משוואת הישר

תרגלו והבינו משוואות ישר על ידי העברתן לצורה המפורשת, זיהוי השיפוע והחיתוך עם ציר ה-y, וכתיבת משוואות של ישרים.

משוואת הישר

למדו להעביר משוואות לצורה מפורשת, לזהות את השיפוע ואת החיתוך עם ציר ה-y, ולכתוב משוואות של ישרים.

נושאי תרגול

1. משוואת הישר (צורה מפורשת)

העבירו משוואות ישר לצורה מפורשת $y = ax + b$ , קבעו את השיפוע $a$ , ומצאו את החיתוך עם ציר ה-y ( $b$ ).

2. שיפוע של ישר

להבין את משמעות השיפוע באמצעות מדרגות, לחשב שיפוע בין שתי נקודות, ולמצוא את משוואת הישר.

3. יחס הדדי בין שני ישרים

קבעו את מספר הפתרונות של מערכת של שתי משוואות ישרים על ידי השוואת השיפועים שלהם ( $a_1, a_2$ ) והחיתוכים שלהם עם ציר ה-y ( $b_1, b_2$ ).

4. חקירת פונקציה קווית

חקירת פונקציה קווית: המירו את המשוואה לצורה המפורשת $y = ax + b$ , מצאו את השיפוע, נקודת החיתוך עם ציר ה־y $(0, b)$ ונקודת החיתוך עם ציר ה־x $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ (כאשר $a \neq 0$ ), קבעו אם הפונקציה עולה, יורדת או קבועה, וסרטטו את הגרף.

5. חישוב שטח משולש בין שלושה ישרים

חשבו את שטחו של משולש הנוצר מנקודות החיתוך של שלושה ישרים באמצעות פירוק גיאומטרי.

מדריך למידה

1. משוואת הישר (צורה מפורשת)

ניתן לכתוב משוואת ישר במספר צורות. אחת ההצגות השימושיות ביותר היא הצורה המפורשת:

משוואת הישר (צורה מפורשת)

y = ax + b

משוואת הישר בצורה מפורשת, כאשר

a

הוא השיפוע של הישר ו-

b

הוא ערך החיתוך עם ציר ה-

y

כאשר:
- $a$ הוא השיפוע של הישר, המתאר את כיוון הישר ומידת תלילותו.
- $b$ הוא החיתוך עם ציר ה-y (שיעור ה-y של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-y, הנמצאת בנקודה

(0, b)

).

הערה: נעסוק בשיפוע בפירוט בנושא התרגול הבא.

סימון פונקציה:
ברגע שאנו מבודדים את

y

במשוואת ישר (לדוגמה, בצורה

y = ax + b

), אנו יכולים להציג את

y

בעזרת סימון פונקציה כ-

y = f(x)

.

במקרה שלנו, משוואת הישר

y = ax + b

הופכת ל:

f(x) = ax + b

השימוש בסימון פונקציה הוא שימושי מאוד, למשל כדי לחשב את ערך הפונקציה עבור ערכים ספציפיים של

x

. כדי למצוא את ערך ה-y כאשר

x = 0

, נציב

0

במקום

x

(או

x = 0

f(0) = a \cdot 0 + b = b

זה מראה שכאשר

x = 0

, ערך הפונקציה הוא

b

, מה שמתאים בדיוק לערך ה-

y

של נקודת החיתוך עם ציר ה-

y

בנקודה

(0, b)

2. שיפוע של ישר

השיפוע (המסומן באות $a$ במשוואה

y = ax + b

) מתאר את מידת התלילות והכיוון של הישר.

הדמיית מדרגות השיפוע

בכל צעד ימינה (+1), אנו עולים ב-1.5.

הבנת השיפוע כמדרגות

ניתן לחשוב על השיפוע כעל מדרגות על הגרף:
- בכל פעם שאנו נעים יחידה אחת ימינה (מגדילים את

x

ב-1), אנו עולים או יורדים ב- $a$ יחידות (השינוי ב-

y

).
- אם

a

חיובי (לדוגמה

a = 2

), אנו עולים בשתי יחידות עבור כל צעד ימינה.
- אם

a

שלילי (לדוגמה

a = -1

), יורדים יחידה אחת עבור כל צעד ימינה.

נוסחת השיפוע ודלתא ( $\Delta$ )

כדי למצוא את השיפוע בין שתי נקודות

(x_1, y_1)

ו-

(x_2, y_2)

, נשתמש בנוסחה:

שיפוע של ישר

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

מחושב בעזרת שתי נקודות

(x_1, y_1)

ו-

(x_2, y_2)

שעל הישר.

מה זה דלתא ( $\Delta$ )?
האות היוונית $\Delta$ (דלתא) מייצגת שינוי או הפרש בין שני ערכים:
-

\Delta y = y_2 - y_1

הוא השינוי האנכי.
-

\Delta x = x_2 - x_1

הוא השינוי האופקי (המרחק שזזים ימינה).

יחס זה מוכר באנגלית בשם "Rise over Run", כלומר השינוי האנכי חלקי השינוי האופקי (

\frac{\Delta y}{\Delta x}

).

⚠️ הערה קריטית לגבי סדר הנקודות:
אין זה משנה איזו נקודה תבחרו להיות הנקודה הראשונה

(x_1, y_1)

ואיזו השנייה

(x_2, y_2)

— השיפוע שיתקבל יהיה זהה לחלוטין. עם זאת, חובה לשמור על אותו סדר חיסור גם במונה וגם במכנה! אם בחרתם לחסר את ערכי ה-y בסדר

y_2 - y_1

, עליכם לחסר את ערכי ה-x בסדר

x_2 - x_1

. ערבוב של הסדר (כמו

\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}

) הוא שגוי ויוביל לקבלת סימן הפוך.

חשבו שיפוע בין שתי נקודות

חישוב השיפוע:

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

מציאת החיתוך עם ציר ה-y ( $b$ ) ומשוואת הישר המלאה

ברגע שיש לנו את השיפוע

a

, נוכל למצוא את החיתוך עם ציר ה-y (

b

) ולכתוב את משוואת הישר המלאה בעזרת נקודה כלשהי

(x_1, y_1)

הנמצאת על הישר. מכיוון שהנקודה נמצאת על הישר, שיעוריה חייבים לקיים את המשוואה

y = ax + b

.

דוגמה:
נניח שאנו יודעים שהשיפוע הוא

a = 3

, והישר עובר דרך הנקודה

(2, 7)

נתחיל מצורת המשוואה: $y = ax + b$
כיוון ש- $a = 3$ , נקבל: $y = 3x + b$
נציב את הנקודה $(x_1, y_1) = (2, 7)$ (כאשר $x_1 = 2$ ו- $y_1 = 7$ ):
$y_1 = 3x_1 + b \implies 7 = 3 \cdot 2 + b$
נפתור עבור $b$ :
$7 = 6 + b \implies b = 1$
משוואת הישר המלאה היא: $\boxed{y = 3x + 1}$

משוואת ישר מלאה משתי נקודות

אם נתונות לנו שתי נקודות בלבד, נוכל למצוא את משוואת הישר המלאה על ידי שילוב של שני השלבים:
1. נחשב את השיפוע

a

בעזרת נוסחת השיפוע.
2. נשתמש בשיפוע שמצאנו ובאחת הנקודות כדי למצוא את החיתוך עם ציר ה-y (

b

) (בדיוק כמו בדוגמה למעלה).

ישרים מקבילים

שני ישרים מקבילים אם הם נמצאים באותו מישור ואינם נחתכים לעולם, לא משנה כמה נמשיך אותם. מכיוון שהם תמיד שומרים על אותו מרחק זה מזה, הם חייבים לעלות או לרדת באותו קצב. זה אומר שחייב להיות להם אותו שיפוע בדיוק (

a_1 = a_2

), אך נקודות חיתוך שונות עם ציר ה-y (

b_1 \neq b_2

).

דוגמה:
- ישר 1:

y = 2x + 3

(שיפוע

a = 2

, חיתוך

b = 3

)
- ישר 2:

y = 2x - 5

(שיפוע

a = 2

, חיתוך

b = -5

)
לשני הישרים יש שיפוע של

2

, ולכן הם מקבילים. מכיוון שהם חוצים את ציר ה-y בגבהים שונים (

3

ו-

-5

), מדובר בשני ישרים נפרדים שלעולם לא ייפגשו.

הדמיית ישרים מקבילים

בחר שיפוע משותף (a):

חיתוך ישר כחול (b₁):

חיתוך ישר אדום (b₂):

y = 1.5x + 1

y = 1.5x - 2

תכונת הישרים המקבילים

הגרפים של שתי פונקציות קוויות מקבילים אם ורק אם יש להן אותו שיפוע:

a_1 = a_2

(וערכי חיתוך שונים עם ציר ה-y:

b_1 \neq b_2

הערה: "אם ורק אם" פירושו שהכלל עובד לשני הכיוונים: אם הישרים מקבילים, השיפועים שלהם חייבים להיות שווים; ואם השיפועים שלהם שווים, הישרים חייבים להיות מקבילים.

3. יחס הדדי בין שני ישרים

בנוסף לפתרון אלגברי של מערכת של שתי משוואות ישרים (

y = a_1 x + b_1

ו-

y = a_2 x + b_2

) (ראו את הנושא סיווג מערכות משוואות), ניתן לקבוע את היחס הגיאומטרי ואת מספר הפתרונות באופן ישיר על ידי השוואת השיפועים שלהם (

a_1

ו-

a_2

) והחיתוכים שלהם עם ציר ה-y (

b_1

ו-

b_2

הדמיית יחסים בין ישרים

(1) y = 1.5x + 1

(2) y = -0.5x + 2

1. ישרים נחתכים (פתרון יחיד)

אם השיפועים שונים (

a_1 \neq a_2

), לישרים יש שיפועים שונים והם ייפגשו בדיוק בנקודה אחת. למערכת יש פתרון יחיד.

2. ישרים מקבילים (אין פתרון)

אם השיפועים שווים (

a_1 = a_2

) אך החיתוכים עם ציר ה-y שונים (

b_1 \neq b_2

), הישרים מקבילים ונמצאים במרחק קבוע זה מזה ולעולם אינם נחתכים. למערכת אין פתרון.

3. ישרים מתלכדים (אינסוף פתרונות)

אם גם השיפועים וגם החיתוכים עם ציר ה-y זהים לחלוטין (

a_1 = a_2

וגם

b_1 = b_2

), שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר בדיוק. כל נקודה על הישר היא נקודה משותפת, ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות.

שליטה ב-SealMath: הקלדת אינדקס תחתון ( $a_1$ ו- $a_2$ )

כדי להזין פרמטרים עם אינדקס תחתון כמו

a_1

או

a_2

(או

b_1

ו-

b_2

) בשדה המתמטי, יש להקליד a_1 או a_2 באמצעות מקש הקו התחתון (_) במקלדת, או ללחוץ על כפתור האינדקס התחתון (

x_n

) במקלדת הווירטואלית. הערה: הקלדת a1 או a2 ללא קו תחתון אינה מתקבלת, מכיוון שבמתמטיקה

a1

משמעותו

a \cdot 1

ו-

a2

משמעותו

2a

4. חקירת פונקציה קווית

חקירת פונקציה קווית כוללת את העברת משוואת הישר לצורה מפורשת

y = ax + b

, מציאת התכונות הגאומטריות העיקריות (שיפוע, נקודות חיתוך עם הצירים, האם הפונקציה עולה, יורדת או קבועה) וסרטוט הגרף.

הדמיית חקירת פונקציה קווית

שיפוע (a):

חיתוך y (b):

משוואה:

y = 2x - 2

שיפוע (a): 2

חיתוך ציר y: (0, -2)

חיתוך ציר x: (1, 0)

התנהגות: עולה

רביעים נחצים: 1, 3, 4

נקודות שסומנו: (4)

בדיקת השרטוט:

✓ חיתוך עם ציר ה־y (0, b)
✓ חיתוך עם ציר ה־x $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$ (כאשר $a \neq 0$)
✓ נקודה ברביע 1
✓ נקודה ברביע 3
○ נקודה ברביע 4

1. העברה לצורה מפורשת ( $y = ax + b$ )

נבודד את

y

באגף שמאל של המשוואה הקווית הנתונה.
דוגמה: עבור המשוואה

2x + 3y - 6 = 0

3y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2

2. מציאת השיפוע ( $a$ )

המקדם

a

בצורה המפורשת

y = ax + b

הוא שיפוע הישר, המתאר את תלילותו וכיוונו.
בדוגמה שלנו

y = -\frac{2}{3}x + 2

, השיפוע הוא

a = -\frac{2}{3}

3. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

- חיתוך עם ציר ה־y: נציב

x = 0

במשוואה:

y = a(0) + b = b \implies \text{נקודה } (0, b)

- חיתוך עם ציר ה־x: נציב

y = 0

במשוואה:

0 = ax + b \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a} \implies \text{נקודה } \left(-\frac{b}{a}, 0\right)

(אם $b = 0$ , שתי נקודות החיתוך מתלכדות בראשית הצירים $(0, 0)$ . אם $a = 0$ ו- $b \neq 0$ , הישר $y = b$ אופקי ואינו חותך את ציר ה־x).

4. קביעת התנהגות הפונקציה (עולה / יורדת / קבועה)

- פונקציה עולה: אם השיפוע

a > 0

, ככל ש-

x

גדל

y

גדל.
- פונקציה יורדת: אם השיפוע

a < 0

, ככל ש-

x

גדל

y

קטן.
- פונקציה קבועה: אם השיפוע

a = 0

, ערך ה-

y

נשאר קבוע לכל

x

💡 הערה לגבי פונקציה קבועה ( $y = c$ )

פונקציה קבועה

y = c

(כאשר השיפוע

a = 0

) היא מקרה פרטי של פונקציה קווית שהגרף שלה הוא ישר אופקי. במינוח של פולינומים, מדובר בפולינום מדרגה 0.

5. סרטוט הפונקציה במערכת הצירים

כדי לסרטט את הפונקציה במערכת הצירים:
1. סמנו את נקודות החיתוך עם הצירים: החיתוך עם ציר ה־y בנקודה

(0, b)

והחיתוך עם ציר ה־x בנקודה

\left(-\frac{b}{a}, 0\right)

.
2. סמנו לפחות נקודה נוספת אחת בכל רביע שהישר עובר דרכו.

❓ שאלות ותשובות נפוצות

כיצד חוקרים פונקציה קווית?

כדי לחקור פונקציה קווית

y = ax + b

, פועלים לפי השלבים הבאים:
1. מעבר לצורה מפורשת: מבודדים את

y

לקבלת המשוואה

y = ax + b

.
2. זיהוי פרמטרים: מזהים את השיפוע

a

ואת הפרמטר

b

.
3. נקודות חיתוך עם הצירים: מוצאים את החיתוך עם ציר ה־y ב-

(0, b)

ואת החיתוך עם ציר ה־x ב-

\left(-\frac{b}{a}, 0\right)

(כאשר

a \neq 0

).
4. התנהגות הפונקציה: קובעים אם הפונקציה עולה (

a > 0

), יורדת (

a < 0

) או קבועה (

a = 0

).
5. סרטוט הגרף: ישר נקבע באופן מלא על ידי שתי נקודות שונות. מכיוון ש-SealMath בודקת את הנקודות הנדרשות ולא קו רציף מצויר, סמנו את נקודות החיתוך ואת הנקודות הנוספות הנדרשות הנמצאות על הישר.

5. חישוב שטח משולש בין שלושה ישרים

כאשר שלושה ישרים נחתכים בזוגות בשלוש נקודות חיתוך שונות, הם יוצרים משולש. כדי לחשב את שטחו, מוצאים את שלוש נקודות החיתוך ומשתמשים בפירוק גיאומטרי עם משולש ייחוס ישר־זווית.

הדמיית פירוק שטח משולש

הישרים:

L_1: y = 0, \quad L_2: y = -2x + 8, \quad L_3: y = 2x

קדקודים:

A(0,0), B(4,0), C(2,4)

חישוב שטח חיבורי:

S_{\Delta ABC} = S_{ADC} + S_{BDC} = \frac{2 \cdot 4}{2} + \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 + 4 = 8

1. מציאת שלוש נקודות החיתוך (קדקודי המשולש)

פותרים את מערכות המשוואות בזוגות לקבלת הקדקודים:

A(x_A, y_A)

B(x_B, y_B)

, ו-

C(x_C, y_C)

2. בניית משולש ייחוס ישר־זווית

מעבירים קו עזר אופקי או אנכי דרך אחד הקדקודים ליצירת משולש ישר־זווית המשמש כמשולש ייחוס לצד שני משולשים משניים.

שיטת החיבור

נתונים הקדקודים $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $C(2,4)$ :

בניית עזר: מעבירים קו אנכי דרך $C(2,4)$ החותך את הבסיס $AB$ בנקודה $D(2,0)$ .
אזורי משנה: הקו מחלק את המשולש לשני משולשים ישר־זווית סמוכים:
- $S_1 = \triangle ADC$ : בסיס $AD = 2$ , גובה $CD = 4 \implies S_1 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$
- $S_2 = \triangle BDC$ : בסיס $BD = 2$ , גובה $CD = 4 \implies S_2 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$
חישוב השטח: $S_{\Delta ABC} = S_1 + S_2 = S_{ADC} + S_{BDC} = 4 + 4 = 8$

שיטת החיסור 1: חיסור ממשולש ייחוס ישר־זווית

נתונים הקדקודים $A(0,0)$ , $B(4,4)$ , $C(3,1)$ :

משולש ייחוס ראשי: בונים נקודת עזר $D(4,0)$ על ציר ה־x לקבלת משולש ייחוס ישר־זווית $\triangle ABD$ עם בסיס $AD = 4$ , גובה $BD = 4$ ושטח $S_{\text{ייחוס}} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ .
משולשים חיצוניים לחיסור:
- $S_1 = \triangle BCD$ : בסיס $BD = 4$ , גובה $= 1 \implies S_1 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
- $S_2 = \triangle ACD$ : בסיס $AD = 4$ , גובה $= 1 \implies S_2 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
חישוב השטח: $S_{\Delta ABC} = S_{\text{ייחוס}} - S_1 - S_2 = S_{\Delta ABD} - S_{\Delta BCD} - S_{\Delta ACD} = 8 - 2 - 2 = 4$

שיטת החיסור 2: חיסור ממלבן חוסם

נתונים הקדקודים $A(1,1)$ , $B(5,2)$ , $C(2,5)$ :

מלבן חוסם: חוסמים את המשולש בתוך מלבן מ- $(1,1)$ עד $(5,5)$ ברוחב $4$ , גובה $4$ ושטח $S_{\text{מלבן}} = 4 \cdot 4 = 16$ .
משולשים חיצוניים לחיסור:
- $S_1$ : בסיס $= 4$ , גובה $= 1 \implies S_1 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$
- $S_2$ : בסיס $= 3$ , גובה $= 3 \implies S_2 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5$
- $S_3$ : בסיס $= 1$ , גובה $= 4 \implies S_3 = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2$
חישוב השטח: $S_{\Delta ABC} = S_{\text{מלבן}} - S_1 - S_2 - S_3 = 16 - 2 - 4.5 - 2 = 7.5$

❓ שאלות ותשובות נפוצות

איך מחשבים שטח משולש שנוצר משלושה ישרים?

1. מוצאים את 3 נקודות החיתוך על ידי פתרון מערכות המשוואות.
2. מעבירים קו ייחוס אופקי או אנכי ליצירת משולש ייחוס ישר־זווית.
3. מחשבים את השטח בשיטה חיבורית (

S_1 + S_2

) או חיסורית (

S_{\text{ייחוס}} - S_1 - S_2

נושאי לימוד