
לדוגמה, אם פונקציה עולה מימין ל- $x = 5$ , תחום העלייה שלה הוא $x > 5$ .
משמאל לגבול $a$ : אם ההתנהגות מתרחשת עבור כל ערכי הקלט הקטנים מ- $a$ , נכתוב:
$x < a$
לדוגמה, אם פונקציה יורדת משמאל ל- $x = -2$ , תחום הירידה שלה הוא $x < -2$ .
בין שני גבולות $a$ ו- $b$ : אם הפונקציה עולה או יורדת בין שני ערכים $a$ ו- $b$ , נכתוב:
$a < x < b$

ניתוח עקומות בצורת U ובצורת V

כאשר נתונות משוואות מהצורה

f(x) = a(x - h)^2 + k

, הגרף שלהן יוצר עקומה מעוגלת בצורת U הנקראת פרבולה בעלת נקודת מפנה (קודקוד) בנקודה שבה

x = h

.

כדי למצוא היכן הפרבולה עולה או יורדת ללא גרף, נסתכל על המקדם

a

(המספר המכפיל שלפני הסוגריים):

פרבולה מחייכת ( $a > 0$ ): אם $a$ חיובי, הגרף נפתח כלפי מעלה ויוצר צורה של פנים מחייכות. נקודת המפנה היא הנקודה הנמוכה ביותר. הגרף יורד תחילה ואז עולה. לכן, הפונקציה יורדת עבור $x < h$ ועולה עבור $x > h$ .
פרבולה עצובה ( $a < 0$ ): אם $a$ שלילי, הגרף נפתח כלפי מטה ויוצר צורה של פנים עצובות. נקודת המפנה היא הנקודה הגבוהה ביותר. הגרף עולה תחילה ואז יורד. לכן, הפונקציה עולה עבור $x < h$ ויורדת עבור $x > h$ .

פרבולה מחייכת (

a > 0

)

פרבולה עצובה (

a < 0

)

באופן דומה, פונקציות המכילות ערך מוחלט כמו

f(x) = a|x - h| + k

מתנהגות בדיוק באותו אופן. סימני הערך המוחלט

|x - h|

מודדים את המרחק מהנקודה

h

, מה שיוצר צורת V ישרה במקום צורת U מעוגלת. המכפיל

a

קובע אם צורת ה-V הזו נפתחת כלפי מעלה (צורת V רגילה) או כלפי מטה (צורת V הפוכה):

נפתח כלפי מעלה ( $a > 0$ ): הגרף הוא צורת V רגילה המגיעה לנקודה הנמוכה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה יורדת תחילה ואז עולה (בדומה לפרבולה מחייכת).
נפתח כלפי מטה ( $a < 0$ ): הגרף הוא צורת V הפוכה המגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה (קודקוד) ב- $x = h$ . הפונקציה עולה תחילה ואז יורדת (בדומה לפרבולה עצובה).

נפתח כלפי מעלה (

a > 0

)

נפתח כלפי מטה (

a < 0

)

נושאי לימוד